Spiegazione trave Inflessa PDF

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Summary

Spiegazione trave inflessa...

Description

Il problema della Trave Inflessa q

F m

EI

Problema della trave F

q EI

m z

L

y

v

spostamento trasversale

ϕ = - v’

rotazione

c = ϕ’

curvatura flessionale

M = EI c momento flettente dz

T = M’ taglio q

T M

q = -T’ M+dM

M’=T

T+dT

carico trasversale

equazione di campo

(EI v’’)’’ - q =0

T’=-q Elemento finito Trave inflessa

2

1. Discretizzazione del dominio

F

q

m

Problema fisico L Modello matematico

F

q

m

equazione di campo EI

(EI v’’)’’ - q =0

z

L

condizioni al contorno y

v(0) = 0 v’(0) = 0 -EI v’’(L) = m -(EI v’’)’(L) = F Discretizzazione agli elementi finiti

elementi O

nodi

he

Elemento finito Trave inflessa

z L 3

Discretizzazione del dominio •

Definizione della mesh

•

elemento 1 1

3

2 2

3

Numerazione dei nodi e degli elementi Elemento

Nodo 1

Nodo2

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

4 5

4

•

nodo

Assegnazione delle proprietà agli elementi: EI = (per ogni elemento)

Elemento finito Trave inflessa

4

2. Derivazione delle equazioni per ogni elemento c.c. essenziali

v(zA) = v1(e) ϕ(zA) = v2(e) Q1(e) = -T(zA)

v(zB) = v3(e) ϕ(zB) = v4(e) Q3(e) = T(zB)

Q4(e) = M(zB)

e

Q2(e) = -M(zA)

L’equazione differenziale EI vIV = q deve essere soddisfatta in tutti i punti della trave. In particolare dovrà essere soddisfatta nell’elemento Ωe=(zA,zB).

Convenzioni sull’elemento zA

zB c.c. naturali

spostamento positivo

Elemento finito Trave inflessa

rotazione positiva 5

Equilibrio dell’elemento Energia potenziale z

[

z

B 1 B Π( v) = ∫ EIc c dz − ∫ q v dz − − Tv z − Mϕ z + Tvz B + Mϕ z A A B 2 zA zA

z

z

[

]

B B 1 2 = EI ∫ (v ' ') dz − ∫ q v dz − Q1(e )v1(e ) + Q2(e ) v2(e ) + Q3(e )v3(e ) + Q4(e ) v4( e ) 2 zA zA

]

Nota Q1(e) = -T(zA)

v(zA) = v1(e)

Q2(e) = -M(zA)

ϕ(zA) = v2(e)

Q3(e) = T(zB)

v(zB) = v3(e)

Q4(e) = M(zB)

ϕ(zB) = v4(e)

Elemento finito Trave inflessa

6

n

Approssimazione per l’elemento

v = ∑ vj ψ j ( z) (e )

(e)

j =1

n

ϕ = −∑ v j ψ j ' ( z ) (e )

(e)

j =1

Energia potenziale approssimata z ⎞ ( e ) (e ) ⎤ n ⎡ ⎛ z B ⎞ (e ) ⎤ 1 n n ⎡ ⎛⎜ B ( e) (e ) (e) ⎟ ⎜ Π = ∑∑ ⎢ ∫ EIψi ' ' ( z )ψ j ' ' ( z ) dz v j vi ⎥ − ∑ ⎢ ∫ q ψi ( z ) dz ⎟vi ⎥ ⎟ ⎟ ⎥ 2 i =1 j =1 ⎢ ⎜⎝ z A ⎥⎦ i = 1 ⎢⎣ ⎜⎝ z A ⎠ ⎠ ⎦ ⎣ n

[(

) ]

− ∑ Q1(e ) ψi ( z A ) − Q2(e ) ψ i ' ( z A ) + Q3(e )ψi ( zB ) − Q4( e) ψ i ' ( z B ) vi (e )

(e )

(e )

(e )

( e)

i=1

=

[

]

[

n 1 n n (e) (e ) (e ) ( e) − K v v Fi (e ) vi ∑∑ ∑ ij j i 2 i =1 j =1 i =1

]

Elemento finito Trave inflessa

7

Stazionarietà dell’energia potenziale totale del singolo elemento

[

]

n ∂Π (e) = 0 = ( e ) ∑ Kij( e ) v j − Fi ( e ) ∂ vi j =1

ovvero

K ij( e )v (je) = Fi ( e) n equazioni di equilibrio (approssimato)

Elemento finito Trave inflessa

8

dove

xB ( e) ij

K

=

∫ EI ψ

(e) i

' ' ( z) ψ j ' ' ( z) dz ( e)

xA xB

Fi

( e)

= ∫ ψi ( z) q dz (e)

xA

+ Q1( e) ψ i ( z A ) − Q2( e ) ψi ' ( zA ) + Q3(e )ψi ( zB ) − Q4( e ) ψi ' ( zB ) (e)

(e)

Elemento finito Trave inflessa

( e)

(e)

9

Funzioni di interpolazione (di approssimazione): Polinomi di Hermite ( e)

n=4

(e )

( e)

( e)

( e)

( e)

( e)

(e)

v = v1 ψ 1 ( z ) + v2 ψ 2 ( z ) + v3 ψ 3 ( z ) + v4 ψ 4 ( z ) ϕ = −v1 ψ1 ' ( z ) − v2 ψ 2 ' ( z ) − v3 ψ 3 ' ( z ) − v4 ψ 4 ' ( z ) ( e)

( e)

( e)

2

⎛ z − zA ⎞ ⎛ z − zA ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + 2⎜⎜ ψ ( z ) = 1 − 3⎜⎜ h h ⎝ e ⎠ ⎝ e ⎠ (e) 1

2

⎛ z − zA ⎞ ⎛ z − zA ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ − 2 ⎜⎜ ψ 3( e ) ( z) = 3⎜⎜ h h ⎝ e ⎠ ⎝ e ⎠

3

3

( e)

( e)

(e)

( e)

( e)

⎛ z − zA ⎞ ⎟⎟ ψ ( z ) = −( z − zA )⎜⎜1 − h ⎠ ⎝ e

2

(e ) 2

⎡⎛ z − z ⎞2 z − z ⎤ A A ⎟⎟ − ⎥ ψ4( e) ( z) = −( z − z A )⎢⎜⎜ h h ⎢⎣⎝ e ⎠ ⎥⎦ e

Le ψ sono continue fino alla derivata terza per calcolare i tagli Elemento finito Trave inflessa

10

2

3

⎛ z − zA ⎞ ⎛ z − zA ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + 2⎜⎜ ψ 1( e ) ( z ) = 1 − 3⎜⎜ h h ⎝ e ⎠ ⎝ e ⎠

ψ 1( e ) ' ( z ) =

6 (z − zA )(− he + z − zA ) 3 he

Elemento finito Trave inflessa

11

2

⎛ z − zA ⎞ ⎛ z − zA ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ − 2⎜⎜ ψ 3( e ) ( z ) = 3⎜⎜ h h ⎝ e ⎠ ⎝ e ⎠

ψ 3( e ) ' ( z ) = −

3

6(z − z A )(− he + z − z A ) 3 he

Elemento finito Trave inflessa

12

⎛ z − zA ⎞ ⎟⎟ ψ 2( e ) ( z ) = −( z − zA )⎜⎜ 1 − h e ⎠ ⎝

ψ 2( e ) ' ( z ) = −

2

(he − z + zA )(he − 3 z + 3 zA ) he

2

Elemento finito Trave inflessa

13

⎡⎛ z − z ⎞ 2 z − z ⎤ A A ⎟⎟ − ⎥ ψ ( z) = −( z − z A )⎢⎜⎜ h h ⎢⎣⎝ e ⎠ ⎥⎦ e (e) 4

ψ 4( e ) ' ( z ) = −

(− z + zA )(− 3 z + 3z A +2he ) he

2

Elemento finito Trave inflessa

14

Nota

v( z A ) = v1( e)ψ 1( e) ( z A ) + v2 ( e)ψ 2 ( e)( z A ) + v3( e)ψ 3( e)( z A ) + v4 ( e )ψ 4 ( e )( z A ) = v1( e) ) (e ) ) (e ) '( z A ) − v4 (e ψ '( zA ) ϕ ( z A ) = − v1 (e )ψ 1 (e ) '( z A ) − v2 (e )ψ 2 (e ) '( zA ) − v3 (e ψ 3 4

= v 2( e) v( z B ) = v1( e)ψ 1( e) ( z B ) + v2 ( e)ψ 2 ( e ) ( z B ) + v3( e)ψ 3( e)( z B ) + v4 ( e)ψ 4(e ) ( zB ) = v 3( e ) ) (e ) '( zB ) ϕ ( zB ) = − v1 (e )ψ 1 (e ) '( zB ) − v2 (e )ψ 2 (e ) '( zB ) − v3 (e )ψ 3 (e ) '( zB ) − v4 (e ψ 4

= v 4( e) Elemento finito Trave inflessa

15

Matrice di rigidezza, vettore delle forze funzioni loro derivate 2 3 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − z z z z z z (e ) A A A ψ 1( e ) ( z) = 1 − 3 ⎜ ⎟ +2⎜ ⎟ ψ 2 (z ) = − ( z − z A ) ⎜ 1 − ⎟ he ⎠ ⎝ he ⎠ ⎝ he ⎠ ⎝ 6 ( z − z A )( − he + z − z A ) ( he − z + zA )( he − 3 z + 3 zA ) (e ) = − z '( ) ψ 1( e ) '( z ) = ψ 2 he 3 he 2

ψ 1( e ) ''( z) =

6 ( 2 z − 2 z A − he )

ψ 2(e ) ''( z ) = −

he 3 2

3

⎛ z − zA ⎞ ⎛ z − zA ⎞ − 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ he ⎠ ⎝ he ⎠ 6 ( z − zA )( − he + z − zA ) ψ 3( e) '( z) = − he3

ψ 3( e) ( z ) = 3 ⎜

ψ 3( e) ''( z ) = −

6 ( 2 z − 2 z A − he ) he3

2 ( 3 z − 3a A − 2he ) he 2

⎡⎛ z − z ⎞2 z − z ⎤ A A ⎥ ψ 4( e) ( z) = − ( z − z A ) ⎢⎜ ⎟ − he ⎥ ⎢⎣⎝ he ⎠ ⎦ ( − z + z A )( −3z + 3z A +2he ) ψ 4( e) '(z ) = − he2

ψ 4( e) ''( z ) = −

Elemento finito Trave inflessa

2 ( 3z − 3z A − he ) he2 16

[K ]

Matrice di rigidezza

( e)

⎡ 6 ⎢ 2 EI ⎢ − 3he = 3 he ⎢ − 6 ⎢ ⎣ − 3he

− 3he 2

2he 3he 2

he

− 6 − 3he ⎤ 2 3he he ⎥⎥ 6 3he ⎥ 2 ⎥ 3he 2he ⎦

zB

Vettore delle forze

Fi

( e)

= ∫ ψ i ( z ) q dz + ψi ( z B )Q3 − ψ i ' ( zB ) Q4 ( e)

(e)

(e)

zA

+ ψi ( z A ) Q1 − ψi ' ( z A ) Q2 (e)

(e)

⎧ 6 ⎫ ⎧ Q1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q he ⎪− he ⎪ ⎪ Q2 ⎪ = ⎬+⎨ ⎬ ⎨ 12 ⎪ 6 ⎪ ⎪ Q3 ⎪ ⎪⎩ he ⎪⎭ ⎪⎩ Q4 ⎪⎭ Elemento finito Trave inflessa

17

Assemblaggio 1

U 1, U 2

U 3, U 4

1

2

2

v1(1) = U1 v3(1) = U3 v2(1) = U2 v4(1) = U4

2

– Parametri globali v1(1) = U1 v2(1) = U2

v3(1) = U3 = v1(2) v4(1) = U4 = v2(2)

3

4

5

3

v1(2) = U3 v3(2) = U5 v2(2) = U4 v4(2) = U6 Parametri locali

U5 , U6 U7 , U8 U9 , U10

3

4

4 5 v1(3) = U5 v3(3) = U7 v2(3) = U6 v4(3) = U8 v1(4) = U7 v3(4) = U9 v2(4) = U8 v4(4) = U10 v3(2) = U5 = v1(3) v4(2) = U6 = v2(3) Elemento finito Trave inflessa

v3(3) = U7 = v1(4) v4(3) = U8 = v2(4)

v3(4) = U9 v4(4) = U10 18

Nodo 1

Nodo 2

Matrice Booleana di connettività

⎡1 ⎢2 B =⎢ ⎢3 ⎢4 ⎣ Esempio

2⎤ 3⎥ ⎥ 4⎥ 5 ⎥⎦

Matrice delle equazioni nei nodi

elemento

⎡1 2 ⎤ ⎢3 4 ⎥ ⎢ ⎥ Q = ⎢5 6 ⎥ ⎥ ⎢ 7 8 ⎥ ⎢ ⎢⎣ 9 10⎥⎦

L’elemento 3 ha nodi 3 e 4, equazioni 5 e 6 nel nodo 3 ed equazioni 7 e 8 nel nodo 4 K11(3) si va sommare al termine K55 della matrice globale della struttura K12(3) si va sommare al termine K56 della matrice globale della struttura K13(3) si va sommare al termine K57 della matrice globale della struttura Elemento finito Trave inflessa

19

Matrice di rigidezza globale

Matrice di rigidezza locale

(1) ⎡K 11 ⎢ (1) ⎢K 21 (1) ⎢K 31 ⎢ (1) ⎣K 41

(1) K 12

(1) K 13

(1) K 22

(1) K 23

(1) K 32

(1) K 33

(1) K 42

K (431)

(1) ⎤ K 14 (1) ⎥ K 24 ⎥ (1) K 34 ⎥ (1) ⎥ K 44 ⎦

⎡ K1,1 ⎢K ⎢ 2,1 ⎢ ... ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢K 10,1 ⎣

K1, 2

... K 5,5

K 5, 6

K 5, 7

K 5,8

K 6 ,5

K 6, 6

K 6, 7

K 6 ,8

K 7 ,5

K 7,6

K 7,7

K 7 ,8

K 8,5

K 8,6

K 8, 7

K 8,8

Elemento finito Trave inflessa

K 1,10 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ K10,10 ⎥⎦

20

Assemblaggio matrice di rigidezza do e = 1, ne Calcola Ke (locale nel riferimento globale) do i1 = 1, nel ne = numero di elementi do k1 = 1, ndf nel = numero di nodi ii1 = (i1-1) * ndf + k1 per elemento eq1 = Q(B(e,i1),k1) ndf = numero di gradi di do i2 = 1, nel libertà per nodo do k2 = 1, ndf ii2 = (i2-1) * ndf + k2 eq2 = Q(B(e,i2),k2) K(eq1,eq2) = K(eq1,eq2) + Ke(ii1,ii2) end do end do end do end do end do

Elemento finito Trave inflessa

21

Assemblaggio vettore delle forze do e = 1, ne Calcola Fe (locale nel riferimento globale) do i1 = 1, nel do k1 = 1, ndf ii1 = (i1-1) * ndf + k1 eq1 = Q(B(e,i1),k1) F(eq1) = F(eq1) + Fe(ii1) end do end do end do

Elemento finito Trave inflessa

22

Condizioni al contorno Q1(e)

k

e Q2(e)

Q3(k)

Q1(k)

Q3(e)

Q4(e)

Q2(k)

Q4(k)

Non sono presenti forze applicate nei nodi interni Q3(e) + Q1(k) = 0 Q4(e) + Q2(k) = 0

Elemento finito Trave inflessa

23

z=0

z=L

Spostamento nullo

Forza assegnata

Rotazione nulla

Momento assegnato F

1

4 m

U1 = 0 U2 = 0

Q3(4) = F Q4(4) = m

Elemento finito Trave inflessa

24

Soluzione del sistema di equazioni Si elimina: riga 1, colonna 1 riga 2, colonna 2

Si ottiene un sistema di 8 equazioni in 8 incognite

Si calcolano U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9, U10

Si determinano le reazioni

Elemento finito Trave inflessa

25...