Statistiques I - Série janvier 2019 PDF

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Examen préparatoire - Janvier 2019...

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EXAMEN DE STATISTIQUE 1 JANVIER 2019

PROBLEME 1 Lors des prochains Jeux olympiques d’hiver qui auront lieu en Corée du Sud, le prix des billets a été fixé notamment en fonction de la discipline et du lieu de chaque compétition. La répartition du prix des billets se présente ainsi : 𝑎𝑖

𝒏𝒊 (nb billets)

Classes (prix billets)

40-50 50-80 80-100 100-120 120-150 150-300 TOTAUX

10 30 20 20 30

150

104 210 363 312 146 35 1’170

1𝑥 = 𝑖

a)

𝒙𝒊 1

𝑬𝑪𝑪

45 65 90 110 135 225 670

104 314 677 989 1’135 1’170 –

4’680 13’650 32’670 34’320 19’710 7’875 112’905

2 𝐸𝐶𝐶𝑟 =

2

|𝒙𝒊 − 𝒙 |3

𝒏 𝒊 𝒙𝒊

208 140 363 312 97.33 4.67 –

𝑏𝑜𝑟𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑝.−𝑏𝑜𝑟𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓.

51.5 31.5 6.5 13.5 38.5 128.5 –

∙ 𝑎𝑐ℎ𝑒𝑟𝑐ℎé𝑒

𝑛𝑖 . 𝑎𝑖

𝒏𝒊 |𝒙𝒊 − 𝒙|3

3 Voir d)

Quel est le prix moyen d’un billet d’entrée lors des prochains JO 2018 ? ∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝟏𝟏𝟐′𝟗𝟎𝟓 = 𝟗𝟔. 𝟓 = ∑ 𝑛𝑖 𝟏′𝟏𝟕𝟎

b)

𝑬𝑪𝑪𝒓 2

∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑛𝑖

Déterminer la médiane de cette distribution. Interpréter le résultat. 𝑀é = 80 + (

1′170 20 = 𝟗𝟒. 𝟗𝟑 − 314) ∙ 363 2

50% des billets sont supérieurs à CHF 94.93 et 50% inférieurs

𝑀é = 𝐴 + (

1 Si ∑ 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 → ∑ 𝑛 + 1 𝑖 𝑖

c)

∑ 𝑛𝑖 1 𝑎 − 𝐸𝐶𝐶𝑖𝑛𝑓) ∙ 2 𝑒𝑚é𝑑 2

2e méd = ECCr de la classe médiane

Que vaut le mode de cette distribution et quel est son sens ? 𝑀𝑜 = 80 + 20 ∙

(363 − 140) = 𝟗𝟔. 𝟐𝟖 (363 − 140) + (363 − 312)

La majorité des billets coûtent CHF 96.28 ou le prix du billet le plus fréquent vaut CHF 96.28

𝑀𝑜 = 𝐴 + 𝑎 ∙

𝑘1 1 𝑘1 + 𝑘2

1 𝑘 𝑒𝑡 𝑘 sont les différences entre les effectifs rectifiés de la classe modale et des deux classes qui l’entourent 1 2

d)

Calculer l’écart absolu moyen. Comment peut-on interpréter ce résultat ? 𝑥 =

112905 6 1170 6

= 𝟗𝟔. 𝟓

EMR de 25.39% → forte dispersion

𝑥 =

𝑒𝑎 =

𝑛 𝑖 𝑥𝑖  𝑛 𝑖

28661 1170

= 𝟐𝟒. 𝟓𝟎

𝑒𝑎 =

𝐸𝑀𝑅 =

∑ 𝑛𝑖 ∙|𝑥𝑖 −𝑥 | ∑ 𝑛𝑖

24.50 96.5

∙ 100 = 𝟐𝟓. 𝟑𝟗%

𝐸𝑀𝑅 =

𝑒𝑎 𝑥

∙ 100

5’356 6’615 2'359.5 4’212 5’621 4'497.5 28’661

EXAMEN DE STATISTIQUE 1 JANVIER 2019

e)

Au-dessous de quel prix trouve-t-on le quart des billets les moins chers ? 𝑞1 = 1 ∙

1170 4

= 𝟐𝟗𝟐. 𝟓 → ECC → Classe 50-80

𝑄𝑖 = 50 + ((292.5 − 104) ∙

30 ) = 𝟕𝟔. 𝟗𝟑 210

Le quart des billets les moins chers se trouvent au-dessous de CHF 76.93

𝑞𝑖 = 𝑖 ∙

∑ 𝑛𝑖 4

↔ 𝑑𝑖 = 𝑖 ∙

∑ 𝑛𝑖 ∑ 𝑛𝑖 ↔ 𝑐𝑖 = 𝑖 ∙ → 𝐸𝐶𝐶 → 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 10 100

𝑄𝑖 = 𝐴 + ((𝑞𝑖 1 − 𝐸𝐶𝐶inf ) ∙ 1 𝑞 𝑜𝑢 𝑑 𝑜𝑢 𝑐 𝑖 𝑖 𝑖

𝑎

𝑛𝑖𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒

)

PROBLEME 2 Récemment, l’Office fédéral de la Statistique a publié la répartition de la richesse en Suisse (effet : 31.12.2014). Elle se répartit ainsi : 𝑎𝑖

50

150 800 2’000

Classes (fortune nette)

0–50 50-200 200-1’000 1’000-3’000 TOTAUX

𝒏𝒊 (nb contribuables) 2’895 1’016 1’001 294 5’206

1𝑥 = 𝑖

a)

𝒙𝒊 1

25 75 600 2’000 2’700

𝑬𝑪𝑪 2’895 3’911 4’912 5’206 –

𝒏 𝒊 𝒙𝒊

72’375 76’200 600’600 588’000 1'387’975 2 𝐸𝐶𝐶𝑟 =

𝑏𝑜𝑟𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑝.−𝑏𝑜𝑟𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓. 2

𝒏 𝒊 𝒙𝒊 𝑪 72’375

1'387’975 – 𝑛𝑖 . 𝑎𝑖

∙ 𝑎𝑐ℎ𝑒𝑟𝑐ℎé𝑒

%𝑬𝑪𝑪 55.61 75.12 94.35 100.00 –

%𝒏𝒊 𝒙𝒊 𝑪 5.21 14.36 57.64 100.00 –

3 Voir d)

Calculer la médiale de cette distribution. Interpréter le résultat.

1387975 800 = 𝟖𝟓𝟖. 𝟖𝟐 − 199375) ∙ 600600 2 858.82 → CHF 858'825 → La moitié de la fortune est détenue par les contribuables possédant plus de CHF 858'825 et l’autre moitié par ceux qui en possèdent moins 𝑀é𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒 = 200 + (

𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒 = 𝑀𝐿 = 𝐴 + ( b)

∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 → 𝑛 𝑖 𝑥𝑖 𝐶 → 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 2

∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝑎 − 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝐶inf ) ∙ 2 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝑐𝑙𝑎.𝑚é𝑑.

En sachant que la médiane vaut 44.957 milliers de francs, déterminer l’indice de concentration relatif et porter un jugement sur la concentration de cette distribution. 858.82 − 44.957 ∙ 100 = 𝟐𝟕. 𝟏𝟑% 3000 − 0 L’indice de concentration relatif est de 27.13% → forte concentration 𝐼𝐶𝑅 =

𝐼𝐶𝑅 =

é𝑐𝑎𝑟𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑀𝐿 𝑒𝑡 𝑀é ∙ 100 é𝑡𝑒𝑛𝑑𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒

EXAMEN DE STATISTIQUE 1 JANVIER 2019

c)

Dessiner la courbe de Lorenz (choisir une échelle où deux carreaux représentent 10%). Porter un jugement1 sur la concentration de cette distribution. Forte concentration

%𝒏𝒊 𝒙𝒊 𝑪

%𝑬𝑪𝑪 1 Plus la courbe de Lorenz est proche de la diagonale du carré, plus la concentration est faible

PROBLEME 3 Le tableau ci-dessous recense le nombre de médailles (or, argent et bronze) obtenues par différentes délégations au cours des Jeux olympiques d’hiver de Salt Lake City en 2002. Au cours de ces jeux, la Suisse avait obtenu le 3ème meilleur résultat de son histoire en récoltant 11 médailles. Pays Russie Canada France Suisse Italie Suède Finlande Chine TOTAUX

On donne les indications suivantes : ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 ) ∙ (𝑦𝑖 − 𝑦) = 534.63 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = 5387.88

∑(𝑦𝑖 − 𝑦)2 = 84.88

𝑥𝑖 151 150 114 111 109 102 98 66 901

Nb athlètes sélectionnés

Nb médailles obtenues 𝑦𝑖

13 17 11 11 13 7 7 8 87

EXAMEN DE STATISTIQUE 1 JANVIER 2019

a)

Déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite de régression qui relie les délégations x au nombre de médailles y. Dans le cas présent, peut-on donner une signification à la pente a ? 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑒 =

534.63 = 𝟎. 𝟏 5387.88

87 901 ) = −𝟎. 𝟑𝟖 − (0.1 ∙ 8 8 Si on a une personne en plus (x), on aura 0.1 médaille en plus (y) → prendre 0 et 1 comme valeurs de X 𝑂𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒 =

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝛼 =

∑(𝑥𝑖 − 𝑥 ) ∙ (𝑦𝑖 − 𝑦) ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2

𝑂𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒 = 𝑏 = 𝑦 − (𝛼 ∙ 𝑥 )

b)

Le responsable de la délégation suisse aux prochains Jeux olympiques d’hiver en Corée du Sud souhaiterait connaître le nombre de médailles (or, argent et bronze) que les athlètes suisses, au nombre de 175, obtiendront. Donner une estimation du nombre de médailles que la délégation suisse devrait récolter en Corée du Sud. 𝑦 = 0.1 ∙ 175 − 0.38 = 17.12

𝐷𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 = 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

c)

Calculer le coefficient de corrélation relatif aux variables x et y. Interpréter le résultat. 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟é𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = Corrélation positive moyenne

534.63

√5387.88 ∙ 84.88

= 0.79

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟é𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑟 =

∑(𝑥𝑖 − 𝑥 ) ∙ (𝑦𝑖 − 𝑦)

√∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2 ∙ ∑(𝑦𝑖 − 𝑦)2...