Fiche formules Statistiques Descriptives L1 PDF

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Economie - Gestion L3 ...

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Fiche formules Statistiques Descriptives L1.S2 1) Définitions -

Population : L’ensemble des éléments étudiés. Caractère statistique : Il s’agit de l’objet de l’ensemble étudiés.

Exemple : On relève les notes d’un devoir, la population est les copies et le caractère les notes du devoir. Il faut savoir qu’on peut tomber sur deux types de caractères statistiques : QUALITATIF (non numérique) et QUANTITATIF. Ici, on va surtout s’intéresser aux caractères quantitatifs où nous allons distinguer deux types de valeurs : discrètes et continues.

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Variable discrète : Nombre fini de valeurs entre deux valeurs quelconques. Une variable discrète est toujours numérique.

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Variable continue : Nombre infini de valeurs entre deux valeurs quelconques. Une variable continue peut-être numérique ou il peut s'agir de données de date/d'heure.

2) Formules : Pour simplifier un peu la présentation, nous allons séparer les formules qui diffèrent légèrement entre les séries discrètes et continues.

Séries discrètes xi ni nixi nixi^2 nixi^3

0 20 0 0 0

2 50 100 200 400

3 20 60 180 540

4 10 40 160 640

Total 100 200 540 1580

Fonction des fréquences cumulées notée : f(x) :

Pour calculer une fréquence cumulée, il suffit d’ajouter à la fréquence d’une valeur d’un caractère, la ou les fréquences des valeurs précédentes. Ce n’est pas assez clair ? L’exemple sera plus parlant…

Bon alors la fréquence cumulée se fait en prenant la fréquence de base c’est-à-dire 0 sur 100, puis à chaque fois y AJOUTER la fréquence suivante donc 20 sur 100, puis 70 sur 100, 90 sur 100 et enfin 100 sur 100. Formellement : f(x) ∈ ]-∞ ; 0] = 0/100 = 0 f(x) ∈ ]0 ; 2] = 20/100 = 0,2 f(x) ∈ ]2 ; 3] = 70/100 = 0,7 f(x) ∈ ]3 ;4] = 90/100 = 0,9 f(x) ∈ ]4 ;+ ∞[ = 100/100 = 1 La médiane notée Me :

La médiane est la valeur d’une série permettant de couper cette dernière en deux parties égales. 1° Si l’effectif total est pair on a : N = 2Xp Dans le tableau ci-dessus N= 100 soit 100 = 2x50. On prend donc la 50ème valeur et la 51ème valeur ce qui donne (toujours par rapport au tableau ci-dessus).

(n50 + n51)/2 (2+2)/2 = 4/2 = 2. La médiane est donc 2.

2° Si l’effectif total est impair : Le principe est le même sauf qu’on ira chercher la valeur supérieure de n.

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Quartiles 1 et 3 notés respectivement Q1 et Q3 :

Q1 : 25% de la série. Q3 : 75% de la série. Exemple : (ref. tableau) : Q1 : (1/4) x n Ici : 100/4 = 25. Donc : (x25 + x26) / 2 = (2+2) / 2 = 2. Q1 = 2 Q3 : (3/4) x n Ici : 300/4 = 75. Donc (x75 + x76) / 2 = (3+3) / 2 = 3. Q3 = 3

Diagramme en boîte :

Le diagramme en boîte est simplement une représentation sous forme de schéma de Me, Q1 et Q3 qui ressemble à ceci (je vous laisse compléter avec les résultats trouvés précédemment) :

Moyenne et Variance :

1° La moyenne : 1/ (ensemble des ni) x nixi Exemple : Ici l’ensemble des ni est 100 et l’ensemble de nixi est 200 On a donc : 200/100 = 2. Moyenne = 2. 2°La Variance V(x) : (1/n) x (ensemble des nixi^2) – moyenne au carré. Soit : Ensemble des nixi^2 = 540 et moyenne au carré : 2^2 = 4. V(x) = (540/100) – 4 = 5,4 – 4 = 1,4. La variance est de 1,4. Coefficient de Fischer :

Je m’excuse d’avance, mais je n’arrive pas à le taper j’ai donc pris en photo la formule ainsi que l’exemple. Au partiel, le prof donne les formules de u3. (Par contre je ne suis pas sûr du résultat, à vérifier).

Il suffit d’appliquer la formule ! En bas à droite on peut remarquer « étalée à gauche », en fait une fois le coefficient de Fischer fait, il suffit de regarder s’il est positif ou négatif. S’il est négatif la distribution de l’effectif est étalée à gaucher et inversement s’il est positif.

Fonction des masses relatives cumulées :

Le nom ressemble fortement à « fonction des fréquences cumulées », ce n’est pas pour rien car le principe est PRATIQUEMENT le même à un détail près : au lieu de se servir de ni on va se servir de nixi.

Séries continues : Xi ci Ni Nici Nici^2 Nici^3

[-5 ;5[ 0 3 0 0 0

[15 ;25[ 20 3 60 1200 24000

[25 ;35[ 30 2 60 1800 54000

[35 ;45[ 40 2 80 3200 128000

TOTAL 10 200 6200 206000

Comme vu ci-dessus, on se sert beaucoup de xi sauf qu’ici xi est un intervalle on va donc chercher une valeur centrale ci (voir tableau) simplifiant alors tous les calculs. Donc les formules sont les mêmes que pour une série discrète, sauf pour la médiane, Q1 et Q3. Pour la médiane, Q1 et Q3 on utilise la méthode par interpolation linéaire. Pour utiliser cette méthode il faut au préalable avoir fait les fonctions des fréquences cumulées. Pour mieux comprendre : ref.exemple ci-dessous....