4 exponentielle et logarithme fiche récapitulative de toutes les formules PDF

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Summary

petite fiche récapitulative de toutes les formules utiles pour l'application des logarithmes et exponentielles qui vous sera très utile...

Description

Exponentielle et logarithme Terminale S

Courbes représentatives

f (x) = exp(x) = ex définie sur R à valeurs dans ] 0 ; +∞ [

Fonction logarithme f (x) = ln(x)

exp( x)

Fonction exponentielle

à valeurs dans R

y=

4

définie sur ] 0 ; +∞ [

3

e

e0 = 1

x) y = ln(

2

1

e = e ≈ 2, 718

ln(e) = 1 1

1 x u′ (ln(u))′ = u

(ex )′ = ex u ′

ln(1) = 0

(ln(x))′ =

′ u

(e ) = u e

5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

e3

4

5

−1

lim ex = 0+

x→−∞

lim ln(x) = −∞

−2

lim ex = +∞

x→0+

x→+∞

lim ln(x) = +∞

−3

x→+∞

Propriétés des exponentielles

Propriétés des logarithmes

a, b et n sont des réels :

a et b sont des réels strictement positifs, n est un réel : ✧ Produit : ln(ab) = ln(a) + ln(b)  1 = − ln(a) ✧ Inverse : ln a  a ✧ Quotient : ln = ln(a) − ln(b) b ✧ Puissance : ln (an ) = n ln(a) √ 1 ✧ Racine carrée : ln ( a) = ln(a)

ea × eb = ea+b 1 = e−a ea ea = ea−b eb

✧ Produit : ✧ Inverse : ✧ Quotient :

(ea )n = ean √ 1 e2 = e

✧ Puissance : ✧ Racine carrée :

2

Lien exponentielle et logarithme La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la première bissectrice (y = x) ✧ ln(exp x) = x ln(ex ) = x ✧ exp(ln x) = x

eln(x) = x

✧ exp x = y ⇐⇒ x = ln(y) ✧ xy = exp(y ln(x))

ex = y ⇐⇒ x = ln(y) xy = ey ln(x)

Équations et d’inéquations avec des exponentielles

Équations et d’inéquations avec des logarithmes

u, v sont des réels, λ est un réel strictement positif : ✧ eu = ev ⇐⇒ u = v eu = λ ⇐⇒ u = ln(λ)

u, v sont des réels strictement positifs, λ est un réel : ✧ ln(u) = ln(v) ⇐⇒ u = v ln(u) = λ ⇐⇒ u = eλ

✧ eu > ev ⇐⇒ u > v

✧ ln(u) > ln(v) ⇐⇒ u > v

✧ eu ≤ ev ⇐⇒ u ≤ v

eu > λ ⇐⇒ u > ln(λ)

eu ≤ λ ⇐⇒ u ≤ ln(λ)

✧ ln(u) ≤ ln(v) ⇐⇒ u ≤ v

✧ eu ≤ 0 impossible et eu > 0 toujours vrai

ln(u) > λ ⇐⇒ u > eλ

ln(u) ≤ λ ⇐⇒ u ≤ eλ

✧ ln(u) ≤ 0 ⇐⇒ 0 < u ≤ 1 et ln(u) > 0 ⇐⇒ u > 1

Croissance comparée et limites particulières lim xex = 0

x→−∞

lim

x→+∞

ex = +∞ x

ex − 1 =1 x→0 x lim

lim x ln(x) = 0

x→0+

lim

x→+∞

ln(x) =0 x

lim

x→0

ln(1 + x) =1 x...