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EDICIÓN REVISADA STEWART El contenido de la obra que tiene usted en sus manos, Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, se ha reorganizado de manera tal que los profesores puedan enseñar las funciones trascendentes (más que simples funciones trigonométricas) antes de pasar a la integral. Ad...

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EDICIÓN REVISADA STEWART

El contenido de la obra que tiene usted en sus manos, Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, se ha reorganizado de manera tal que los profesores puedan enseñar las funciones trascendentes (más que simples funciones trigonométricas) antes de pasar a la integral. Además, el autor desarrolla el texto basándose en lo que él llama regla de tres, es decir, plantea que “los temas deben presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica”. El énfasis en la solución de problemas, la meticulosa exactitud, las pacientes explicaciones y los conjuntos de problemas cuidadosamente graduados son conceptos que identifican este texto clásico de cálculo.

Sexta edición

Características • La obra tiene una presentación clara y selectiva. El autor conduce al estudiante a lo largo de un material crucial mediante una forma sencilla, correcta y analítica. • Se han incorporado nuevos ejercicios que van desde un nivel básico hasta los muy complicados, para obligar la práctica y adquisición de habilidades (incluyendo problemas para software y calculadora graficadora). • En el texto se enfatiza la importancia de la solución de problemas, en el apartado “Principios para la resolución de problemas”, además de las conocidas y aumentadas secciones de “Problemas adicionales”. Estamos seguros de que esta excelente obra será para usted una herramienta fundamental en la enseñanza y/o aprendizaje del Cálculo.

EDICIÓN REVISADA

JAMES STEWART

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CÁ L C U L O DE

UNA VARIABLE

Trascendentes tempranas S E X TA E D I C I Ó N (Edición revisada)

J A M E S S T E WA RT McMASTER UNIVERSITY

Traducción:

Jorge Humber to Romo M. Traductor Profesional Revisión técnica:

Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional M. en C . Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, Sexta edición James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Javier Arellano Gutiérrez Director general México y Centroamérica: Pedro Turbay Garrido Director editorial Latinoamérica: José Tomás Pérez Bonilla Director de producción: Raúl D. Zendejas Espejel Coordinadora editorial: María Rosas López Editor de desarrollo: Sergio R. Cervantes González Editor de producción: Timoteo Eliosa García Ilustrador: Brian Betsill Composición tipográfica: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.

© D.R. 2008 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe, núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Single Variable Calculus: Early Trascendentals, Sixth Edition Publicado en inglés por Thomson/Brooks/Cole © 2008 ISBN: 0-495-01169-X Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas Sexta edición ISBN-13: 978-607-481-317-3 ISBN-10: 607-481-317-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

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PARA SALLY Y DON PARA ALAN Y SHARON PARA KELLY, KIM Y CALLUM PARA JACKIE Y NINO

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CONTENIDO Prefacio

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Al estudiante

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Exámenes de diagnóstico

xx

PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO

1

FUNCIONES Y MODELOS

10

1.1

Cuatro maneras de representar una función

1.2

Modelos matemáticos: un catálogo de funciones básicas

1.3

Funciones nuevas a partir de funciones antiguas

1.4

Calculadoras graficadoras y computadoras

1.5

Funciones exponenciales

1.6

Funciones inversas y logaritmos Repaso

11 37

46

59

73

LÍMITES Y DERIVADAS

76

82

2.1

La tangente y los problemas de la velocidad

2.2

Límite de una función

2.3

Cálculo de límites utilizando las leyes de los límites

2.4

Definición exacta de límite

2.5

Continuidad

2.6

Límites al infinito, asíntotas horizontales

2.7

Derivadas y razones de cambio

83

88 99

109

119 130

143

Redacción de proyecto Métodos anticipados para la búsqueda de tangentes &

2.8

La derivada como una función Repaso

24

52

Principios para la resolución de problemas

2

2

153

154

165

Problemas adicionales

170

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CONTENIDO

m=0 m=1

3

REGLAS DE DERIVACIÓN

y

3.1

π 2

Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales Proyecto de aplicación Construcción de una montaña rusa

m=_1 0

172

182

&

π

y

3.2

Las reglas del producto y el cociente

3.3

Derivadas de las funciones trigonométricas

3.4

La regla de la cadena

183 189

197

Proyecto de aplicación ¿Dónde debe un piloto iniciar un descenso? &

0

π 2

π

206

3.5

Derivación implícita

207

3.6

Derivadas de funciones logarítmicas

3.7

Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales

3.8

Crecimiento y decaimiento exponencial

3.9

Relaciones afines

3.10

Aproximaciones lineales y diferenciales &

3.11

Funciones hiperbólicas Repaso

215 233 247

253

254

261

Problemas adicionales

265

APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 4.1

Valores máximos y mínimos

270

271

Proyecto de aplicación El cálculo de los arcoíris &

279

4.2

Teorema del valor medio

4.3

Manera en que las derivadas afectan la forma de una gráfica

4.4

Formas indeterminadas y la regla de l’Hospital

280

Redacción de proyecto Los orígenes de la regla de l‘Hospital &

4.5

Resumen de trazo de curvas

4.6

Trazado de gráficas con cálculo y calculadoras

4.7

Problemas de optimización &

4.8

Método de Newton

4.9

Antiderivadas

340

347

Problemas adicionales

351

334

298 307

307 322

Proyecto de aplicación La forma de una lata

Repaso

221

241

Proyecto de laboratorio Polinomios de Taylor

4

173

333

315

287

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CONTENIDO

5

INTEGRALES

354

5.1

Áreas y distancias

355

5.2

La integral definida

366

Proyecto para un descubrimiento Funciones de área &

379

5.3

El teorema fundamental del cálculo

379

5.4

Integrales indefinidas y el teorema del cambio total Redacción de proyecto Newton, Leibniz y la invención del cálculo &

5.5

399

La regla de la sustitución 400 Repaso

408

Problemas adicionales

6

391

412

APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 6.1

Áreas entre curvas

6.2

Volúmenes

6.3

Volúmenes mediante cascarones cilíndricos

6.4

Trabajo

6.5

Valor promedio de una función

414

415

422 433

438 442

Proyecto de aplicación ¿Dónde sentarse en las salas cinematográficas? &

Repaso

446

Problemas adicionales

7

446

448

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

452

7.1

Integración por partes

453

7.2

Integrales trigonométricas

460

7.3

Sustitución trigonométrica

467

7.4

Integración de funciones racionales por fracciones parciales

7.5

Estrategia para integración

7.6

Integración por medio de tablas y sistemas algebraicos

483

Proyecto para un descubrimiento Patrones de integrales &

494

489

473

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CONTENIDO

7.7

Integración aproximada

7.8

Integrales impropias Repaso

508

518

Problemas adicionales

8

495

521

MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 8.1

Longitud de arco

524

525

Proyecto para un descubrimiento Concurso de la longitud de arco &

8.2

Área de una superficie de revolución

532

Proyecto para un descubrimiento Rotación sobre una pendiente &

8.3

Aplicaciones a la física y a la ingeniería &

8.4

Aplicaciones a la economía y a la biología

8.5

Probabilidad

9

550

555

562

Problemas adicionales

564

ECUACIONES DIFERENCIALES

566

9.1

Modelado con ecuaciones diferenciales

9.2

Campos direccionales y método de Euler

9.3

Ecuaciones separables

567 572

580

Proyecto de aplicación ¿Qué tan rápido drena un tanque?

588

Proyecto de aplicación ¿Qué es más rápido, subir o bajar?

590

&

&

9.4

Modelos de crecimiento poblacional Proyecto de aplicación Cálculo y béisbol &

9.5

Ecuaciones lineales

9.6

Sistemas depredador-presa Repaso

614

Problemas adicionales

618

602 608

601

538

539

Proyecto para un descubrimiento Tazas de café complementarias

Repaso

532

591

550

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CONTENIDO

10

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 10.1

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

621

Proyecto de laboratorio Círculos que corren alrededor de círculos &

10.2

Cálculo con curvas paramétricas

630

Proyecto de laboratorio Curvas de Bézier

639

&

10.3

Coordenadas polares

10.4

Áreas y longitudes en coordenadas polares

10.5

Secciones cónicas

10.6

Secciones cónicas en coordenadas polares Repaso

639

654 662

672

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 11.1

650

669

Problemas adicionales

11

629

Sucesiones

674

675

Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas &

687

11.2

Series

687

11.3

La prueba de la integral y estimaciones de las sumas

11.4

Pruebas por comparación

11.5

Series alternantes

11.6

Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz

11.7

Estrategia para probar series

11.8

Series de potencias

11.9

Representaciones de las funciones como series de potencias

11.10

Series de Taylor y de Maclaurin

705

710

723

&

734 748

Redacción de proyecto Cómo descubrió Newton la serie binomial &

Aplicaciones de los polinomios de Taylor

749

Proyecto de aplicación Radiación proveniente de las estrellas &

Repaso

758

Problemas adicionales

761

714

721

Proyecto de laboratorio Un límite escurridizo

11.11

697

757

748

728

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620

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CONTENIDO

APÉNDICES

A1

A

Números, desigualdades y valores absolutos

B

Geometría de coordenadas y rectas

C

Gráficas de ecuaciones de segundo grado

D

Trigonometría

E

Notación sigma

F

Pruebas de teoremas

G

El logaritmo definido como una integral

H

Números complejos

I

Respuestas a ejercicios de número impar

ÍNDICE

A113

A2

A10 A16

A24 A34 A39 A48

A55 A63

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PREFACIO Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema del lector puede ser modesto, pero desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas; si lo resuelve por sí solo puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento. G E O R G E P O LYA

El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. He tratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el cálculo, por su poder práctico y sorprendente belleza. En esta edición, al igual que en las primeras cinco ediciones, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar competencia técnica en él, pero también me esfuerzo en dar alguna apreciación de la belleza intrínseca de esta materia. Es indudable que Newton experimentó una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante comparta en algo esa emoción. El énfasis está en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en que ésta debe ser el objetivo principal de aprender cálculo. De hecho, el ímpetu para el actual movimiento de reforma del cálculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que formuló como su primera recomendación: Concentrarse en entender conceptos He tratado de poner en práctica esta meta a través de la Regla de Tres: “Los temas deben presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica.” La visualización, la experimentación numérica y gráfica, y otros métodos, han cambiado de modo fundamental la forma en que enseñamos el razonamiento conceptual. Más recientemente, la Regla de Tres se ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar también el punto de vista verbal, o descriptivo. Al escribir la sexta edición, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensión de conceptos y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro contiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional. VERSIONES ALTERNATIVAS He escrito otros libros de cálculo diversos que podrían ser preferidos por algunos profesores. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables. &

&

&

Cálculo, Sexta edición, es semejante al presente libro con excepción de que las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el segundo semestre. Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aun cuando contiene casi todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de exposiciones más breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web. Cálculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Cálculo esencial, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el Capítulo 3.

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PREFACIO

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Cálculo: conceptos y contextos, Tercera edición, destaca la comprensión de conceptos con más vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclopédico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramétricas se entrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en capítulos separados. Cálculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer semestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursos de ingeniería y física de modo concurrente con cálculo.

LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIÓN Veamos a continuación algunos de los cambios para la sexta edición de Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas: &

&

&

&

&

&

Al principio del libro hay cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebr...