T5 Interpolación Y Ajuste DE Funciones PDF

Preview

Summary

INVESTIGACIONUNIDAD V: INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE FUNCIONESMétodos NuméricosMarcella Yamilet Ortiz Guillén19430151ISCÍNDICE#pág.5 Polinomio de interpolación de NewtonTeoría....................................................................................Ejemplos........................................

Description

2

INVESTIGACION UNIDAD V: INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE FUNCIONES Mé t o d osNumé r i c o s

Marcella Yamilet Ortiz Guillén 19430151 ISC

#pág.

5. 1Po l i nomi odei nt e r po l ac i ó ndeNe wt o n Te o r í a……………………………………………………………………. . . …3 Ej e mpl o s ……………………………………………………………………. . 4 5. 2Po l i nomi odei nt e r po l ac i ó ndeLagr ange Te o r í a…………………………………………………………………. . . ……5 Ej e mpl o s…………………………………………………………………. …6 5. 3I nt e r po l ac i óns e gme nt ada Te o r í a…. . ……………………………………………………………. . ……. . 7 Ej e mpl o s …………………………………………………………………. …. 8 5. 4Re gr e s i ó nyc o r r e l ac i ó n Te o r í a………………………………………………………………………. 10 Ej e mpl o s ……. ………………………………………………. ……………. . 11 5. 5Mí ni mo sc uadr ado s Te o r í a………………………………………………………………………. 12 Ej e mpl o s ……………………………………………………………………13 5. 6Pr obl e masdeapl i c ac i ó n Te o r í aye j empl o s …………………………………………………………. 14 Bi bl i o gr af í a………………………………………………………………………15

2

ÍNDICE

2

5.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON Con frecuencia se encontrará con que tiene que estimar valores intermedios entre puntos asociados con datos. El método más común que se usa para este propósito es la interpolación polinomial. Recuerde que la fórmula general para un polinomio de n-ésimo grado es

Dados n+1 puntos.

puntos asociados con datos, hay uno y sólo un polinomio de grado

n que pasa a través de todos los

Diferencias Divididas Interpolación Lineal La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos asociados con datos con una línea recta.

La notación

f 1 (x ) designa que éste es un polinomio de interpolación de primer grado. Observe que además de

representar la pendiente de la línea que une los puntos, el término

x (¿¿ 0) f ( x 1 ) −f ¿ es una aproximación en diferencias ¿ ¿ ¿

divididas finitas a la primera derivada. Interpolación cuadrática Una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos asociados con datos, éstos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (también conocido como polinomio cuadrático o parábola). Una forma particularmente conveniente para ello es

Un procedimiento simple puede usarse para determinar los valores de los coeficientes. Para encontrar ecuación se evalúa con x = x 0 evalúa en x = x 1 para tener

para obtener

b0 , en la

b0 =f ( x0 ) . Esta se sustituye en la ecuación original, después se

2 EJEMPLOS 

Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal. Primero, realice el cálculo por interpolación entre ln ( 1) =0 y ln ( 6) =1.791759 . Después, repita el procedimiento, pero use un intervalo menor de ln (1) a ln ( 4 ) .

Solución. Usamos la ecuación y una interpolación lineal para

ln (2)

desde x 0=1

que representa un error: e t=48.3 % . Con el intervalo menor desde

f 1 ( 2)=0+



1.386294−0 ( 2−1)=0.4620981 4−1

Ajuste un polinomio de segundo grado a los tres puntos del ejemplo anterior

Aplicando la ecuación correspondiente se obtiene

x 1=6

para obtener

x 0=1 hasta x 1=4 se obtiene

Solución.

b0 =0

x=2 f 2 ( 2)= 0.5658444



hasta

Obtener un polinomio que aproxime los puntos ( 1,2 ) , ( 0,4 ) ,(−3 ,−2)

f ( x0 , x1)=

2

n=3 j=0,1,2 x 0=1 x 1=0 x 2=−3 f (x 0)=2 x f (¿¿ 1)=4 ¿ x f (¿¿ 2)=−2 ¿

f ( x1 ) −f (x 0) x 1−x 0

=

4−2 =−2 0−1

f ( x 2 ) −f (x 1 ) −2 −4 = =2 x 2−x 1 −3−0 f ( x1 , x2) −f (x 0 , x 1) 2−(−2) =−1 = f ( x0 , x1 , x2)= −3 −1 x 2−x 0 f ( x1 , x2)=

n

f (x j

xj

0

1

2

1

0

4

-2

2

-3

-2

2

-1

a0 =2 , a1=−2 , a2=−1 Pn (x )=a0 +a 1 ( x − x 0 ) + a2( x −x0) ( x − x 1) =2+ (−2 ) ( x−1 ) +(−1 )( x−1 )( x−0 )

P ( x ) =−x 2−x+4

5.2 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representa de manera concisa como

donde

2 Donde

designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal

(n=1) es

y la versión de segundo grado es

EJEMPLOS 

Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primero y segundo grado evalúe ln 2

con los datos

Solución. El polinomio de primer grado se utiliza para obtener la estimación en x = 2

De manera similar, el polinomio de segundo grado se desarrolla así:

f 2 (2 )=



(2−1 )(2−6) (2−1)(2−4 ) (2−4 )(2−6) 0+ 1.386294+ 1.791760=0.5658444 (6−1)(6−4) (1−4 )(1−6) (4−1)(4−6)

Aplicar la interpolación de Lagrange para encontrar el polinomio que interpole los datos siguientes:

( 0,1) , (1,3 ) ,(2,0) Solución.

n=3 i=0,1,2 j=0,1,2 x 0=0 x 1=1

2

x 2=2 f ( x 0 ) =1 f ( x 1 ) =3 f ( x 2 ) =0 ( x − x 1)( x − x 2) ( x −1)( x −2) x2 −2 x−x +2 x 2−3 x+2 = = = 2 (x 0−x 1)(x 0−x 2 ) (0−1)(0−2) (−1)(−2) 1 2 L0 ( x) = (x −3 x+2) 2 L0 ( x) =

(x −x 0 )( x − x 2) (x−0)(x−2) x2 −2 x−0+0 x2 −2 x 2 =−( x −2 x ) = = = −1 (1)(−1) ( x 1−x 0 )(x 1−x 2) (1−0 )(1−2) 2 L1 ( x) =−( x −2 x ) L1 ( x) =

L2 ( x) =

(x −x 0 )( x − x 1) (x−0)(x−1) x2 −x−0+0 1 2 = = = (x −x) ( x 2−x 0 )(x 2−x 1) (2−0 )(2−1) 2 (2)(1) 1 L2 ( x) = (x2 −x) 2 P ( x ) =f ( x 0 ) L0 ( x ) +f ( x 1 ) L1 ( x )+f (x2 )L2 ( x ) 1 2 1 2 2 P ( x ) = (1) ( x −3 x +2 ) + (3 ) [− ( x −2 x ) ] + ( 0 )[ (x −x)] 2 2 3 −5 2 9 1 2 1 2 2 2 x + x +1 P ( x ) = ( x −3 x +2 ) −3 ( x −2 x ) +0= x − x +1−3 x +6 x= 2 2 2 2 2

[

P ( x) =

]

−5 2 9 x + x +1 2 2

5.3 INTERPOLACIÓN SEGMENTADA También llamada interpolación por splines. La idea central es que, en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Cabe mencionar que, entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

Spline Lineal Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma unir cada par de coordenadas mediante una recta. Dados los n+1 puntos:

f ( x )=ax+b ) que se encargan de

2 Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta. Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, se tiene que para este caso:

Donde   

s j ( x ) es un polinomio de grado menor o igual que 1 s (x) tiene derivada continua de orden k −1=0 s ( x j )= y j , para j=0,1,2, … , n

Spline Cuadrática Los polinomios forma

P(x)

a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la

P ( x ) =a x2 +bx +c Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N−1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P ( x ) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar como condiciones:  

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn (x) que rodean al f (x) que queremos aproximar, sean igual a f (x) en cada uno de estos puntos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

Spline Cúbica Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en tener la forma P ( x )=a x3 + b x 2 + cx + d . En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:

[ m , n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a

(a , b , c , d) y una nueva condición para cada punto



Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn (x) que rodean al f (x) que queremos aproximar, sean igual a f (x) en cada uno de estos puntos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

EJEMPLOS 

Encontrar los splines cúbicos naturales para los datos correspondientes al censo de una población (en miles de habitantes) se recogen en la siguiente tabla:

Año

1950

1960

1970

1980

1990

2000

123.5

131.2

150.7

141.3

203.2

240.5

(x) Número de habitantes

f (x) Intervalos

[1950−1960] [1960−1970] [1970−1980] [1980−1990] [1990−2000]

Ecuaciones

S 0 ( x ) =a0 x 3+b0 x2 +c 0 x + d 0 S1 ( x ) =a 1 x 3+b1 x 2 +c 1 x + d1 s ( x )=S 2 ( x )= a2 x 3 + b 2 x 2+ c 2 x + d 2 S3 ( x )=a3 x 3 + b3 x2 +c 3 x + d 3 S 4 ( x) =a 4 x3 +b 4 x 2+ c 4 x +d 4 Usamos

3 2 S 0 ( x) =a0 x + b0 x +c 0 x + d 0

[1950−1960]

2



123.5=7414875000 a 0+3802500 b 0+ 19540 c0 + d 0 S 0 ( x) =a0 (1960)3 +b 0 (1960)2 +c 0 ( 1960 )+d 0 131.2=7529536000 a0 +3841600 b0 +1960 c 0 +d 0

Repetimos estos cálculos para todos los intervalos para poder llegar a los datos de la tabla siguiente

x

f (x)

1950

123.5

1960 1970

131.2 150.7

1980

141.3

1990

203.2

2000

240.5

5.4 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN En la ingeniería, aunque algunos datos exhiben un patrón marcado, son pobremente representados por una línea recta, entonces, una curva podrá ser más adecuada para ajustarse a los datos. Un método para lograr este objetivo es utilizar transformaciones. Otra alternativa es ajustar polinomios a los datos mediante regresión polinomial. El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste de datos con un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de segundo grado o cuadrático:

En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es

Al seguir el procedimiento de la sección anterior, obtenemos la derivada de la ecuación con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomio,

2

S 0 ( x) =a0 (1950)3 +b 0 (1950)2 +c 0 ( 1950 )+d 0

2 Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan para desarrollar el siguiente conjunto de ecuaciones normales:

donde todas las sumatorias van desde i=1 hasta n . Observe que las tres ecuaciones anteriores son lineales y tienen tres incógnitas: a0 , a1 y a2 . Los coeficientes de las incógnitas se evalúan de manera directa, a partir de los datos observados. El caso bidimensional se extiende con facilidad a un polinomio de m-ésimo grado como sigue

El análisis anterior se puede extender fácilmente a este caso más general. Así, se reconoce que la determinación de los coeficientes de un polinomio de m-ésimo grado es equivalente a resolver un sistema de m+1 ecuaciones lineales simultáneas. En este caso, el error estándar se formula como sigue

Esta cantidad se divide entre n−(m+1) ya que (m +1) coeficientes obtenidos de los datos, utilizaron para calcular S r ; hemos perdido m+ 1 grados de libertad.

a0 , a1 , … , am se

EJEMPLOS 

Ajustar a un polinomio de segundo grado los datos dados en las dos primeras columnas de la tabla

Solución. A partir de los datos dados

2 Ecuaciones lineales simultáneas:

Resolviendo estas ecuaciones con una técnica como la eliminación de Gauss se tiene

a0 =2.47857 a1=2.35929 a2=1.86071

2

y=2.47857+ 2.35929c +1.86071 x

S y / x=

2

r=

√

3.72657 =1.12 6−3

2513.39−3.74657 =0.99851 2513.39

r=0.99925 5.5 MÍNIMOS CUADRADOS Una manera para determinar la línea de la figura de la imagen es inspeccionar en forma visual los datos graficados y después trazar una “mejor” línea a través de los puntos. Aunque tales procedimientos “a ojo” apelan al sentido común y son válidos para cálculos “superficiales”, resultan deficientes por ser arbitrarios. Es decir, a menos que los puntos definan una línea recta perfecta, diferentes analistas dibujarían líneas distintas. Para dejar a un lado dicha subjetividad se debe encontrar algún criterio para establecer una base para el ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. Una técnica para lograr tal objetivo, llamada regresión por mínimos cuadrados.

Mínimos cuadrados lineales El enfoque de mínimos cuadrados para este problema implica determinar la mejor línea de aproximación cuando el error relacionado es la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores y en la línea de aproximación y los valores y proporcionados. Por lo tanto, deben encontrarse las constantes a0 y a1 que minimizan el error de mínimos cuadrados:

2 El problema general de ajustar la mejor línea de mínimos cuadrados para una recopilación de datos

xi , yi } ¿ ¿m {¿ ¿ ¿

implica

minimizar el error total

La solución estaría dada por

Mínimos cuadrados polinomiales El problema general de aproximar un conjunto de datos

{( x i , yi ) |i=1,2, … , m }

, con un polinomio algebraico

de grado n...