Table of Laplace and Z-transforms PDF

Preview

Summary

Table of Laplace and Z-transforms X(s) x(t) x(kT) or x(k) X(z) Kronecker delta δ0(k) 1. – – 1 k=0 1 0 k≠0 δ0(n-k) 2. – – 1 n=k z-k 0 n≠k 1 1 3. 1(t) 1(k) s 1 − z −1 1 1 4. e-at e-akT s+a 1 − e − aT z −1 1 Tz −1 5. s2 t kT (1 − z ) −1 2 2 T z (1 + z ) 2 −1 −1 t2 (kT)2 (1 − z ) 6. −1 3 s3 6 T z (1 + 4...

Description

Table of Laplace and Z-transforms X(s)

x(t)

1.

–

–

2.

–

–

3. 4.

1 s 1 s+a

x(kT) or x(k)

1(t)

1(k)

e-at

e-akT

5.

1 s2

t

kT

6.

2 s3

t2

(kT)2

7.

6 s4

t3

(kT)3

8.

a s (s + a )

1 – e-at

1 – e-akT

9.

b−a (s + a )(s + b )

e-at – e-bt

e-akT – e-bkT

te-at

kTe-akT

(1 – at)e-at

(1 – akT)e-akT

t2e-at

(kT)2e-akT

10. 11. 12.

(s + a )

2

(s + a )2

Tz −1

(1 − z ) T z (1 + z ) (1 − z ) T z (1 + 4 z + z ) (1 − z ) (1 − e )z (1 − z )(1 − e z ) (e − e )z (1 − e z )(1 − e z ) −1 2

−1

(s + a )

3

−1

−1

akT – 1 + e-akT

14.

ω s +ω 2

sin ωt

sin ωkT

15.

s s +ω 2

cos ωt

cos ωkT

2

e-at sin ωt

e-akT sin ωkT

2

e-at cos ωt

e-akT cos ωkT

2

2

ω

s+a

17.

(s + a )

18.

–

–

ak

19.

–

–

ak k = 1, 2, 3, …

20.

–

–

kak-1

21.

–

–

k2ak-1

22.

–

–

k3ak-1

− aT

−1

–

–

k4ak-1

24.

–

–

ak cos kπ

x(t) = 0 for t < 0 x(kT) = x(k) = 0 for k < 0 Unless otherwise noted, k = 0, 1, 2, 3, …

−1

− bT

−1

−1

−bT

Te − aT z −1

(1 − e

− aT

z −1

−1

)

2

1 − (1 + aT )e − aT z −1

(1 − e z ) T e (1 + e z )z (1 − e z ) [(aT − 1 + e )+ (1 − e − aTe )z ]z (1 − z ) (1 − e z ) −1 2

− aT

− aT

− aT

−1

−1

−1 3

− aT

− aT

−1 2

− aT

− aT

−1

−1

z −1 sin ωT 1 − 2 z −1 cos ωT + z − 2 1 − z −1 cos ωT 1 − 2 z −1 cos ωT + z − 2 e − aT z −1 sin ωT 1 − 2e − aT z −1 cos ωT + e − 2 aT z − 2 1 − e − aT z −1 cos ωT 1 − 2e z −1 cos ωT + e − 2 aT z − 2 1 1 − az −1 z −1 1 − az −1 − aT

z −1

(1 − az ) z (1 + az ) (1 − az ) −1 2

−1

23.

−2

− aT

− aT

at – 1 + e-at

+ω

−1

−1 4

− aT

a2 2 s (s + a )

+ω

−1

−1 3

2

2

2

1 1 − z −1 1 1 − e − aT z −1

− aT

s

(s + a )

z-k

3

1

2

1

2

13.

16.

X(z)

Kronecker delta δ0(k) 1 k=0 0 k≠0 δ0(n-k) 1 n=k 0 n≠k

−1

−1 3

(

z −1 1 + 4az −1 + a 2 z −2

(1 − az )

)

−1 4

(

z −1 1 + 11az −1 + 11a 2 z −2 + a 3 z −3

(1 − az )

−1 5

1 1 + az −1

)

−1

Definition of the Z-transform Z{x(k)} = X ( z ) =

∞

∑ x(k ) z − k

k =0

Important properties and theorems of the Z-transform x(t) or x(k)

Z{x(t)} or Z {x(k)}

1.

ax(t )

aX (z )

2.

ax1( t ) + bx2 ( t )

aX 1 ( z ) + bX 2 ( z )

3.

x( t + T ) or x( k + 1 )

zX ( z ) − zx( 0 )

4.

x( t + 2T )

z X ( z ) − z 2 x( 0 ) − zx( T )

5.

x( k + 2 )

z 2 X ( z ) − z 2 x( 0 ) − zx( 1 )

6.

x( t + kT )

z k X ( z ) − z k x( 0 ) − z k −1 x( T ) − K − zx( kT − T )

7.

x( t − kT )

z −k X ( z )

8.

x( n + k )

z k X ( z ) − z k x( 0 ) − z k −1 x( 1 ) − K − zx( k1 − 1 )

9.

x( n − k )

z −k X ( z )

10.

tx( t )

− Tz

d X( z ) dz

11.

kx( k )

−z

d X( z ) dz

12.

e − at x( t )

X ( zeaT )

13.

e − ak x( k )

X ( ze a )

14.

a k x( k )

⎛z⎞ X⎜ ⎟ ⎝a⎠

15.

ka k x( k )

16.

x( 0 )

17.

x( ∞ )

lim 1 − z −1 X ( z ) if 1 − z −1 X ( z ) is analytic on and outside the unit circle

18.

∇x( k ) = x( k ) − x( k − 1 )

(1 − z )X ( z )

19.

∆x( k ) = x( k + 1 ) − x( k )

(z − 1)X ( z ) − zx( 0 )

20.

∑ x( k )

1 X( z ) 1 − z −1

21.

∂ x( t , a ) ∂a

∂ X ( z,a ) ∂a

22.

k m x( k )

d ⎞ ⎛ ⎜− z ⎟ X( z ) dz ⎠ ⎝

23.

∑ x( kT ) y( nT − kT )

X ( z )Y ( z )

n

k =0

2

−z

d ⎛z⎞ X⎜ ⎟ dz ⎝ a ⎠

lim X ( z ) if the limit exists

z →∞

[(

z →1

) ] (

)

−1

m

n

k =0

∞

24.

∑ x( k ) k =0

X (1)...