TRANSFORMASI LAPLACE PDF

Preview

Summary

Oleh: Kelompok IV CICI NARTIKA 2007 121 159 RELA SEPTIANI 2007 121 433 RIKA OCTALISA 2007 121 447 ULPA ARISANDI 2007 121 450 RIRIN BRILLIANTI 2007 121 467 KELAS : 6.L MATA KULIAH : MATEMATIKA LANJUTAN DOSEN PENGASUH : FADLI, S.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2010 ...

Description

Oleh: Kelompok IV CICI NARTIKA RELA SEPTIANI RIKA OCTALISA ULPA ARISANDI RIRIN BRILLIANTI

2007 121 159 2007 121 433 2007 121 447 2007 121 450 2007 121 467

KELAS MATA KULIAH DOSEN PENGASUH

: 6.L : MATEMATIKA LANJUTAN : FADLI, S.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2010

Transformasi Laplace merupakan klas dari transformasi integral yang dimanfaatkan : • Untuk merubah bentuk persamaan diferensial biasa menjadi bentuk persamaan aljabar. • Untuk merubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa.

1. Definisi

Misal fungsi f(t) terdefinisi untuk t ≥ 0. Maka transformasi Laplace (satu sisi atau unilateral) dari f(t) didefinisikan sebagai: ∞

L(f(t)) =

∫

e-st f(t) dt ............................................................................(1.1)

0

Integral (1.1) merupakan fungsi dalam parameter s, maka notasi lain yang biasa digunakan adalah F(s) = L (f(t)). Sedangkan fungsi asal f(t) dapat diperoleh dari Transformasi invers −1 f(t) = L (F(s)). Agar transformasi Laplace F(s) ada maka integral tak wajar (1.1) haruslah konvergen dan ini dapat dicetak dengan mencari limit : ∞

∫

b

e-st f(t) dt =

lim ∫

e-st f(t) dt ...........................................................(1.2)

b →∞ 0

0

Bila kita coba untuk beberapa nilai bilangan bulat n, secara induktif didapatkan transformasi Laplace untuk f(t) = t n yaitu : n! F(s) = n +1 (s >0) ...................................................................................(1.3)

s

Maka didapatkan transformasi invers,

L

−1

n −1  1   = t  n  (n − 1)! s 

Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = eat . Jawab : Dengan menggunakan definisi (1.1) didapatkan, b 1 F(S) = lim ∫ e(-s + a) t dt = e(-s + a) t lim − s + a b→∞ b →∞ 0 Dari bentuk (1.4) didapatkan transformasi invers, 1  at −1  L  s − a  = e

b

= 0

1 s − a (s > a) ....(1.4)

Beberapa sifat : Sifat keberadaan transformasi, sifat ketunggalan dan sifat linear dari transfomasi Laplace namun sebelumnya, perhatikan beberapa definisi berikut. Fungsi f(t) disebut kontinu bagian demi bagian pada interval [a,b] bila : i. Interval [a,b] dapat dibagi menjadi sub-sub interval yang berhingga banyaknya yang menyebabkan f(t) kontinu pada sub-sub interval tersebut. ii. Limit dari f(t) pada setiap ujung sub interval bernilai hingga. Fungsi f(t) disebut terbatas eksponensial pada interval [a,b] bila terdapat bilangan real M dan r sehingga berlaku f (t ) ≤ M ert untuk setiap t ∈ [a,b]. Sifat Keberadaan Transformasi Laplace : Transformasi Laplace dari f(t) dengan t ≥ 0 ada bila f(t) kontinu bagian demi bagian dan terbatas eksponensial untuk t ≥ 0. Sifat Ketunggalan Transformasi Laplace : Transformasi lalace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila F1(s) dan F2(s) merupakan transformasi Laplace dari f(t) maka F1(s) = F2(s) . Sifat Linear Transformasi Laplace : Dengan menggumakan definisi (1.1), didapat bahwa Transformasi Laplace mempunyai sifat linear, ∞

L (af (t ) + bg (t ) ) = ∫ e

− st

(af (t ) + bg (t ) )dt

0

∞

− st

∞

− st

= a ∫ e f (t )dt + b ∫ e g (t )dt ...........................................(1.5) 0

0

= aF ( s ) + bG ( s )

Invers dari transformasi Laplace juga mempunyai sifat linear, karena : −1 −1 L (c F(s) + d G(s)) = L (L(cf(t) + dg(t) )) = cf(t) + dg(t) ...............................(1.6) −1 −1 = c L (F(s)) + d L (G(s)) Contoh : Tentukan transfomasi Laplace dari f(t) = (t + 2)2 Jawab : Dengan menggunakan sifat (1.5) dan rumus umum untuk transformasi Laplace dari fungsi polinom (1.3) didapatkan transformasi Laplace dari fungsi f(t) = (t + 2)2 = t2 + 4 t + 4 , yaitu : 2 2 4 4 2 + 4s + 4 s F(s) = 3 + 2 + = 3 s s s s

2. Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi Tingkat – n Misal f(t) dan turunannya f ‘ (t) kontinu dan terbatas eksponensial, maka f(t) dan f ‘ (t) mempunyai transformasi Laplace. Dengan menggunakan integral parsial dan sifat terbatas eksponensial dari f(t) maka diperoleh : ∞

L(f ‘ (t)) =

∫e

− st

∞

∞

0

0

− st

f ‘ (t) dt = e f(t) + s ∫ e f (t ) dt .............................................(1.7) -st

0

Dengan menggunakn notasi (1.7) didapatkan transformasi Laplace dari turunan orde 2 dan orde 3 dari fungsi f(t) yaitu: L(f ‘ “(t)) = s2F(s) – sf (0) – f ‘ (0) Dan L(f ‘ “(t)) = s3F(s) – s2f (0) – sf ‘ (0) – f (0) Secara induktif dapat diperoleh transformasi Laplace dari turunan orde n fungsi f (t), L(f (n) (t)) = sn F(s) – sn -1 f(0) – sn – 2 f ‘ (0) - ... – f (n – 1) (0) .................................(1.8) Metode penurunan fungsi (1.8) akan lebih mudah diterapkan untuk menentukan transformasi Laplace dari fungsi yang apabila diturunkan sampai tingkat-n akan kembali ke bentuk semula. Untuk jelasnya diberikan contoh berikut. Tentukan transformasi Laplace dari f (t) = sin at Jawab : Dilakukan penurunan sampai tingkat ke-2 didapatkan, f(t) = sin at f (0) = 0 f ‘ (t) = a cos at f ‘ (0) = a f “ (t) = -a2sin at f “ (0) = 0 Pada penurunan tingkat-2 sudah dihasilkan bentuk asal, sehingga digunakan : L(f “(t)) = s2F(s) – sf (0) – f ‘ (0) L(-a2sin at) = s2L(sin at) – sf (0) – f ‘ (0) a L(sin at) = 2 2 s +a Dari hasil yang didapatkan pada contoh (1.5) didapatkan transformasi invers,  1  sin at −1 L  2 + 2  = a s a 

3. Transformasi Laplace dari Integral Fungsi Pada metode penurunan fungsi (1.8) diperlihatkan bahwa transformasi Laplace dari turunan fungsi didapatkan dengan mengalikan hasil transformasi fungsi dengan s. Karena integral merupakan anti turunan maka dapat diturunkan transformasi Laplace dari integral fungsi yang merupakan pembagian dari hasil transformasi fungsi oleh s. Misal F(s) = L (f(t)) ada. Maka : t  L ∫ f ( x)dx  = 1 F ( s ) .................................................................................(1.15) s 0  Dengan s > 0. Sedang dengan menggunakan transformasi invers didapatkan : t −1  F ( s )  L  s  = ∫ f ( x)dx ...................................................................................(1.16) 0 Contoh : 4 Tentukan invers dari : G(s) = 2 s + 2s Jawab : F ( s) Menggunakan sifat (1.11), G(s) dapat dituliskan sebagai : G(s) = dengan s 4 . Invers dari F(s) adalah f(t) = 4e2t. F(s) = s−2 Oleh karena itu, invers dari G(s) adalah t

g(t) = ∫ 4e2xdx = 2(e2t - 1) 0

Berikut diberikan tabel pasangan transformasi Laplace untuk beberapa fungsi yang bisa diselesaikan menggunakan metode yang diberikan sebelumnya.

Tabel 1.1 Transformasi Laplace f(t) +

Tn (n ∈ B ) eat

F(s) = L(f(t)) n!

s

n +1

1 s−a b

Sin bt

s +b

Cos bt

s +b

Sinh bt

s −b

2

2

S>0

2

S>0

2

S> b

b 2

S>0 S>a

s 2

Domain dari F(s)

s

Cosh bt

s −b 2

2

S> b

4. Pergeseran Terhadap Sumbu S Misal fungsi f(t) mempunyai transformasi Laplace, F(s) = L (f(t)). Maka grafik hasil transformasi Laplace dari g(t) = eat f(t), dengan menggeser grafik hasil transformasi dari f(t) atau grafik F(s) sepanjang a satuan kea rah kanan (bila a>0) atau kea rah kiri (bila a a

dengan

a ≥ 0. Untuk mencari transformasi laplace dari fungsi tangga g(t) yang terdefinisi untuk t>0 dapat diselesaikan dengan memperkenalakan fungsi tangga satuan Fungsi tangga satuan atau fungsi Heaviside didefinisikan sebagai berikut 0, t < a U (t-a) =  .................... .......................................(1,19) 1, t > a Dengan a > 0 Garafik fungsi tangga satuan (1,19) ditunjukan pada gambar 1.2 berikut

1

a Gambar 12

L(g(T)) = L (f(t-a)u(t-a) ω

= ∫ e − st f (t − a)u (t − a )dt 0

ω

= ∫ e − st f ( y − a )u ( y − a )dy 0 a

= ∫e

− st

f ( y − a )0dy +

0

ω

=

∫e

ω

∫e

− st

f ( y − a )dy

a − st

f ( y − a )dy

a

ω

=

∫e a

-as

=e

− s ( A+T ) ∞

∫e

− st

f (t )dt f (t )

0

= e-as F (s) Sehingga diperoleh transformasi laplace untuk g(t) = f(t – a) u ( t – a)

L(g(t)) = L(f(t – a)u(t – a)) = e-as F(s)

…………………1.20

Sedangkan transformasi invers

(

)

− as L-1 e F (s ) = f(t – a)u(t – a) = g(t)

…………………..1.21

Misal f(t – a) = 1 maka f(t) = 1 dan F(s) =

1 , maka didapatkan transformasi Laplace dari S

fungsi tangga satuan

e − as s Dan Transformasi Invers :

L [u (t − a )] =

 e − as L  s  -1

  = u(t – a) 

……………………………1.22

……………………………1.23

Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari fungsi g(t) = t u(t – 2) Penyelesaian : Bila kita padankan dengan pasangan transformasi Laplace, g(t) = f(t – a)u(t – a) ↔ G(s) = e-as F(s), maka dimisalkan f ( t- 2) = t. Oleh karena itu, f(t) = t + 2 dan F(s) = 1 2 1 2 + .Jadi Transformasi Laplace dari fungsi g(t) adalah G(s) = e-2as F(s) = e-2as 2 + 2 s s s s Contoh : Tentukan Invers dari transformasi, G(s) =

e −πs s2 + 4

Penyelesaian : Misal : F(s) =

1 s +4 2

1 sin 2t 2 Dengan menggunakan bentuk 1.21 maka didapatkan invers dari G(s), g(t) = 1 sin 2(t − π )u (t − π ) 2 Maka invers dari F(s) adalah f(t) =

6. Transformasi Laplace dari Fungsi Tangga Misal diberikan fungsi f(t) = 2 u(t) + (3t – 2) u (t – 1) – 5t u (t – 2). Maka nilai fungsi f(t) untuk beberapa interval : • Interval t< 0, Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 1) = u (t – 2) = 0, sehingga f(t) = 0 • Interval 0< t 2 Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 2) = 1, sehingga f(t) =2 + (3t – 2)- 5t = 2t

Grafik fungsi f(t) ditunjukan pada gambar 1.3. Sehingga bila fungsi f(t) dinyatakan dalam fungsi tangga maka f(t) :

0 2  F(t) =  3t − 2t

;t < 0 ;0...