TRANSFORMASI LINEAR PDF

Preview

Summary

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.1. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan F : V → W. Lebih lanjut lagi, ji...

Description

Accelerat ing t he world's research.

TRANSFORMASI LINEAR Maria ELSYE PRILLYANI POLII

Related papers Aljabar LInier Nisa Pily GENERAL VECT OR SPACE Erika Roswant ia Buku Pelengkap FISIKA MAT EMAT IKA Vincent Na

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

BAB IV

TRANSFORMASI LINEAR

4.1. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan

F : V → W. Lebih lanjut lagi, jika F

mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan w = F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R2 , maka rumus : F(v) = ( x , x + y , x - y )

( 4.1)

mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3 . Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1, 2, 0). Definisi. Jika F : V → W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : (i) F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. (ii) F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k. Untuk melukiskannya, misalkan F : R2 → R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh

(4.1). Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga : F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2]) = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) F(u + v) = F(u) + F(v) Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) = k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) = k F(u) Jadi F adalah sebuah transformasi linear. Jika F : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang k1 dan k2 , kita memperoleh : F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2) Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn adalah skalar, maka : F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn)

(4.2)

Contoh 1 : Misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di dalam Rm dan Rn , maka kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi T: Rn → Rm dengan : T(x) = A x

Perhatikan jika bahwa x adalah sebuah matriks n x 1 , maka hasil kali A x adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rn ke dakam Rm . Lagi pula , T linear, untuk melihat ini , misalnya u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan : A (u + v) = A u + A v

dan A (k u) = k (A u)

T(u + v) = T(u) + T(v)

dan T(k u) = k T(u)

atau secara ekivalen :

Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks. Contoh 2 : Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan θ adalah sebuah sudut tetap, dan misalkan T : R2 → R2 adalah perkalian oleh matriks :  cos θ − sin θ  A=  cos θ   sin θ Jika v adalah vektor

maka

x v=   y  cos θ − sin θ  T(v) = A v =    sin θ cos θ 

 x   x cos θ − y sin θ   y  =  x sin θ + y cos θ     

Secara geometrik, maka T(v) adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikan melalui sudut θ . Untuk melihat ini, maka misalkan φ adalah sudut di antara v dan sumbu x positif, dan misalakan : x '  v’ =  '   y 

adalah vektor yang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut θ (Gambar 4.1). kita akan memperlihatkan bahwa v’ = T(v). Jika r menyatakan panjangnya v , maka : x = r cos φ

y = r sin φ

Demikian juga, karena v’ mempunyai panjang yang sama seperti v , maka kita memperoleh : x’ = r cos(θ + φ) Maka

y’ = r sin(θ + φ)

 x '   r cos (θ + φ )  v’ =  y '  =  r sin (θ + φ )       r cosθ + φ − r sin θ sin φ =   r sin θ + φ + r cos θ sin φ  x cos θ − y sinθ =   x sinθ + y cosθ =

cosθ − sinθ sinθ cosθ   

= Av = T(v)

Transformasi linear di dalam contoh ini dinamakan rotasi dari R2 melalui sudut θ. y

(x ’ y ’)

v’ v θ φ

x

Contoh 3: Misalkan V dan W adalah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V → W sehingga T(v) = 0 untuk tiap-tiap v di dalam V adalah sebuah transformasi linear yang dinamakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa T linear, perhatikanlah bahwa : T(u + v) = 0 , T(u) = 0 , T(v) = 0 dan T(k u) = 0

Maka T(u + v) = T(u) + T(v)

T(k u) = k T(u)

dan

Contoh 4: Misalkan V adalah sebarang ruang vektor. Pemetaan T : V → V yang didefinisikan oleh T(v) = v dinamakan transformasi identitas pada V. Jika seperti di dalam contoh 2 dan 4 , T : V → V adalah transformasi linear dari sebuah ruang vektor V ke dalam dirinya sendiri, maka T dinamakan operator linear pada V. Contoh 5: Misalkan

V adalah sebarang ruang vektor dan

k

adalah sebarang

skalar tetap. Kita

membiarkannya sebagai latihan untuk memeriksa bahwa fungsi T : V → V yang didefinisikan oleh : T(v) = k v adalah sebuah operator linear pada V. Jika k > 1 , T dinamakan dilatasi dari V dan jika 0 < k < 1 , maka T dinamakan kontraksi dari V. Secara geometrik, maka dilatasi “merenggangkan“ setiap vektor di dalam V dengan sebuah faktor sebesar k , dan kontradiksi dari V “memampatkan “ setiap vektor dengan sebuah faktor sebesar k (Gambar 4.2).

gambar 4.2

Contoh 6: Misalkan V adalah sebuah ruang perkalian dalam, dan misalkan W adalah sebuah sub-ruang dari V yang berdiameter berhingga yang mempunyai : S = {w 1,w 2,…,w r} adalah sebuah basis ortonormal. Misalkan T : V → W adalah fungsi yang memetakan sebuah vektor v di dalam V ke dalam proyeksi ortogonalnya pada W ; yakni : T(v) = < v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 + … + < v, w r > w r v

T (v)T(v)

w

Gambar 4.3 Pemetaan T dinamakan proyeksi ortogonal dari V pada W ; linearitasnya didapatkan dari sifatsifat dasar perkalian dalam. Misalnya : T(u + v) = < u + v, w 1 > w 1 + < u + v, w 2 > w 2 + … + < u + v, w r > w r = < u, w 1 > w 1 + < u, w 2 > w 2 + … + < u, w r > w r + < v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 + … + < v, w r > w r = T(u) + T(v) Demikian juga, T(k u) = k T(u) Contoh 7 :

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya V = R3 mempunyai perkalian dalam Euclidis. Vektor-vektor w 1 = (1, 0, 0) dan w2 = (0, 1, 0) membentuk sebuah basis ortonormal untuk bidang xy. Jadi, jika v = (x, y , z) adalah sebarang vektor di dalam R3 , maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xy diberikan oleh : T(v) = < v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 = x(1, 0, 0 ) + y(0, 1, 0) = (x, y , 0) (lihat Gambar 4.4) Contoh 8: Misalkan V adalah sebuah ruang vektor berdimensi n dan S = (w 1, w 2, …, w n) adalah sebuah basis tetap untuk V. Menurut teorema , maka sebarang dua vektor u dan v di dalam V dapat dituliskan secara unik di dalam bentuk : u = c1 w 1 + c2 w 2 + … + cn w n

dan

v = d1 w 1 + d2 w 2 + … + dn w n

z

(x, y, z)

v y T (v) x

(x, y, 0)

Gambar 4.4 Jadi

(u)s = (c1, c2, …, cn) (v)s = (d1, d2, …, dn)

Tetapi

u + v = (c1 + d1) w 1 + (c2 + d2) w2 + … + (cn + dn) w n k u = (k c1) w 1 + (k c2) w 2 + … + (k cn) w n

sehingga ( u + v )s = (c1 + d1, c2 + d2, …, cn + dn) ( k u )s = ( k c1 , k c2 , … , k cn) Maka ( u + v )s = (u)s + (v)s

(k u)s = k (u)s

dan

(4.3) Demikian

juga, untuk matriks koordinat, kita memperoleh : [ u + v ]s = [u]s + [v]s

dan

[k u]s = k [u]s

Misalkan kita ambil T : V → Rn sebagai fungsi yang memetakan sebuah vektor v di dalam V ke dalam vektor koordinatnya terhadap S ; yakni : T(v) = (v)s Maka menyatakannya dalam T , (4.3) menyatakan : T( u + v ) = T(u) + T(v) dan

T(k u ) = k T(u)

Jadi T adalah transformasi linear dari V ke dalam Rn . Contoh 9 : Misalkan V adalah sebuah ruang perkalian dalam dan misalkan v0 adalah sebarang vektor tetap di dalam V. Misalkan T : V → R adalah transformasi yang memetakan sebuah vektor v ke dalam perkalian dalamnya dengan v0 ; yakni : T(v) = < v , v0 > Dari sifat-sifat perkalian dalam , maka :

T( u + v ) = < u + v, v0 > = < u, v0 > + < v, v0 > = T(u) + T(v) T(k u) = < k u, v0 > = k < u, v0 > = k T(u)

dan

sehingga T adalah transformasi linear.

Contoh 10 : Misalkan V = C[0, 1] adalah ruang vektor dari semua fungsi bernilai real yang kontinu pada interval 0 ≤ x ≤ 1 , dan misalkan W adalah subruang dari C[0, 1] yang terdiri dari semua fungsi dengan turunan pertama yang kontinu pada interval 0 ≤ x ≤ 1. Misalkan D: W → V adalah transformasi yang memetakan f ke dalam turunannya ; yakni : D(f) = f’ Dari sifat-sifat diferensiasi, kita memperoleh : D( f + g ) = D(f) + D(g) dan

D(k f) = k D(f)

Jadi D adalah transformasi linear. Contoh 11 : Misalkan V = C [ 0, 1 ] adalah seperti di dalam contoh sebelumnya , dan misalkan J : V → R didefinisikan oleh : 1

J(f) =

∫0

f (x ) d x

Misalnya jika f(x) = x2 , maka J(f) =

Karena

∫

1

0

∫

1 0

x 2 dx =

1 3

1

1

0

0

( f ( x ) + q ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ q ( x ) dx

∫ k . f (x )dx =k ∫

dan

1

1

0

0

f ( x) dx

untuk sebarang k yang konstan, maka jelaslah bahwa J(f + g) = J(f) + J(g) J(kf) = kJ(f) Jadi J adalah transformasi linier. Komposisi Beberapa Transpormasi Linear Definisi Apabila T1 : U

V dan T2 : V

W

masing-masing

suatu

transformasi linear, maka komposisi T2 dengan T1 dinotasikan T2 o T1 merupakan tranpormasi (fungsi) yang didefinisikan oleh (T2 o T1)(u) = T2 (T(u)), u elemen U. Agar T2 (T(u)) ada, pada definisi sudah terlihat bhawa domain T2 memuat range T1 Teorema Apabila T1 : U

V dan T2 : V

transformasi linear, maka (T2 o T1) : U

W

masing-masing

W juga berupa transpormasi linear.

Bukti : Ambil vektor u dan v elemen U dan k sebarang skalar. Karena T1 dan T2 linear, maka (T2 o T1)(u + v) = T2 (T1 (u + v)) = T2 (T1 (u) + T1 (v)) = T2 (T1 (u) + T2 (T1 (v)) = (T2 o T1)(u) + (T2 o T1)( v) (T2 o T1)(k u) = T2 (T1 (ku)) = T2 (kT(u)) = k T2 (T1 (u))

suatu

= k (T2 o T1)( u) Contoh 1. Jika T1 : P1

P2 dengan rumus p(x) = x p(x) dan T2 : P2

P2 dengan

rumus p(x) = p(2x + 4), maka T1 (p(x)) = x p(x) dan (T2 (p(x)) = p (2x + 4)

2. Jika T : V

V transpormasi linear dan I : V

V transpormasi

identitas, maka T o I = I o T = T

Sifat Transformasi Linier; Kernel dan Jangkauan

Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis dibawah transformasi linier telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya di dalam ruang tersebut. Teorema 1. Jika T:V W adalah transformasi linier, maka: (a) T (0) = 0 (b) T(-v) = -T(v) untuk semua v di dalam V (c) T(v-w) = T(v) - T(w) untuk semua v dan w di dalam V Bukti misalkan v adalah sebarang vektor di dalam V. Karena 0v = 0 maka kita memperoleh T (0) = T (0v) = 0T (v) = 0

yang membuktikan (a). Juga, T(-v) = T(-1(v)) = (-1)T(v), yang membuktikan (b). Akhirnya, v -w = v + (-1)w; jadi T(v -w) = T(v +(-1) w) = T(v)+(-1)T(w) = T(v)-T(w)

Jika T:V W adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di dalam V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T ; himpunan tersebut dinyatakan oleh ker (T). Himpuanan semua vektor di dalam w yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di dalam V dinamakan jangkuan dari T ; himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T). Contoh 12 Misalkan T:V W adalah transformasi nol. Karena T memetakan tiap-tiap vektor ke dalam 0, maka ker (T) = V. Karena 0 adalah satu-satunya bayangan yang mungkin di bawah T, maka R(T) terdiri dari vektor nol.

Contoh 13 Misalkan T:Rn

Rm adalah perkalian oleh

 a 1 1 a 1 2 .. . a 1 n a a 22 ... a 2 n 21 A= M M M  a mn  a m1 a m 2 Kernel dari T terdiri dari semua

 x1    x2 X=  M     xn  Yang merupakan vektor pemecahan dari sistem homogen

 x1  0      x2 0 A =  =  M  M      xn  xn  Jangkuan dari T terdiri dari vektor-vektor

     

 b1 b 2 b= M  bm

     

x1 x 2 A= M  xn

  b1  b  =  2  M    bm

Sehingga sistem

     

konsisten. Teorema Jika T:V

W adalah trasnformasi linier maka :

(a) Kernel dari T adalah subruang dari V. (b) Jangkuan dari T adalah subruang dari W.

Bukti (a) Untuk memperlihatkan bahwa ker (T) adalah subruang, maka kita harus memperlihatkan bahwa ker (T) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v1 dan v2 adalah vektor-vektor di dalam ker (T), dan misalkan k adalah sebarang skalar. Maka T(v1 + v2 ) = T(v1 ) + T(v2 ) =0+0=0

sehingga v1 + v2 berada di dalam ker (T). Juga T(kv1 ) = kT (v1 ) = k0 = 0

Sehingga kv1 berada di dalam ker (T). (b) Misalkan w 1 dan w 2 adalah vektor di dalam jangkauan dari T. Untuk membuktikan bagian ini maka kita harus memperlihatkan bahwa w 1 + w 2 dan k w 1 berada di dalam jangkuan

dari T untuk sebarang skalar k; yakni kita harus mencari vektor a dan b di dalam V sehingga T (a) = w 1 + w 2 dan T(b) = kw 1. Karena w 1 dan w 2 berada di dalam jangkuan dari T, maka ada vektor a1 dan a2 di dalam V sehingga T (a1) = w 1 dan T(a2) = w2. Misalkan a = a1 + a2 dan b = ka1. Maka T(a) = T (a1 + a2) = T(a1) + T(a2) = w 1 + w 2 dan T(b) = T(ka1) = kT(a1) = kw1

yang melengkapkan bukti tersebut.

Contoh 14

Misalkan T:Rn

Rm adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n.

Dari contoh 13 maka kernel dari T terdiri dari semua pemecahan dari Ax = 0 ; jadi kernel tersebut adalah ruang pemecahan dari sistem ini. Juga dari contoh 13, jangkuan dari T terdiri dari semua vektor b sehingga Ax = b konsisten. Jadi, menurut Teorema 14 dari bagian 4.6, jangkuan dari T adalah ruang kolom dari matrik A. Misalkan {v1 , v2,....., vn } adalah sebuah basis untuk ruang vektor V dan T:V

>W

adalah transformasi linier. Jika kebetulan kita mengetahui bayangan vektor basis, yakni T(v1), T(v2), ..., T(vn) maka kita dapat memperoleh bayangan T(v) dari seberang vektor v dengan menyatakan dulu v dalam basis tersebut, katakanlah v = k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn

dan kemudian menggunakan hubungan (5.2) dari bagian 5.1 untuk menuliskan T(v) = (1,0) T(v2) = (2, - 1) T(v3) = (4,3) Carilah T(2, -3,5) !

Pemecahan. Mula-mula kita menyatakan v = (2, -3, 5) sebagai kombinasi dari v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), dan v3 = (1, 0, 0). jadi

(2, 3, 5) = k1 (1, 1, 1) + k2 (1, 1, 0) + k3 (1, 0, 0)

atau setelah menyamakan komponen-komponen yang bersangkutan

k1 + k2 + k3 = 2 k1 + k2

= -3

k1

= 5

yang menghasilkan k1 = 5, k2 = -8, k3 = 5 sehingga

(2, -3, 5) = 5v1 -8v2 + 5v3

jadi T(2, -3, 5) = 5T(v1) - 8T(v2) + 5T3 = 5(1,0) - 8(2, -1) + 5(4,3) = (9, 23)

Jika T:V

> W adalah transformasi linier, maka dimensi dari jangkauan dari T dinamakan rank

dari T dan dimensi dari kernel dinamakan nulitas (nullity)dari T.

Contoh 16 Misalkan T:R2

> R2 adalah rotasi dari R2 melalui sudut π/4. Jelaslah secara geometrik bahwa

jangkauan dari T adalah semuanya R2 dan kernel dari T adalah (0). Maka T mempunyai rank 2 dan nulitas = 0.

Contoh 17 Misalkan T:Rn

> Rm adalah perkalian sebuah matriks A yang berukuran m x n.

Didalam contoh 14 kita mengamati bahwa jangkauan dari T adalah ruang kolom dari A jadi rank dari T adalah dimensi ruang kolom dari A, yang persis sama dengan rank dari A. Secara ringkas, maka rank (T) = rank (A) Juga didalam Contoh 14, kita melihat bahwa kernel dari T adalah ruang pemecahan dari Ax = 0. Jadi nulitas dari T adalah dimensi ruang pemecahan ini.

Teorema kita berikutnya menghasilkan sebuah hubungan di antara rank dan nulitas dari transformasi linier yang didefinisikan pada sebuah ruang vektor berdimensi berhingga. Kita akan menangguhkan buktinya sampai keakhir bagian ini.

Teorema 3. (Teorema Dimensi). Jika T:V

> W adalah transformasi linier dari sebuah

ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka (rank dariT) + (nolitas dari T) = n

Di dalam kasus khusus di mana V=Rn-, W=Rm-, dan T:Rn

> Rm adalah perkalian oleh

sebuah matriks A yang berukuran m x n, maka teorema dimensi tersebut menghasilkan hasil yang berikut :

nulitas dari T = n - (rank dari T) = (banyaknya kolom dari A) - (rank dari T)

(5,4)

Akan tetapi, kita memperhatikan di dalam Contoh 17 bahwa nutilas dari T adalah dimensi dari ruang pemecahan dari Ax = 0, dan rank dari T adalah rank dari matriks A. Jadi (5.4) menghasilkan teorema yang berikut.

Teorema 4. Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah : n - rank (A)

Contoh 18 Di dalam Contoh 35 dari bagian (4.5) kita memperlihatkan bahwa sistem homogen 2x1 + 2x2 - x3

+ x5 = 0

-x1 + -x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 - 2x3

-x5 = 0

x3 + x4 + x5 = 0

mempunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan sistem tersebut dan dengan mencari sebuah basis. Karena matriks koefisien  2 2 −1 0 1   −1 − 1 2 − 3 1   A=   1 1 − 2 0 −1     0 0 1 1 1  mempunyai lima kolom, maka jelaslah dari Teorema 4 bahwa rank A harus memenuhi 2 = 5 - rank (A) Sehingga rank (A) = 3. Pada pembaca dapat memeriksa hasil ini dengan mereduksi A kepada bentuk eselon baris dan dengan memperilihatkan bahwa matriks yang dihasilkan mempunyai tiga baris yang tak nol.

Transformasi linier dari Rn Ke Rm ; Geometri Transformasi Linier Dari R2 Ke R2

Di dalam bagian ini kita mempelajari transformasi linier dari Rn ke Rm dan mendapatkan sifat-sifat geometrik dari transformasi linier dari R2 ke R2 . Mula-mula kita akan memperlihatkan bahwa tiap-tiap transformasi linier dari Rn ke Rm adalah transformasi matriks. Lebih tepat lagi, kita akan memperlihatkan bahwa jika T:Rn

> Rm

adalah sebarang transformasi linier, maka kita dapat mencari sebuah matriks A yang berukuran m x n sehingga T adalah perkalian oleh A. Untuk melihat ini, misalkan

e 1 , e 2 ,...., e n

adalah basis standar untuk Rn , dan misalkan A adalah matriks m x n yang mempunyai

T(e 1 ), T(e 2), ....., T(e n)

sebagai vektor-vektor kolomnya, (Kita akan menganggap di dalam bagian ini bahwa semua vektor dinyatakan di dalam notasi matriks). Misalnya, jika T:R2

>R2 diberikan oleh

  x    x + 2 x2   T   1  =   1    x2    x1 − x2   maka  1  1  0  2  T(e1) = T    =   dan T ( e2 ) = T    =     0 1  1   −1

1 A=  1

2 − 1 

T(e 1)

T(e 2)