Sifat-sifat Transformasi Linear dari Rn ke Rm PDF

Preview

Summary

SIFAT – SIFAT TRANSFORMASI LINEARDARInR KEmRDisusun untuk memenuhi Tugas Mata KuliahAljabar LinearDosen Pengampu : Drs. Suroso, M. PdDisusun oleh : Kelompok 31. Age Christie Arini ( 08411 )2. Andik Setyo Nugroho ( 08411 65 )3. Benti Lutvi Muyasaroh ( 08411 )PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTA...

Description

SIFAT – SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI

Rn

KE

Rm

Disusun untuk memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear

Dosen Pengampu : Drs. Suroso, M. Pd Disusun oleh : Kelompok 3 1. Age Christie Arini

( 08411.055 )

2. Andik Setyo Nugroho

( 08411.065 )

3. Benti Lutvi Muyasaroh

( 08411.092 )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010

1

SIFAT – SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI

Rn

KE

Rm

A. Transformasi Linear Satu ke Satu Transformasi linear yang memetakan vektor – vektor (titik – titik) berbeda ke vektor – vektor (titik – titik) berbeda lainnya merupakan hal yang penting. Satu contoh transformasi semacam ini adalah operator linear T : R 2  R 2 yang merotasi setiap vektor sebesar θ. Secara geometrik jelas bahwa jika u dan v adalah vektor – vektor yang berada pada

R 2 , maka demikian juga vektor – vektor hasil rotasi T (u) dan T (v) seperti terlihat pada Gambar 1 di samping.

Sebaliknya, seperti yang Nampak pada gambar 2 di samping, jika T : R 3  R 3 adalah proyeksi ortogonal

R 3 pada

bidang xy, maka titik – titik yang berbeda yang terletak pada garis vertikal yang sama akan dipetakan ke titik yang sama pada bidang xy.

2

Definisi : n m Suatu transformasi linear T : R  R dinyatakan sebagai satu ke satu (one-to-one) jika T memetakan vektor – vektor (titik – titik) berbeda pada R n ke vektor – vektor (titik – titik) berbeda pada Rm

Teorema 1. Pernyataan – Pernyataan yang Ekuivalen n m Jika A adalah suatu matriks n x n dan jika TA : R  R adalah perkalian dengan A, maka pentayaan – pernyataan berikut adalah eluivalen: (a). A dapat dibalik (b). Range dari TA adalah R n (c). TA adalah satu ke satu

Akibat Teorema 1. Invers dari Operator Linear Satu ke Satu n m Jika TA : R  R adalah operator linear satu ke satu, maka dari teorema 1 dapat diperoleh TA1 : R  R sendiri merupakan operator linear n

n

yang disebut invers dari TA Sebelum mempelajari lebih lanjut, akan kita pelajari dahulu masalah notasi. Jika operator linear satu ke satu pada R n ditulis sebagai T : R n  R n (dan bukannya T A : R  R ), maka invers dari operator T dinotasikan dengan T 1 (dan n

n

bukannya T A1 ) karena matriks standar untuk T 1 adalah invers dari matriks standar untuk T, kita peroleh :

T   T 

1

1

B. SIFAT – SIFAT LINEARITAS Teorema 2. n m Suatu transformasi T : R  R adalah linear jika dan hanya jika hubungan – hubungan berikut berlaku untuk semua vektor u dan v pada R n dan setiap skalar c. (b). T (cu)  cT (u) (a). T (u  v)  T (u)  T (v)

3

Bukti: Asumsikan T adalah suatu transformasi linear, dan misalkan A adalah matriks standar untuk T. Selanjutnya, sesuai dengan sifat – sifat aritmatika dasar matriks diperoleh:

T( u  v)  A( u  v)  Au  Av  T (u)  T (v) dan

T (cu)  A(cu)  c( Au)  cT (u) Sebaliknya, asumsikan sifat – sifat (a) dan (b) berlaku untuk transformasi T. Dapat kita buktikan T linear dengan menentukan suatu matriks A dengan sifat

T ( x)  Ax Untuk semua vektor x pada R n . Ini akan menunjukkan bahwa T adalah perkalian dengan A dan oleh karena itu adalah linear. Teorema 3. Jika T : R n  R m adalah suatu transformasi linear, dan e1 , e 2 ,..., e n adalah vektor – vektor basis standar untuk R n , maka matriks standar untuk T adalah T   e1 e2  ... T en  Rumus di atas dapat diandalkan untuk menentukan matriks standard dan menganalisis dampak geometrik dari suatu transformasi linear.

C. Interpretasi Geometrik dari Vektor Eigen Definisi n n Jika T : R  R adalah operator linear, maka skalar λ disebut sebagai nilai Eigen dari T (eigenvalue of T), jika terdapat x yang taknol pada Rn sedemikian rupa sehingga T (x )  x Vektor – vektor taknol x tersebut yang memenuhi persamaan ini disebut vektor Eigen dari T yang terkait dengan λ (eigenvector of T corresponding to λ) Jika λ adalah nilai Eigen dari A dan x adalah suatu vektor Eigen yang terkait, maka Ax=λx , sehingga perkalian dengan A memetakan x ke dalam suatu perkalian skalar dengan dirinya sendiri. Pada R 2 dan R3 , ini berarti bahwa perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan x , seperti gambar di bawah ini

4...