Taller EDOL 2022 - akja sajkasjkska sajsakkasjas askjaskas kasjaskksa jaskjsakasask PDF

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Universidad del Quindío ECUACIONES DIFERENCIALES PROGRAMA DE MATEMÁTICAS

Taller - 2 Prof: Carlos Alberto Abello M. . 1. Cada familia de funciones es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Determine un miembro de la familia que sea solución del P.V.I. (a) y = C1 ex + C2 e−x ,

(−∞, ∞);

(b) y = C1 x + C2 x ln x,

(0, ∞);

y′′ − y = 0,

y′ (0) = 0

x2 y′′ − xy′ + y = 0,

y(1) = 3,

y′ (1) = −1

2. Ecuaciónes homogéneas. Compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente independientes en el intervalo (−∞, ∞). f3 (x) = sin2 x

f2 (x) = cos2 x,

(a) f1 (x) = 5,

(b) f1 (x) = 1 + x, (c) f1 (x) = ex ,

f3 (x) = x2

f2 (x) = x,

f2 (x) = e−x ,

f3 (x) = sinh x

3. Compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general. (a) y′′ − y′ − 12y = 0; 2 ′′

e4x ,

e−3x ,

(b) x y − 6xy + 12y = 0; ′

3

(−∞, ∞)

4

x ,

x ,

(c) x3 y′′′ + 6x2 y′′ + 4xy′ − 4y = 0;

x,

(0, ∞) x−2 ,

x−2 ln x,

(0, ∞)

4. Ecuaciones no homogeneas (a) Compruebe que yp1 = 3e2x y yp2 = x2 + 3x son, respectivamente, soluciones particulares de y′′ − 6y′ + 5y y′′ − 6y′ + 5y

= =

−9e2x 5x2 + 3x − 16

Use la parte (a) para determinar soluciones particulares de y′′ − 6y′ + 5y y′′ − 6y′ + 5y

5x2 + 3x − 16 − 9e2x −10x2 − 6x + 32 + e2x

= =

5. Verifique que la familia de funciones de dos parámetros dada, es la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo indicado. (a) y′′ + y = sec x;

y = C1 cos x + C2 sin x + x sin x + (cos x) ln(cos x),

(b) 2x2 y′′ + 5xy′ + y = x2 − x;

y = C1 x−1/2 + C2 x−1 +

1 2 x 15

− 61 x,

(−π/2, π/2) (0, ∞)

6. La función y1 (x) es una solución a las ecuaciones diferenciales. Use la reducción de orden o la fórmula para encontrar una segunda solución y2 (x). (a) y′′ − 4y′ + 4y = 0;

(b) x2 y′′ − xy′ + 2y = 0;

y1 = e2x

(c) x2 y′′ − 5xy′ + 9y = 0;

(d) y′′ − 3(tan x)y′ = 0;

y1 = x sin(ln x)

y1 = x3 ln x y1 = 1

7. La función y1 (x) indicada es una solución de la ecuación homogénea asociada. Aplique el método de reducción de orden para determinar una segunda solución, y2 (x) de la ecuación homogénea, y una solución particular de la ecuación no homogénea dada. 1

(a) y′′ −3y′ +2y = 5e3x ;

y1 = ex

(b) y′′ − 4y′ + 3y = x;

y1 = ex

8. Sean y1 y y2 dos soluciones de a2 (x)y′′ + a1 (x)y′ + a0 (x)y = 0. (a) Si W (y1 , y2 ) es el wronskiano de y1 y y2 , demuestre que a2 (x) dW + a1 (x)W = 0. dx (b) Deducir la fórmula de Abel (W = ce−

´

[a1 (x)/a2 (x)]dx

), donde C es una constante.

(c) Utilizando una forma alternativa de la fórmula de Abel, W = ce ´ − x [a (t)/a2 (t)]dt que W (y1 , y2 ) = W (x0 )e x0 1

−

´x

x0

[a1 (t)/a2 (t)]dt

, para x0 en I, demostrar

(d) Demuestre que si W (x0 ) = 0, entonces W = 0, para todo x en I, mientras que si W (x0 ) 6= 0, entonces W 6= 0 para toda x en el intervalo. 9. Utilizando los resultados del problema anterior. Si y1 y y2 son dos soluciones de: (1 − x2 )y′′ − 2xy′ + n(n + 1)y = 0 en (−1, 1), demuestre que W (y1 , y2 ) = C/(1 − x2 ), donde C es una constante. 10. Encuentre una ecuación de segundo orden que tenga como solución general a y = C1 x + C2 sin x 11. Resuelva la ecuación diferencial ax2 y′′ + bxy ′ + cy = 0, buscando soluciones de la forma y = xm . (Hay tres posibilidades para la solución general) 12. RESOLVER: (a) y′′ + (y′ )2 = 0 (b) yy′′ − 2(y′ )2 = 0 (c) y′′ + 1x y′ = x1

(d) y′′ − y′ = x (e) y′′ + y′ = 0 (f) y′′ + y = 0

(g) y′′ +

1 ′ y x

= ex

13. Halle la solución general de cada una de las siguientes E.D. (v.p.: variación de parametros, c.i.: coeficientes indeterminados) (s) y′′′ − y′ = 2x + 1 − 4 cos x + 2ex

(a) y(3) + 3y′′ − y′ − 3y = 0 (b) 4y(3) + 12y′′ + 9y′ = 0 (c) 2y

(3)

(t) (D3 − 7D + 6)y = 2 sin x

+ y − 8y − 4y = 0 ′′

′

(u) y′′ − 3y′ + 2y =

(d) y(4) + 18y′′ + 81y = 0 (e) y

(5)

+ 6y

(f) y

(3)

− 4y + 6y − 4y = 0

(g) y

(4)

(4)

+ 15y

′′

(3)

e2x (ex +1)

(v) (D3 + D2 + D + 1)y = 2(sin x + cos x)

+ 26y + 36y + 24y = 0 ′′

′

(w) (D4 − 4)y = −e

′

√ 2x

(x) y(4) − y = x2 + 1

− 2y(3) + y′′ = 0

(y) y′′ − y′ + 41 y = xex/2

(h) y(4) − 16y = 0

(z) y′′ + 3y = −48x2 e3x (c.i.)

(i) y(4) + 16y = 0

(j) y(4) − 4y(3) + 8y′′ − 8y′ + 4y = 0

• y′′ + 4y = 3 sin 2x (c.i.)

(l) y(5) + 5y(4) − 2y′′′ − 10y′′ + y′ + 5y = 0

• y′′′ − 6y′′ = 3 − cos x (c.i.)

• y′′ − 2y′ + 2y = e2x (cos x − 3 sin x) (c.i.)

(k) y(4) + y(3) + y′′ = 0

• y′′ + y′ + 41 y = ex (sin 3x − cos 3x)

(m) y(4) + 2y′′′ + 3y′′ + 2y′ + y = 0

• y(4) − y = ex/2

(n) y′′ + y′ + y/4 = 0

• y′′ + 3y′ + 2y = 1/(1 + ex ) (v.p.)

(o) y′′ + y = tan x 2

(p) (D − 2D + 1y) =

ex (x2 +1) x

• y′′ + 3y′ + 2y = sin ex (v.p.)

• 3y′′ − 6y′ + 30y = ex tan 3x (v.p) √ • 4y′′ − 4y′ + y = ex/2 1 − x2 (v.p)

(q) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 4e

(r) (D3 − D2 − D + 1)y = 4xex

14. Encontrar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones utilizando unicamente reducción de orden, si se sabe que y1 es una solución particular de L(y) = 0 2

(a) y1 = x2 , (b) y1 = x ln x,

1 x

L(y) = x2 y′′ − 4xy′ + 6y =

L(y) = x2 y′′ − xy′ + y = x ln x

(c) y1 = x−1/2 cos x, L(y) = x2 y′′ + xy′ + (x2 − 2 ′′

(d) y1 = cos(ln x),

1 )y 4

= x3/2

L(y) = x y + xy + y = sec(ln x) ′

15. Resolver el caso anterior utilizando variación de parámetros 16. Resolver utilizando variación de parámetros (E.D. de Cauchy - Euler) (d) xy′′ − 4y′ = x4

(a) xy′′ + y′ = x (b) 2x2 y′′ + 5y′ + y = x2 − x (c) x2 y′′ − xy′ + y = 2x

(e) x2 y′′ − 2xy′ + 2y = x4 ex

17. Sabiendo que √ √ √ 2 √ 2 i = 22 + 22 i y −i = 22 − 22 i para resolver la ecuación diferencial y(4) + y = 0. (Sugerencia: Escriba la ecuación auxiliar m4 + 1 = 0 como (m2 + 1)2 − 2m2 = 0. Observe qué sucede cuando se factoriza) 18. Resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a las condiciones iniciales indicadas. (a) y′′′ − 8y = 0, (b) y

(4)

− 3y

(3)

y(0) = 0,

+ 3y − y = 0, ′′

′

(c) y′′ + w2 x = F0 sin wt,

(d) y′′ − 2y′ − 3y = 2 cos2 x,

y(0) = y (0) = 0,

′

y′′ (0) = y′′′(0) = 1

x′ (0) = 0

y(0) = − 13 ,

(f) y − 4y + 8y = x , y(0) = 2, ′′

y′′ (0) = 0

′

x(0) = 0,

(e) y′′ + y = 8 cos 2x − 4 sin x, 3

y′ (0) = −1,

y′ (0) = 0

y(π/2) = −1,

y′ (π/2) = 0

y (0) = 4 ′

19. Halle la ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de menor orden cuya solución general sea: (b) C1 e2x sin 2x + C2 e2x cos 2x

(a) (C1 + C2 x)e−4x

20. Verificar que las funciones cosh ax, sinh ax, forman un conjunto fundamental de soluciones para la E.D. y′′ − a2 y = 0 21. Mostrar que: (b) (xD + 1)2 6= x2 D2 + 2xD + 1

(a) D(xD) 6= (xD)D 4

d y 22. Demuestre que la solucion general de la E.D. EI dx 4 +ky = 0, es: y = C1 sin(bx) sinh(bx)+ C2 sin(bx) cosh(bx)+ q k C3 cos(bx) sinh(bx) + C4 cos(bx) cosh(bx); con b = 4 4EI

3...