Tarea udidad 5 - ES UNA PRACTICA PARA AQUELLOS QUE DEBA OCUPARA UNA INTEGRACION MULTILPE EN APLICACIONES PDF

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ES UNA PRACTICA PARA AQUELLOS QUE DEBA OCUPARA UNA INTEGRACION MULTILPE EN APLICACIONES DE LA DERIVADA...

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´ ´ TECNOLOGICO NACIONAL DE M EXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEHUACAN INGENIER´IA CIVIL CALCULO VECTORIAL UNIDAD 5 INTEGRACION MULTIPLE ´ ORTIZ AGUILAR PROFESORA: THANYA DE JESUS ALUMNA: CELIS PEREZ YARELY INTRODUCCION De la misma manera en que la integral de una funci´ on positiva f (x)de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el a´rea entre la gr´ afica de la funci´ on y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funci´ on positiva f (x, y) de dos variables, definida en una regi´ on del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la funci´ on y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una ”integral triple” de una funci´ onf (x, y, z) definida en una regi´ on del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1el resultado se puede interpretar como el volumen de la regi´ on de integraci´ on. Para integrales de o´rdenes superiores, el resultado geom´etrico corresponde a hipervol´ umenes de dimensiones cada vez superiores. Las integrales m´ ultiples est´ an estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, las cuales son necesarias para resolver las integrales m´ ultiples. La diferencia entre integrales m´ ultiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matem´ atico de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento´ por el cual se resuelve la integral m´ ultiple. Si la expresi´ on ´b d f (x, y)dydx a c se refiere a una integral iterada, la parte externa ´b ...dx a es la integral con respecto a x de la funci´ on de x: ´d g(x) = c f (x, y )dy Una integral doble, en cambio est´ a definida con respecto a un a´rea en el plano xy. La integral doble existe si y s´ olo si las dos integrales iteradas existen y son 1

iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integraci´ on es dydxo dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene: ´b ´d ´ d´ b f (x, y)dxdy a c f (x, y)dydx6= c a De una manera m´ a s formal, el Teorema de Fubini afirma que ´ f (x, y )d(x, y) < ∞ AX B Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble ´ es igual a la integral´ iterada. ´  ´ ´  f (x, y )d(x, y) = A B f (x, y )dy dx = B A f (x, y )dx dy AX B Esto ocurre, cuandof es una funci´ on acotada y tanto A como B son regiones acotadas tambi´en. Esto se entiende f´ acilmente pensando que si la funci´ on o la regi´ an acotadas, la integral m´ ultiple no puede existir. ´on del dominio no est´ f (x, y )dxdy [a,b]x[c,d] se puede usar si se desea ser enf´ atico al referirse a una integral doble y no a una iterada.

Coordenadas Polares En un espacio R2 , un dominio de integraci´ on que tenga una simetr´ıa circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomar´ a su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformaci´ on: f (x, y) → f (ρcosθ, ρsenθ) Por lo tanto, una vez transformada la funci´ on, y multiplicada por su determinante jacobiano, e ´ sta es igual a la integral original: ´´ ´´ f (x, y)dxdy = f (ρcosθ, ρsenθ)ρdρdθ D T

Coordenadas Esf´ericas Cuando existe simetr´ıa esf´erica en un dominio en R3 , es posible utilizar una transformaci´ on hacia coordenadas esf´ ericas para simplificar una integral triple. La funci´ on es transformada por la relaci´ on: f (x, y, z) → f (ρcosθsenφ, ρsenθsenφ, ρcosφ) Por lo tanto los diferenciales dxdydz se tranforman en ρ2 sen(ϕ)dρdθdϕ Finalmente se obtiene la f´ o´rmula on: ´´´ ´ ´ de integraci´ f (ρcosθsenφ, ρsenθsenφ, ρcosφ)ρ2 senφdρdθdφ D f (x, y, z)dxdydz = T

Coordenadas Cil´ındricas El uso de coordenadas cil´ındricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integraci´ on presenta simetr´ıa alrededor del eje z. La funci´ on se transforma mediante la siguiente relaci´ on. f (x, y, z) → f (ρcosθ, ρsenθ, z) Por ormula de integraci´ on: ´ ´ ´lo tanto, se puede derivar ´ ´ ´la siguiente f´ f ( x, y, z ) dxdydz = f (ρcosθ, ρsenθ, z)ρdρdθdz D T

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APLICACION DE INTEGRACION MULTIPLE EN EL AREA DE ING. CIVIL ˜ DE VIGAS DISE NO Una de las a´reas fundamentales de la ingenier´ıa Civil es la correspondiente al an´ alisis y dise˜ no de estructuras. Para toda obra civil es necesario un an´alisis y un dise˜ no estructural previo. Durante el proceso de dise˜ no se determinan las dimensiones, perfiles y refuerzos necesarios para que cada elemento estructural soporte las cargas que le corresponden, seg´ un se determina en la etapa de an´ alisis este tipo de problemas los encontramos en la materia de Estatica. La ingenier´ıa estructural es una rama cl´ asica de la ingenier´ıa civil que se ocupa del dise˜ no y c´ alculo de la parte estructural en elementos y sistemas estructurales tales como edificios, puentes, muros (incluyendo muros de contenci´ on), presas, t´ uneles y otras obras civiles. Su finalidad es la de conseguir estructuras seguras, resistentes y funcionales. En un sentido pr´ actico, la ingenier´ıa estructural es la aplicaci´ on de la mec´ anica de medios continuos para el dise˜ no de estructuras que soporten su propio peso (cargas muertas), m´ as las cargas ejercidas por el uso (cargas vivas), m´as las cargas producidas por eventos de la naturaleza, como vientos, sismos, nieve o agua. Debe entenderse como una carga estructural aquellas solicitaciones mec´ anicas (fuerzas, momentos, deformaciones, desplazamientos) que debe ser incluidas en el c´ alculo de los elementos mec´ anicos resistentes. La estructura est´ a constituida por el conjunto de elementos mec´ anicos resistentes y sus uniones mec´ anicas considerados como un sistema. Las cargas estructurales son generalmente clasificadas como: cargas muertas que act´ uan de forma continua y sin cambios significativos, pertenecen a este grupo el peso propio de la estructura, empujes de l´ıquidos (como en un dique) o s´ olidos (como el suelo en un muro de contenci´ on), tensores (como en puentes), presfuerzo, asientos permanentes; cargas vivas que son aquellas que var´ıan su intensidad con el tiempo por uso o exposici´ on de la estructura, tales como el tr´ ansito en puentes, cambios de temperatura, maquinaria (como una prensa), acumulaci´ on de nieve o granizo, etc´ etera; cargas accidentales que tienen su origen en acciones externas al uso de la estructura y cuya manifestaci´ on es de corta duraci´ on como lo son los eventos s´ısmicos o r´ afagas de viento. Algunos principios b´ asicos del c´alculo estructural son: Aleatoriedad e incertidumbre, sobre el valor de las cargas actuantes, por lo que ´estas deben ser tratadas como variables aleatorias por lo que un c´ alculo estructural seguro incluye determinar valores estad´ısticos asociados a la densidad de probabilidad de cada carga. As´ı se define el valor caracter´ıstico de una carga F de efecto desfavorable como el valor tal que: P rob(F ≤ FK ) = 0.95 Para los c´ alculos se define el valor de dimensionado o valor de c´ alculo que es un valor mayorado calculado a partir del valor caracter´ıstico y los correspondientes coeficientes de seguridad como:Fd = γF FK Donde γF ≥ 1 es el coeficiente de mayoraci´ on de fuerzas. M´etodo de los

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estados l´ımites, muchas instrucciones t´ecnicas y m´ etodos recomendados usan este m´ etodo consistente en identificar un conjunto de situaciones potencialmente peligrosas para la estructura, cuando el valor de cierta magnitud supera un cierto umbral. El c´alculo estructural consiste en identificar un conjunto de magnitudes relevantes y comprobar que para todas ellas se cumple que: Mu ≤ Md Donde Md es la capacidad estructural del elemento analizado que depende exclusivamente de las propiedades geom´etricas del elemento y de las propiedades de sus materiales constituyentes, y Mu es el valor u ´ltimo de solicitaci´ on que estad´ısticamente puede llegar a alcanzar el elemento estructural analizado. Si el valor de c´ alculoMd es mayor que el valor u ´ltimo potencial de la estructura Mu en todo momento (capacidad, mayor que la demanda), se juzga que la estructura mantendr´ a la integridad estructural y ser´ a segura para su uso establecido. En la pr´ actica Md y Mu son variables aleatorias, por lo que los c´ odigos de c´ alculo estructural contienen prescripciones aproximadas asegurar la probabilidad: maxtǫR Md − Mu ≥ 0 sea suficientemente peque˜ na. ELEMENTOS QUE DEBEMOS CONOCER PARA ESTE EJERCICO VIGAS: Elemento estructural linea, que trabaja principalmente a flexion FLEXION: es el tipo de deformacion que presenta un elemento estructural alargado en una direccion perpendicular a su eje longitudinal. ESFUERZO Y DEFORMACION FALLO POR FLEXION FUERZAS INTERNAS: Momento flector, Fuerza de corte, Fuerza axial

Deducion de la formula de Navier para la flexio de vigas 1.- Por semenjanza de triangulos: εx△x = △x −y δ 2.- Luego y εx = δ 3.´ ´ Para mantener el equilibrio yσ x dA = M z(x) A 4.-Juntamos  ambas expresiones ´´ yE y − dA = M z(x) A ´ ´ 2δ E −δ y dA = M z(x) A − Eδ Iz = M z(x) E Mz(x) δ Iz

Aplicando nuevamente 1 (x)y σx = MzIz Ejemplo 1 de aplicacion de la formula de Navier: Tuberias 1.- El momento maximo considerando una distribucion de carga uniforme  qL 2  = Mz x = L 2 8 Calculo momento de area ´ ´de Segundo 2 Iz = y dA A Utilizando un cambio de coordenadas polares y = r ∗ sen(θ) x = r ∗ cos(θ)

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Iz = Iz =

´ 2π ´ R

´02π 0

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(rsenθ) rdrdθ ´R sen2 θdθ r r3 dr r

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Iz = π(R 4−r ) El mayor esfuerzo seria en y = ±R Y el esfuerzo se remplaza por el esfuerzo admisible del material σ δ = σ xadm qL2

R

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qL R σ xadm = π(R84 −r4 ) = 2π(R 4 −r 4 ) 4 q 2πσxadm(R4 −r4 ) L= qR R>r

Agradecimientos al Ing. Milton Toriz por apoyarme en esta investigacion REFERENCIAS: https://es.wikipedia.org/wiki/Integral multiple http://cbasicas.ittehuacan.edu.mx:8080/moodle/pluginfile.php/37195/mod resource/content/1/funr2r.

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