TE Capítulo 1 Densidad de Flujo Electrico D y Ley de Gauss PDF

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Brebe resumen del cap 1...

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA CAPÍTULO 1. Campos Eléctricos

DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO D Experimento de Faraday

Es decir, el Flujo Eléctrico ψ se mide en Coulombs. A la Densidad de Flujo Eléctrico se le asigna la letra D, que se eligió originalmente debido a los nombres alternativos de densidad de flujo de desplazamiento o densidad de desplazamiento.

La Densidad de Flujo Eléctrico D es un vector campo que pertenece a la clase de campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta de la clase “campos de fuerza” en la que se incluye la Intensidad de Campo Eléctrico E. La dirección de D en un punto, es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie.

Si la esfera interior comienza a hacerse más y más pequeña, mientras sigue reteniendo una carga Q, en el límite se convertirá en una carga puntual; no obstante, la Densidad de Flujo Eléctrico D en un punto ar metros de la carga puntual sigue siendo:

para Q líneas de flujo que se dirigen simétricamente alejándose del punto y que pasan a través de una superficie imaginaria de área 4 π r2. Este resultado puede compararse con el valor de la Intensidad de Campo Eléctrico E radial de una carga puntual en el espacio libre, esto es:

Por lo tanto en el espacio libre se tiene:

Para una distribución de carga volumétrica en el espacio libre se tiene:

y

Ejemplos o 1 Encontrar D en la región circunvecina a una carga uniforme de 8 nC/m colocada a lo largo del eje z. Se conoce que el campo de una linea cargada se define como:

Por lo tanto

o 2

o 3

o 4

o 5 Una carga en la forma de una hoja plana con densidad ρs = 40 uC/m2 está localizada en z = - 0,5 m. Una carga lineal uniforme de ρl = - 6 uC/m yace a lo largo del eje y. Calcular el flujo neto que cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista, centrado en el origen de un sistema cartesiano, tal como se indica en la siguiente Figura.

Ψ = Carga encerrada = Q encerrada Carga encerrada en el plano → Q = (4 m2) (40 uC/m2) = 160 uC Carga lineal encerrada → Q = (2 m) (- 6 uC/m) = -12 uC

Carga total encerrada = Qtotal encerrada = 160 uC - 12 uC = 148 uC Ψ = Qtotal encerrada = 148 uC

o 6 Una carga puntual Q = 30 nC está localizada en el origen de las coordenadas cartesianas. Determinar la Densidad de Flujo Eléctrico D en el punto (1, 3, -4) m.

o 7 Dos cargas lineales uniformes e idénticas yacen a lo largo de los ejes x y y con densidades de carga ρl = 20 uC/m. Calcular D en el punto (3, 3, 3) m.

Ejercicio Una carga puntual de 20 nC se encuentra en el punto (4, -1, 3) y una carga lineal uniforme de -25 nC/m se extiende a la largo de la intersección de los planos x = - 4 y z = 6. a) Calcular D en el punto (3, -1, 0) debido a la carga puntual (20 nC). b) Calcular D en el punto (3, -1, 0) debido a la carga lineal uniforme (-25 nC/m). c) Calcular D en el punto (3, -1, 0) debido a la carga puntual (20 nC) y a la carga lineal uniforme (-25 nC/m).

LEY DE GAUSS   

Es la base de una de las ecuaciones de Maxwell, que son las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. Permite calcular campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga (cortezas esféricas, cilindros, hilos infinitos...). Enunciado cualitativo: El número neto de líneas de campo que sale por cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie.

Para la siguiente Figura

Considere en cualquier punto P, un pequeño elemento de superficie ΔS y que D S forma un ángulo θ con ΔS. El flujo a través de ΔS es igual al producto (punto) de la componente normal de DS y ΔS.

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie ΔS.

La integral resultante es una integral de superficie cerrada (Superficie guassiana). El elemento de superficie dS implica las diferenciales de dos coordenadas por lo que se trata de una integral doble.

La formulación matemática de la Ley de Gauss es:

Resumiendo:...