TEMA 5 - Geometria Descriptiva PDF

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para ingenieros agronomos, apuntes de clase + apoyo de bibliografías...

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

TEMA 5

Tema 5 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA. 1.1.-Concepto y definición de Geometría Descriptiva. La Geometría Descriptiva es la rama de la Geometría que trata de los sistemas de representación, o sea, de los métodos sistemáticos que permiten trasladar a un plano los elementos que forman cualquier cuerpo del espacio, permitiendo además, resolver en este plano todos los problemas que se puedan plantear respecto al sólido. Todos los sistemas de representación se basan en recursos proyectivos, y entre ellos se pueden mencionar el sistema de planos acotados, diédrico, axonométrico o cónico. La reversibilidad de un sistema de representación es una condición indispensable para que sea válido. Esto quiere decir que además de poder representar en un plano el cuerpo que se desee, se debe poder, a partir de dicha representación, restituir el cuerpo sin ningún tipo de ambigüedades. 1.2.-Sistemas de proyección: definición y clasificación. Como ya se ha dicho, todos los sistemas de representación se apoyan en recursos proyectivos. A continuación se definen los elementos que intervienen en una proyección. La proyección de un punto sobre un plano es la intersección del rayo proyectante que pasa por ese punto con dicho plano, llamado plano de proyección. En la Fig. 1.1, la proyección del punto A sobre el plano P es el punto a, siendo el rayo proyectante el segmento Aa.

A

a

P Figura 1.1

Si los rayos proyectantes parten de un punto propio la proyección se denomina central o cónica (Fig. 1.2), denominándose a su vez centro de proyección al punto desde donde parten (O).

O A

P

B b

a Figura 1.2

Cuando los rayos proyectantes son paralelos a una dirección (y por tanto paralelos entre sí) la proyección se denomina cilíndrica o paralela, que puede ser ortogonal (Fig. 1.3a) u oblicua

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(Fig. 1.3b) según la dirección de los rayos proyectantes sea perpendicular o no al plano de proyección.

A

a

P

A

B

b

a

P

B

b

b)

a) Figura 1.3

1.2.1.-Propiedades fundamentales de la proyección cónica.

Algunas propiedades de la proyección cónica pueden resumirse de la siguiente forma: 1.-La proyección de un segmento rectilíneo es otro segmento rectilíneo que se obtendrá uniendo las proyecciones a y b de dos puntos cualquiera A y B de dicho segmento (Fig. 1.4). Si la recta que contiene al segmento pasa por el centro de proyección, su proyección se reduce a un punto. Este es el caso de la recta T de la Figura 1.8, la cual se proyecta en el punto b. O A

B

a

P

b

Figura 1.4 2.-El punto medio (M) de un segmento no tiene por qué proyectarse en el punto medio de la proyección de dicho segmento (Fig. 1.5). O A P

a

M

m

B

b

Figura 1.5 3.-El punto de intersección I de dos rectas R y S que se cortan, se proyecta en el punto i, intersección de las proyecciones r y s de dichas rectas (Fig. 1.6).

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O R

S I

P

r

i

s

Figura 1.6 4.-Las proyecciones de dos rectas paralelas en el espacio no son paralelas entre sí. El plano proyectante de la recta R (definido por R y O) y el de la recta S (definido por S y O) se cortan según la recta OF (Fig. 1.7a), paralela a su vez a R y S. Como las proyecciones r y s son las intersecciones de los respectivos planos proyectantes con el plano de proyección, estas deben cortarse en el punto F. Si las rectas son paralelas entre sí y al plano de proyección, sus proyecciones también lo serán. En este caso OF será paralela al plano de proyección (Fig. 1.7b), lo que obliga a que r y s sean paralelas ya que éstas deben cortarse con OF en su punto de intersección con el plano de proyección, que en este caso está en el infinito.

S R

O

O R

S r P

F s

P a)

s

r b)

Figura 1.7 5.-La proyección de una curva es otra curva, intersección de la superficie cónica de vértice el centro de proyección O y directriz la curva dada, con el plano de proyección P (Fig. 1.8). O

A

P a

b

E

B C D

T

e c

d

Figura 1.8 Si se tratase de una curva plana cuyo plano pasara por el centro de proyección, su proyección sería una recta

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6.-Si una recta corta a una curva, los puntos de intersección se proyectarán sobre la intersección de sus proyecciones (Fig.1.9). O A B a

b

P

Figura 1.9 7.-Si una recta es tangente a una curva en un punto T, la proyección de la recta será tangente a la proyección de la curva en la proyección t del punto de tangencia T (Fig. 1.10). Este caso puede considerarse como uno particular del anterior, en el que la recta se ha girado alrededor de uno de los puntos de corte con la curva hasta hacerla tangente. O

T

R r

t

P

Figura 1.10 1.2.2.-Propiedades fundamentales de la proyección cilíndrica.

La proyección cilíndrica conserva las propiedades de la proyección cónica, adquiriendo además las propiedades derivadas del paralelismo de los rayos proyectantes. Entre ellas se pueden destacar: 1.-La proyección del punto medio (M) de un segmento es el punto medio de la proyección del segmento (Fig. 1.11). A

P

a

M

m

C

c

Figura 1.11 2.-La proyección de una figura situada en un plano paralelo al de proyección es otra figura igual a la primera (Fig. 1.12). Esto es debido a que las secciones producidas por planos paralelos en el sólido que definen los rayos proyectantes, son iguales.

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B

A

C

D a

P

b

d

c

Figura 1.12 3.-Las proyecciones de rectas paralelas son rectas paralelas (Fig. 1.13). Esto es debido a que los planos proyectantes de las rectas son paralelos, y por tanto, sus intersecciones con el plano de proyección también lo serán. R S

P

r s

Figura 1.13 1.2.3.-Propiedades fundamentales de los sistemas de representación.

Se hará mención a los más usados: diédrico, planos acotados, axonométrico y cónico. 1.2.3.1.-Diédrico.

Este sistema de representación utiliza proyecciones cilíndrico-ortogonales sobre dos planos perpendiculares entre si, llamados plano horizontal de proyección y plano vertical de proyección. La intersección de ambos planos se denomina línea de tierra (Fig. 1.14). La figura proyectada sobre el plano horizontal se denomina planta y la proyectada sobre el plano vertical se denomina alzado. Eventualmente puede usarse un plano auxiliar de proyección perpendicular a los planos horizontal y vertical de proyección, denominado plano de perfil. Las proyecciones sobre este plano reciben el nombre de vistas laterales o perfiles.

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Plano de perfil Plano vertical de proyección Proyección vertical o alzado

Vista lateral o proyección de perfil

Línea de tierra

Plano horizontal de proyección Proyección horizontal o planta

Figura 1.14

1.2.3.2.-Planos acotados.

En este sistema se trabaja con una sola proyección cilíndrico ortogonal sobre un plano horizontal, denominado plano de comparación (Fig. 1.15). Sobre la proyección de cada punto se coloca una cifra que indica la distancia a dicho plano de comparación (cota), afectada del signo + ó - según el punto esté por encima o por debajo del plano de comparación. A

a(5) b(-8)

B

Figura 1.15

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1.2.3.3.-Axonométrico.

Se basa en proyectar cilíndrico-ortogonalmente el objeto en cuestión y el triedro de referencia sobre un plano que corta a los ejes cartesianos y que se denomina plano del cuadro o plano del dibujo. En este sistema se manejan cuatro proyecciones: la directa y las correspondientes a cada proyección del punto sobre los planos del triedro (serán proyecciones de proyecciones). En la Fig. 1.16 el punto A se ha referido al sistema cartesiano X, Y y Z por medio de las proyecciones A1, A2 y A3, sobre los planos coordenados. A continuación se ha proyectado ortogonalmente sobre el plano del cuadro (plano P) cada una de estas proyecciones (obteniendo A1’, A2’ y A3’), el punto A (obteniendo la proyección directa A’), y los ejes cartesianos (obteniendo X’, Y’ y Z’).

Z

A1 A X

A2

A3

X'

A'1 Z' A'2 P

Y

A'

A'3

Y'

Figura 1.16 1.2.3.4.-Cónico.

El sistema cónico se fundamenta en la proyección central. Los elementos que forman parte de este tipo de proyección son el centro de proyección o punto de vista, punto V de la Fig. 1.17, y el plano de proyección o plano del cuadro Q, que coincide con el plano del dibujo. La posición relativa entre el punto de vista y el plano del cuadro se fija mediante la proyección ortogonal de V sobre Q, punto P, y de la distancia VQ. El punto P se denomina punto principal. Las únicas referencias que existen en el dibujo son el punto principal P y la distancia de V al plano del cuadro, la cual suele venir representada por una circunferencia con centro en P y radio la distancia d de V al plano del cuadro (Fig. 1.18). A esta circunferencia se le llama círculo distancia.

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d

Q

P

V

a A

Figura 1.17

P

d

Figura 1.18

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