Tema 5Método de variación de parámetros (Método de Lagrange) PDF

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Apuntos metodo de lagranje...

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E.D.O DE ORDEN 2 Y ORDEN n

ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ing. Ximena Hidalgo Z. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

CLASE Nro. 5-2U

CONTENIDO

Título

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales No Homogéneas con Coeficientes Constantes.

Duración 120 minutos Información general Método de Variación de parámetros.

Objetivo

MXHidalgoZ.

Reconoce los casos de g(x) para aplicar el método de Variación de los parámetros y obtiene una solución general de la ecuación diferencial dada.

1

CLASE Nro. 5-2U

Método de variación de parámetros (Método de Lagrange) Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden 2 Dada la ecuación diferencial 𝐿(𝑦) = 𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥), Siendo 𝑝, 𝑞, 𝑔 funciones continuas en un intervalo 𝐼 ⊆ ℝ, y suponiendo que 𝑦1 y 𝑦2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada, sabemos que, 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 . El método de Variación de parámetros consiste en suponer una solución 𝑦𝑝 (𝑥)

reemplazando las constantes 𝑐1 , 𝑐2 por funciones 𝑢1 , 𝑢2 , es decir, suponemos que existen funciones 𝑢1 (𝑥 ), 𝑢2 (𝑥) tales que:

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑢1 (𝑥) 𝑦1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥) 𝑦2 (𝑥)

𝑦′𝑝 = 𝑢′1 𝑦1 + 𝑢1 𝑦′1 + 𝑢′2 𝑦2 + 𝑢2 𝑦′2 asumimos una condición arbitraria: 𝑢1′𝑦1 + 𝑢′2 𝑦2 = 0 (1) entonces se tiene que: 𝑦′𝑝 = 𝑢1 𝑦′1 + 𝑢2 𝑦′2 derivando nuevamente: 𝑦′′𝑝 = 𝑢′1 𝑦′1 + 𝑢1 𝑦′′1 + 𝑢′2 𝑦′2 + 𝑢2 𝑦′′2 derivando respecto a x:

y reemplazando en la ecuación 𝐿(𝑦) = 𝑔(𝑥):

siendo, 𝑢′1 , 𝑢′2 las incógnitas a determinar. Por Cramer:

MXHidalgoZ.

2

CLASE Nro. 5-2U

finalmente:

Nota. El Método de Variación de Parámetros es un método general que se puede usar tanto para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes o coeficientes variables, pero siempre que sea posible se debe utilizar el Método de Coeficientes indeterminados, puesto que es un método más sencillo. Ejemplo.

𝑦 ′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥

Ecuación característica: 𝑟 2 − 3𝑟 + 2 = 0 ⟹ (𝑟 − 2)(𝑟 − 1) = 0 ⟹ 𝑟1 = 1; 𝑟2 = 2 ⟹ 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 suponemos: 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑒 𝑥 + 𝑢2 𝑒 2𝑥 el sistema de ecuaciones que se obtiene es: 𝑢′ 𝑒 𝑥 + 𝑢′2 𝑒 2𝑥 = 0 { 1𝑥 𝑢′1 𝑒 + 2𝑢′2 𝑒 2𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑥 2𝑥 entonces: 𝑊 (𝑦1 , 𝑦2 ) = |𝑒 𝑥 𝑒 2𝑥 | = 2𝑒 3𝑥 − 𝑒3𝑥 = 𝑒 3𝑥 ≠ 0 𝑒 2𝑒 Por Cramer: 2𝑥 0 𝑦2 | | | 0 𝑥 𝑒 2𝑥 | −𝑥𝑒 3𝑥 𝑔(𝑥) 𝑦′2 = 𝑢′1 = = −𝑥 = 𝑥𝑒 3𝑥2𝑒 𝑒 𝑒 3𝑥 𝑊 𝑥2 ⟹ 𝑢1 = ∫ −𝑥𝑑𝑥 = − 2 𝑥 𝑦1 0 0 | | | |𝑒 𝑥 2𝑥 𝑦′1 𝑔(𝑥) 𝑒 𝑥𝑒 𝑥 = 𝑥𝑒 = 𝑥𝑒 −𝑥 𝑢′2 = = 𝑒 3𝑥 𝑒 3𝑥 𝑊 −𝑥 ⟹ 𝑢2 = ∫ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = −𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 = −𝑒 −𝑥 (𝑥 + 1) Entonces:

𝑦𝑝 = −

Y la solución general: MXHidalgoZ.

𝑥2

2

𝑒 𝑥 + −𝑒 −𝑥 (𝑥 + 1)𝑒 2𝑥 = −𝑒 𝑥 (

𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 − 𝑒𝑥 (

2

𝑥2

𝑥2 2

+ 𝑥 + 1)

+ 𝑥 + 1) 3

CLASE Nro. 5-2U Ejemplo.

𝑦 ′′ + 𝑦 = tan(𝑥)

𝑟 2 + 1 = 0 ⟹ 𝑟 = ±𝑖 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦𝑝 = 𝑢1 cos( 𝑥) + 𝑢2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Ecuación característica: suponemos:

el sistema de ecuaciones que se obtiene es: 𝑢′ cos(𝑥 ) + 𝑢 ′ 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ) = 0 { ′ 1 −𝑢 1 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ) + 𝑢 ′ 2 cos (𝑥) = tan (𝑥) cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) entonces: 𝑊 (𝑦1 , 𝑦2 ) = | | = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = 1 ≠ 0 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) Por Cramer: 0 𝑦 0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) | | 𝑔(𝑥) 𝑦′2 | | 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) tan(𝑥) cos (𝑥) 2 = −tan(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = − 𝑢′1 = = 1 𝑊 cos (𝑥) 2 (𝑥) 1 − 𝑐𝑜𝑠 ⟹ 𝑢1 = − ∫ 𝑑𝑥 = − ln | sec(𝑥 ) + tan (𝑥)| + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥 ) 𝑦 0 cos (𝑥) 0 | |𝑦′1 𝑔(𝑥)| | −sen (𝑥) tan(𝑥) 1 𝑢′2 = = = cos(𝑥 ) 𝑡𝑎𝑛 (𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑊 1 ⟹

𝑢2 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = −cos (𝑥)

Entonces: 𝑦𝑝 = − cos ( 𝑥) ln |sec(𝑥 ) + tan (𝑥)| + cos(𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦𝑝 = − cos( 𝑥) ln |sec(𝑥 ) + tan (𝑥)| Y la solución general: 𝑦(𝑥 ) = 𝑐1 cos(𝑥 ) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos( 𝑥) ln | sec(𝑥 ) + tan (𝑥)| Ejemplo.

𝑦 ′′ + 𝑦 = sec(𝑥)

Ecuación característica:

suponemos:

𝑟 2 + 1 = 0 ⟹ 𝑟 = ±𝑖 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑦𝑝 = 𝑢1 cos( 𝑥) + 𝑢2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

el sistema de ecuaciones que se obtiene es: 𝑢′ cos(𝑥 ) + 𝑢 ′ 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ) = 0 { ′1 −𝑢 1 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ) + 𝑢 ′ 2 cos (𝑥) = sec 𝑥 entonces:

MXHidalgoZ.

𝑊 (𝑦1 , 𝑦2 ) = |

cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) | = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = 1 ≠ 0 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 4

CLASE Nro. 5-2U Por Cramer: 𝑢′1 = 𝑢′2 =

0 | 𝑔(𝑥) |

𝑦 | 𝑦′22

| 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos (𝑥)

0 |sec (𝑥)

= sec(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = tan (𝑥) 1 = 𝑊 ⟹ 𝑢1 = ∫ tan(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ln(cos (𝑥))

𝑦1 𝑦′1

⟹

0 cos (𝑥) 0 | | | −sen (𝑥) sec (𝑥) 𝑔(𝑥) = = cos(𝑥 ) 𝑠𝑒𝑐(𝑥 ) = 1 𝑊 1 𝑢2 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥

entonces: 𝑦𝑝 = cos( 𝑥) ln(cos (𝑥)) + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y la solución general: 𝑦(𝑥 ) = 𝑐1 cos(𝑥 ) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos( 𝑥) ln(cos (𝑥)) + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Ejemplo.

𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 9𝑦 =

𝑥 2 +1

𝑟 + 6𝑟 + 9 = 0 ⟹ (𝑟 + 3)2 = 0 ⟹ 𝑟1 = 𝑟2 = −3 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 −3𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −3𝑥 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑒 −3𝑥 + 𝑢2 𝑥𝑒 −3𝑥

Ecuación característica: suponemos:

8𝑒 −3𝑥

2

el sistema de ecuaciones que se obtiene es: 𝑢′1 𝑒 −3𝑥 + 𝑢′2 𝑥𝑒 −3𝑥 = 0 { 8𝑒 −3𝑥 −3𝑢 ′1 𝑒 −3𝑥 + 𝑢 ′ 2 (𝑒 −3𝑥 − 3𝑥𝑒 −3𝑥 = 2 𝑥 +1 −3𝑥 −3𝑥 𝑒 𝑥𝑒 −6𝑥 entonces: 𝑊 (𝑦1 , 𝑦2 ) = | |=𝑒 ≠0 − 3𝑒 −3𝑥 𝑒 −3𝑥 − 3𝑥𝑒 −3𝑥 Por Cramer: 0 𝑥𝑒 −3𝑥 −3𝑥 0 𝑦2 | | | | 8𝑒 𝑒 −3𝑥 − 3𝑥𝑒 −3𝑥 2 8𝑥 8𝑒 −6𝑥 𝑔(𝑥) 𝑦′2 𝑥 +1 𝑢′1 = =− 2 = − = 2 −6𝑥 −6𝑥 (𝑥 + 1)𝑒 𝑒 𝑊 𝑥 +1 8𝑥 ⟹ 𝑢1 = ∫ − 2 𝑑𝑥 = −4 ln(𝑥 2 + 1) 𝑥 +1 𝑒 −3𝑥 0 −3𝑥 | 𝑦1 0 | 8𝑒 −3𝑥 | | −3𝑒 8𝑒 −6𝑥 2+1 8 𝑦′1 𝑔(𝑥) 𝑥 =− 2 = 𝑢′2 = = 𝑒 −6𝑥 (𝑥 + 1)𝑒 −6𝑥 𝑥 2 + 1 𝑊 8 𝑑𝑥 = 8 arctan (𝑥) ⟹ 𝑢2 = ∫ 2 𝑥 +1 Entonces: 𝑦𝑝 = −4𝑒 −3𝑥 ln(𝑥 2 + 1) + 8𝑥𝑒 −3𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)

Y la solución general: 𝑦(𝑥 ) = 𝑐1 𝑒 −3𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −3𝑥 −4𝑒−3𝑥 ln(𝑥 2 + 1) + 8𝑥𝑒 −3𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) MXHidalgoZ.

5

CLASE Nro. 5-2U Ejercicio. Encontrar la solución general de la EDO: 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + (𝑥 2 − 4) 𝑦 = 𝑥 3/2, 1

sí se conoce que las soluciones de la ecuación homogénea asociada son: 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) ; 𝑦2 = 𝑦1 = √𝑥 √𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

La solución homogénea está dada por 𝑦ℎ = 𝑐1 √𝑥

𝑦 ′′ + 𝑥 𝑦 ′ + (1 − 1

Dividiendo para 𝑥 2 :

1

4𝑥 2

)𝑦 =

1

𝑥 1/2

+ 𝑐2

𝑠𝑒𝑛(𝑥) √𝑥

,

Por el método de variación de los parámetros, suponemos una solución particular: 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 = 𝑢1

𝑐𝑜𝑠(𝑥) √𝑥

+ 𝑢2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) √𝑥

el sistema de ecuaciones que se obtiene es: 𝑢′1 𝑥 −1/2 cos(𝑥) + 𝑢 ′ 2 𝑥 −1/2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 1 1 1 { ′ 𝑢 1 (− 𝑥 −3/2 cos(𝑥) − 𝑥 −1/2𝑠𝑒𝑛(𝑥)) + 𝑢 ′ 2 (− 𝑥 −3/2 sen(𝑥) + 𝑥 −1/2 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = 1/2 2 2 𝑥 entonces: 𝑥 −1/2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 −1/2 cos(𝑥) 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 ) = | 1 −3/2 | 1 cos(𝑥) − 𝑥 −1/2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 𝑥 −3/2 sen(𝑥) + 𝑥 −1/2𝑐𝑜𝑠(𝑥) −2𝑥 1 1 1 = − 𝑥 −2 sen(𝑥)cos (𝑥) + 𝑥 −1 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑥 −2 sen(𝑥)cos (𝑥) + 𝑥 −1𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = ≠ 0 2 2 𝑥 Por Cramer: 0 𝑦2 | 𝑔(𝑥) 𝑦 ′ | 2

|

0

𝑥

1 −2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

| 1 1 3 − − 𝑥 −2 sen(𝑥) + 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑥 −1𝑠𝑒𝑛(𝑥) 2 ′ 𝑢1 = =− = 1 𝑥 −1 𝑊 𝑥 ⟹ 𝑢1 = ∫ −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = cos (𝑥) 𝑢′2 =

𝑦 |𝑦′1 1

⟹

1

𝑥 −2

𝑥 −1/2 cos(𝑥 )

0 0 1| | 1 | − 𝑥 −3/2 cos(𝑥) − 𝑥 −1/2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 −2 𝑥 −1𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑔(𝑥) 2 =− = 1 𝑊 𝑥 −1 𝑥

entonces:

𝑢2 = ∫ cos (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦𝑝 =

𝑢1 𝑐𝑜𝑠√𝑥𝑥 + 𝑢2

y la solución general:

MXHidalgoZ.

( )

𝑠𝑒𝑛(𝑥) √𝑥

𝑦(𝑥) = 𝑐1

= 𝑐𝑜𝑠√𝑥 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛√𝑥(𝑥) = √1𝑥

𝑐𝑜𝑠(𝑥) √𝑥

2

2( )

+ 𝑐2

𝑠𝑒𝑛(𝑥) √𝑥

+

1

√𝑥 6

CLASE Nro. 5-2U Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden 3. Dada la ecuación diferencial 𝐿(𝑦) = 𝑦 ′′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′′ + 𝑞 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑟(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥), Siendo 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑔 funciones continuas en un intervalo 𝐼 ⊆ ℝ, y suponiendo que 𝑦1 , 𝑦2 y 𝑦3 son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada, sabemos que, 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + 𝑐3 𝑦3 . suponemos una solución 𝑦𝑝 (𝑥) reemplazando las constantes 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 por funciones 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , es decir, suponemos que:

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑢1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥 )𝑦2 (𝑥) + 𝑢3 (𝑥)𝑦3 (𝑥)

MXHidalgoZ.

7

CLASE Nro. 5-2U

Ejemplo.

MXHidalgoZ.

𝑦 ′′′ + 2𝑦′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑥

8

CLASE Nro. 5-2U

MXHidalgoZ.

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CLASE Nro. 5-2U

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 1. KREYSIG, E. (1995). MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA VOL 1. LIMUSA. 2. LARA, J. (1995). ECUACIONES DIFERENCIALES. QUITO - ECUADOR: EDITORIAL UNIVERSITARIA. 3. SPIEGEL, M. R. (1991). ECUACIONES DIFERNCIALES APLICADAS. MEXICO: PRENTICE HALL. 4. ZILL, D. G. (2009). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado.

MXHidalgoZ.

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