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tema 7Tema 7. Movimiento bidimensional con aceleración constanteIntroducciónImagen obtenida de istockphoto/En los temas anteriores analizamos el movimiento en una sola dimensión exclusivamente, ya sea x o en y. Sin embargo, en la vida cotidiana existen muchas más tipos de movimiento a los que las co...

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tema 7 Tema 7. Movimiento bidimensional con aceleración constante Introducción

Imagen obtenida de http://www.istockphoto.com/

En los temas anteriores analizamos el movimiento en una sola dimensión exclusivamente, ya sea x o en y. Sin embargo, en la vida cotidiana existen muchas más tipos de movimiento a los que las cosas y objetos son sometidos y que ofrecen comportamientos interesantes y que con ayuda de la Física podemos comprender y predecir. Explicación 7.1 Tiro Parabólico Un proyectil es una partícula que se mueve cerca de la superficie de la Tierra sólo bajo la influencia de su peso (dirigido hacia abajo). El primer dato que nos dan de un proyectil que se lanza al ras del suelo es su velocidad inicial acompañada por un ángulo de lanzamiento mayor a 0° pero menor a 90°. Por lo tanto, esta velocidad inicial es un vector. Para analizar su comportamiento en función del tiempo debemos de descomponer la velocidad en sus componentes en cada eje con las siguientes fórmulas:

Una vez que tenemos las componentes listas podemos obtener la posición y la velocidad del proyectil: Posición

Velocidad

Con ayuda de estas ecuaciones podemos analizar el comportamiento del proyectil en una trayectoria como la siguiente, también llamada tiro parabólico:

Tiro parabólico. Fuente: Tippens, P. (2011). Física: Conceptos y aplicaciones (7ª ed.). México: McGraw Hill. Sólo para fines educativos.

Como podemos observar, se puede calcular, en el instante de tiempo que se desee, la posición y que tan rápido va el proyectil en cada eje. En las ecuaciones de velocidad puedes observar que en el eje x la velocidad es constante, mientras que en el eje y, la velocidad disminuye y luego aumenta negativamente hasta llegar al suelo. Esto es debido a la gravedad. Ahora bien, si en cualquier instante necesitamos la velocidad del proyectil como un vector, podemos obtenerlo con ayuda de las componentes:

Justo como en el tiro vertical hacia arriba, también podemos calcular la altura máxima. Como ya se dijo, la velocidad en el eje x nunca cambia, es constante. Sin embargo, en el eje y la velocidad es cero cuando el proyectil está en la altura máxima. Con este concepto podemos primeramente calcular el tiempo en el que ésta sucede y luego en dónde está. El segundo concepto que es importante encontrar es el alcance o rango del proyectil. Se puede obtener de dos formas: si multiplicamos por dos el tiempo de la altura máxima, ese debe de ser el tiempo que le tomo subir y bajar.

Una vez que se obtuvo el tiempo del alcance, mejor conocido como tiempo de vuelo, lo utilizamos en la ecuación de posición del eje x para obtener el valor que buscamos. Ejemplo: Un proyectil es disparado a 40 m/s con un ángulo de 30° sobre la horizontal, obtén su altura máxima y el alcance. Primeramente debemos descomponer la velocidad inicial en sus componentes:

Con estos valores ahora podemos encontrar el tiempo en el que sucede la altura máxima, para ello igualamos la ecuación de velocidad en el eje y a cero:

No olvides, que al igual que en el tema anterior la gravedad debe ser negativa en las ecuaciones. Ahora, con ayuda de la ecuación de posición en el eje y podemos obtener la altura máxima:

Si sabemos ya el tiempo en el que llegó hasta la altura máxima, fácilmente podemos saber el tiempo de vuelo

Finalmente, para conocer el alcance utilizamos el tiempo de vuelo en la ecuación de posición en el eje x:

Adicionalmente, en este problema nos podrían preguntar cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad del proyectil justo antes de golpear el suelo, para ello simplemente tendríamos que obtener la velocidad en el eje y para el tiempo de vuelo, la velocidad en x ya se tiene porque ésta es constante. Teniendo estas componentes solamente utilizamos las fórmulas de vectores. También si sabemos que toda la trayectoria se realiza en 4.08 segundos, podemos saber la posición y velocidad exactas cuando han trascurrido un segundo, dos segundos, tres segundos, etc.

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7.2 Tiro Horizontal El tiro horizontal, también conocido como proyección horizontal, es simplemente la mitad de un tiro parabólico. Es decir, es una circunstancia especial donde un objeto que está en una superficie horizontal, viaja horizontalmente y al terminarse la superficie en donde avanzaba ahora comienza a caer verticalmente, pero sigue avanzando horizontalmente debido a la velocidad inicial que llevaba.

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Para analizarlo utilizaremos las mismas ecuaciones de posición y velocidad que en el tiro vertical, sin embargo, debemos de identificar varias características especiales:

Tiro horizontal. Fuente: Tippens, P. (2011). Física: Conceptos y aplicaciones (7ª ed.). México: McGraw Hill. Sólo para fines educativos.

Como podemos ver en la figura anterior, la velocidad inicial del proyectil está totalmente en el eje x, por lo tanto la velocidad inicial en el eje y es cero, ya que no hay ángulo. Además, muy parecido a la caída libre, la gravedad es la única que determina la velocidad y posición verticales, mientras que, tal y como en el tiro parabólico, la velocidad en el eje x es la misma que el inicio porque es constante. La posición horizontal irá aumentando positivamente, mientras que la posición vertical irá incrementando de forma negativa, ya que la posición inicial es cero y el proyectil se mueve hacia abajo. En este tipo de ejercicios, no existe altura máxima, sin embargo, podemos encontrar el tiempo que tarda en caer el proyectil y su velocidad justo antes de caer. Además de qué tan enfrente de la posición inicial cayó. Ejemplo: Una pelota rueda por una mesa y cae del borde de ésta con una velocidad inicial horizontal de 20 m/s. Si la mesa está 1.2 m por encima del suelo, calcula el tiempo que tardó la pelota en caer al piso y que tan enfrente llegó. Primeramente identificamos las componentes de la velocidad inicial:

Ahora, debido a que conocemos la altura de la mesa, podemos colocarla en la ecuación de posición vertical para obtener el tiempo que tarda en caer, pero debemos recordar que la posición inicial es en la mesa, por tanto, el valor de posición que utilizaremos será negativo, ya que está medido de arriba hacia abajo:

Ahora para saber qué tan enfrente cayó, utilizamos la ecuación de la posición en x:

Adicionalmente, en este problema podrías calcular la magnitud y la velocidad justo antes de que la pelota toque el piso, de la misma forma que se haría en el tiro parabólico. 7.3 Movimiento circular uniforme Otro tipo de movimiento muy común en la vida cotidiana es el circular. Para comprenderlo debemos conocer varios conceptos nuevos.

Imagen obtenida de http://www.istockphoto.com/

El desplazamiento angular de un cuerpo nos indica la cantidad de rotación de este. Hay varias formas de medir este desplazamiento. Debemos recordar que un círculo tiene 360°, por lo tanto, si diéramos una vuelta completa, podrías indicar que nos desplazamos 360°, también conocido como una revolución.

Sin embargo, tanto en Física y Matemáticas se utiliza una unidad que establece la relación que existe entre el arco y el radio de un círculo, esta unidad es el radián.

Desplazamiento angular. Fuente: Tippens, P.E. (2011). Física: Conceptos y aplicaciones (7ª ed.). México: McGraw-Hill. Sólo para fines educativos.

Un ángulo de un radián es un ángulo central cuyo arco s es igual al radio R. Se define por medio de la siguiente ecuación:

Por tanto, también podemos establecer los siguientes factores de conversión:

Para poder aplicar la fórmula de desplazamiento angular a unidades de longitud el arco y el radio deben de estar en las mismas unidades lineales, es decir, ambos en metros, pies, centímetros, pulgadas, etc. La velocidad angular es el desplazamiento angular por unidad de tiempo:

La velocidad angular es promedio, ya que estamos asumiendo que ésta puede en teoría aumentar o disminuir a lo largo del tiempo, pero estamos obteniendo un valor medio. Las unidades son radianes sobre segundo (rad/s). Si la velocidad angular está en revoluciones por segundo (rev/s) le llamamos frecuencia angular, y la relación entre la velocidad y la frecuencia está dada por la fórmula:

Otra unidad común son las revoluciones por minuto (rev/min), comúnmente abreviadas como rpm, para poder trabajar con ella primero debes convertirla a revoluciones por segundo. Ejemplo:

La rueda de una bicicleta tiene un radio de 33 cm y gira 40 revoluciones en un minuto. ¿Qué distancia lineal recorrerá la bicicleta en 30 segundos? Primero debemos de convertir las 40 rpm a rev/s para obtener la frecuencia angular:

Ahora podemos convertir la frecuencia angular a velocidad angular con la fórmula:

Con esta velocidad y el tiempo que nos dan, podemos obtener el desplazamiento angular, despejando la fórmula:

El radio es 33 cm, pero para obtener una distancia en metros lo convertimos a estas unidades:

Con la fórmula de desplazamiento angular podemos obtener el desplazamiento lineal s:

Otro concepto importante es la velocidad tangencial, esta es la velocidad lineal que lleva un cuerpo que rota con cierta velocidad angular y del que además conocemos el radio respecto al eje de rotación:

Las unidades del radio determinarán si la velocidad tangencial está en m/s, ft/s, etc. Cierre En este tema analizamos dos importantes tipos de movimiento: bidimensional y rotacional. Estos conceptos te permitirán analizar el comportamiento de situaciones de la vida cotidiana como lanzamiento de jabalina u otros deportes donde la velocidad, ángulos y otros conceptos son utilizados....