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Organización de ComputadorasTrabajo Práctico N°Sistemas de numeración posicionalesEn un sistema de numeración posicional se utiliza un conjunto de símbolos para representar un valor. La cantidad de elementos de este conjunto constituye la BASE del sistema. El sistema decimal, que usamos cotidianamen...

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Universidad Nacional de Luján Organización de Computadoras

Trabajo Práctico N°1 Sistemas de numeración posicionales En un sistema de numeración posicional se utiliza un conjunto de símbolos para representar un valor. La cantidad de elementos de este conjunto constituye la BASE del sistema. El sistema decimal, que usamos cotidianamente, tiene como base al conjunto de símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Diez símbolos distintos, de ahí su nombre: DECIMAL

Sistema Decimal (base = 10) Utilizando este sistema con el que estamos familiarizados, explicaremos como se representa cualquier valor. Cada símbolo aporta su propio valor (ya sabemos que cantidad representa cada uno) más un peso en el resultado final que esta dado por su POSICIÓN dentro de la cifra total. El peso surge de multiplicar el valor de cada símbolo por una potencia de la base del sistema (10). Las potencias que corresponden a cada posición son: 100 para las unidades 101 para las decenas 102 para las centenas… y así sucesivamente Analicemos por ejemplo el número 426:

426 = 4x102 + 2x101 + 6x100 426 = 4x100 + 2x10 + 6x1 (recordemos cualquier valor elevado a la potencia cero da uno) 426 = 400 + 20 + 6 Como se combinan los símbolos en forma ordenada: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 hasta acá simplemente se ordenan por su valor 10 11 12 13 14 15… Ahora combinamos cada uno con el primero significativo (distinto de cero) 1.. 20 21 22… Con el segundo 2.. … 90 91 92 … 99 Así hasta el último 9.. 100 101 Usando la misma lógica agregamos una columna a la izquierda y combinamos con 1 .. .. Esto nos resulta familiar porque utilizamos este sistema desde que aprendimos a contar, pero ¿Qué pasa cuando cambia la base?

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Sistema de numeración BINARIO (base = 2) Es un sistema posicional de 2 simbolos. La base está formada por los elementos: 0 1 Combinemos para formar valores en forma ordenada (para saber en que base esta expresado un valor, se indica al final del mismo con una barra y la base sub indicada. Ej. 11 en decimal es 11/10 11 en binario es 11/2) 0/2 = 0 1/2 = 1 10/2 = 2 11/2 = 3 100/2 = 4 101/2 = 5 110/2 = 6 111/2 = 7 1000/2 = 8 … ¿Como calcular el valor equivalente en decimal (base 10) de un número binario (base 2)? Como es un sistema posicional podemos utilizar la multiplicación de cada dígito por la potencia de la base que le corresponde por posición

101/2 1 x 20= 1 x 1 = 1 0 x 21= 0 x 2 = 0 1 x 22= 1 x 4 = 4 5 También podemos expresarlo así : 101/2 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 4 + 0 + 1 = 5 ¿Como calcular el valor equivalente en binario (base 2) de un número decimal (base 10)? Para obtener el binario equivalente de un decimal hacemos divisiones sucesivas por 2. Ejemplo: Obtener el equivalente en binarios de 83/10 (También puede expresarse con 83/d) 83 41 20 10 5 2 1 83 1

2 41 1

1 1 0 0 1 0

2 20 0

Realizamos divisiones sucesivas del valor (83/d) por la base del sistema en el que lo queremos expresar (en este caso: 2). Se puede representar en una columna o como sucesión de divisiones. 2 10 0

2 5 1

2 2 0

Tomando el último resultado y los restos en orden invertido obtenemos: 1010011/2 que es equivalente en binarios de 83/d 2 1

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Sistema de numeración OCTAL (base = 8) Es un sistema posicional de 8 símbolos. La base está formada por los elementos: 0 1 2 3 4 5 6 7

0/8 = 0/10 1/8 = 1/10 2/8 = 2/10 3/8 = 3/10 4/8 = 4/10 5/8 = 5/10 6/8 = 6/10 7/8 = 7/10 10/8 = 8/10 11/8 = 9/10 … 12/8 = 10/10 13/8 = 11/10 … Conversión de Octal a Decimal

12/8 2 x 80= 2 x 1 = 2 1 x 81= 1 x 8 = 8 10 12/8 = 1 x 81 + 2 x 80 = 1 x 8 + 2 x 1 = 8 + 2 = 10

Conversión de Decimal a Octal

Realizamos divisiones sucesivas del valor (83/d) por la base del sistema en el que lo queremos expresar (en este caso: 8). Se puede representar en una columna o como sucesión de divisiones.

83 3 10 2 1

83 3

8 10 2

8 1

Tomando el último resultado y los restos en orden invertido obtenemos: 123/8 que es equivalente en octal de 83/ d

Sistema de numeración HEXADECIMAL (base = 16) Es un sistema posicional de 16 símbolos. La base está formada por los elementos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Universidad Nacional de Luján Organización de Computadoras Se utilizan 6 letras para completar los 16 símbolos.

9/16 = 9/10 A/16 = 10/10 B/16 = 11/10 C/16 = 12/10 D/16 = 13/10 E/16 = 14/10 F/16 = 15/10 10/16 = 16/10 11/16 = 17/10

0/16 = 0/10 1/16 = 1/10 2/16 = 2/10 3/16 = 3/10 4/16 = 4/10 5/16 = 5/10 6/16 = 6/10 7/16 = 7/10 8/16 = 8/10

12/16 = 18/10 13/16 = 19/10 …. 19/16 = 25/10 1A/16 = 26/10 …. 1F/16 = 31/10 20/16 = 32/10

Conversión de Hexadecimal a Decimal

3E2/16 2 x 160 = 2 x 1 = 2 E x 161 = 14 x 16 = 224 3 x 162 = 3 x 256 = 768 994

A=10 B=11 C=12

D=13 E=14 F=15

3E2/8 = 3 x 162 + Ex161 + 2 x 160 = 3 x 256 + 14 x 16 + 2 x 1 = 768 + 224 + 2 = 994 Conversión de Decimal a Hexadecimal

994 2 62 14(E) 3

99 4 2

16 62 14 (E)

8 3

Realizamos divisiones sucesivas del valor (994/d) por la base del sistema en el que lo queremos expresar (en este caso: 16). Se puede representar en una columna o como sucesión de divisiones. Tomando el último resultado y los restos en orden invertido obtenemos: 3E2/16 que es equivalente en octal de 994/ d

Podemos decir entonces, como regla general que para convertir un valor expresado en decimal a otra base realizamos divisiones sucesivas por la base del sistema al cual queremos pasar el valor. Para obtener el equivalente decimal de un valor expresado en un sistema de otra base, realizamos la suma de las multiplicaciones de cada dígito por la potencia de la base que le corresponde según su posición dentro de la cifra total.

Universidad Nacional de Luján Organización de Computadoras Conversión de Octal a Binario (base 8 a base 2) Para convertir un Octal a Binario tenemos que reemplazar cada digito del octal por el binario equivalente, pero siempre expresado en 3 dígitos. Si el binario tiene menos dígitos, lo completamos con ceros (0) a la izquierda hasta llegar a 3. Ejemplo: 1343/8 = 001011100011/2 1 3 4 3 001 011 100 011 Para pasar de Binario a Octal hacemos el proceso inverso. Tomamos el numero binario, y comenzando desde la derecha agrupamos de a tres (3). Luego reemplazamos cada grupo por su equivalente. 001011100011 001 011 100 011 1 3 4 3 Conversión de Hexadecimal a Binario (base 16 a base 2) Para convertir un hexadecimal a Binario tenemos que reemplazar cada digito del hexadecimal por el binario equivalente, pero siempre expresado en 4 dígitos. Si el binario tiene menos dígitos, lo completamos con ceros (0) a la izquierda hasta llegar a 4. Ejemplo: 2E3/16 = 001011100011/2 2 E(14) 3 0010 1110 0011 Para pasar de Binario a Hexadecimal hacemos el proceso inverso. Tomamos el numero binario, y comenzando desde la derecha agrupamos de a cuatro (4). Luego reemplazamos cada grupo por su equivalente. 001011100011 0010 1110 0011 2 E(14) 3 Conversión de Octal a Hexadecimal. No hay un método directo. Usamos el valor binario como puente. 1 3 4 3 001 011 100 011 001011100011 0010 1110 0011 2 E(14) 3

1343/8 001011100011/2 2E3/16

Universidad Nacional de Luján Organización de Computadoras Suma de valores expresados en distintas bases Para poder operar números expresados en diferentes bases debemos previamente realizar las conversiones a una base común a todos. Como el objetivo de nuestra materia es comprender el funcionamiento interno de una computadora, y dado que en los circuitos internos la información se representa con analogías de los valores 0 y 1 que corresponden a binarios, siempre vamos a realizar las sumas y restas en Binario. Realizar la siguiente suma y expresar el resultado en hexadecimal: 83/d + 331/4 + 11111101/b El primer paso consiste en expresar todos lo valores con la misma base. Para eso convertiremos los dos primeros valores a binario. 83 41 20 10 5 2 1

1 1 0 0 1 0

3 1

Realizamos divisiones sucesivas del valor (83/d) por la base del sistema en el que lo queremos expresar (2) Tomando el último resultado y los restos en orden invertido obtenemos: 1010011/2 que es equivalente en binarios de 83/d

3 1

1

1 1

0

1

Para convertir de base 4 a base 2 expresamos cada digito del valor (base 4) con un binario de 2 dígitos

Teniendo los 3 valores expresados en la misma base, podemos realizar la suma: 1 1

0

1

0

1

1

1

1

1

1 1 1 0

0 1 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 1 1

e

d

c

b

a

1

0

1 0

0 1 1 0

i

h

g

f

Acarreos 2 Acarreos 1 1º valor 2º valor 3º valor RESULTADO

Columna a: La suma de 1 + 1 + 1 da como resultado 3, que en binarios se escribe 11. El 1 de la derecha se coloca en la fila de Resultados y el de la izquierda en Acarreos 1 columna b Columna b: 1 + 1 + 0 + 0 (el primer 1 es el acarreo de la columna anterior) = 2 (10 en binarios) 0 en Resultado y 1 en Acarreos 1 columna c Columna c: 1 + 0 + 1 + 1 = 3 (en binarios 11). 1 a Resultados, 1 a Acarreos 1 columna d Columna d: 1 + 0 + 1 + 1 = 3 (en binarios 11). 1 a Resultados, 1 a Acarreos 1 columna e Columna e: 1 +1 + 1 + 1 = 4 (en binarios 100) 0 a Resultados, 0 a Acarreos1 columna f, 1 a Acarreos 1 columna g Columna f: 0 +0 + 1 + 1 = 2 (en binarios 10) 0 a Resultados, 1 a Acarreos 2 columna g Columna g: 1 +1 + 1 + 1 = 4 (en binarios 100) 0 a Resultados, 0 a Acarreos 1 columna h, 1 a Acarreos1 columna i Columna h: 0 a Resultados Columna i: 1 a Resultados

Universidad Nacional de Luján Organización de Computadoras Para finalizar el ejercicio agrupamos los dígitos del binario de a 4 comenzando desde la derecha, colocando (si fuera necesario) ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Expresamos cada uno de estos grupos con el dígito Hexadecimal que corresponde. 0

0

0 1

1

0

0

0 0

0

1

1

0

1

D

RESULTADO FINAL: 83/d + 331/4 + 11111101/b = 10D/h...