Teorema Isom Lunes 12De Octubre 2020 PDF

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1 Teorema de isomorfismo para grupos Si G

es un epimorfismo para grupos entonces existe un isomorfismo de retículas

//H /

[N uc(f ), G]

f∗

/ [hei, H]

Entre la retícula ({U ≤ G|N uc(f ) ≤ U }, ≤, ∩, ∨) y la retícula de los subgrupos de H . Demostración. Basta ver que hay un isomorfismo de órdenes entre ambos COPOS. [N uc(f ), G]

f∗

A✤

/ [hei, H]

f∗

/ f (A)

= {f (a)|a ∈ A} . Así, f ∗ (A) = f (A).

f ∗ es un morfismo de órdenes: A ≤ B =⇒ f (A) ⊆ f (B). Veamos que f∗ : [{e}, H]

/ [N uc(f ), G] / f −1 (C)

C✤

es un morfismo de órdenes y que (f∗ ) = (f ∗ )−1 .

Si C ≤ H, f −1 (C) ≤ G y además N uc(f ) ≤ f −1 (C), pues f (N uc(f )) = {eH } ≤ C. f∗ es un morfismo de órdenes: C ≤ D =⇒ f −1 (C) ≤ f −1 (D). f∗ es la función inversa de f ∗ : Si N uc(f ) ⊆ A ⊆ G : N uc(f ) ⊆ A ✤

f∗

/ f (A) ✤

f∗

/ f −1 (f (A)).

Claramente A ⊆ f −1 (f (A), ) pues f (A) ⊆ f (A). Si b ∈ f −1 (f (A)) entonces f (b) = f (a) para algún a ∈ A. ∴ f (b)(f (a))−1 = f (b)f (a−1 ) ∴ f (ba−1 ) = eH . ∴ ba−1 ∈ N uc(f ) ⊆ A. Así ba−1 (N uc(f )) = N uc(f ). ∴ ba−1 = n con n ∈ N uc(f ). ∴ b = na ∈ N uc(f )A ⊆ A. ∴ f −1 (f (A)) ⊆ A. ∴ f −1 f (A) = A. Recíprocamente, si B ≤ H . f ∗ (f∗ (B)) = f (f −1 )(B) = B pues f es epi. Teorema de la correspondencia para anillos Si R

/S

es un morfismo suprayectivo de anillos: f∗

/ [{0}, S] entre la retícula 1. Hay un isomorfismo de retículas completas [N uc(f ), R] de los ideales bilaterales que contienen N uc(f ) y las retículas de ideales de S .

2. Hay un isomorfismo de retículas completas entre [hN uc(f )i, R] y [hNuc(f )ianillo, S] la retícula de subanillos de R que contiene a N uc(f ) y la retícula de subanillos de S .

2 Demostración. Notemos que tanto los ideales como los subanillos de R son subgrupos de (R, +, 0). Básicamente, lo que necesitamos demostrar es que si R de anillos, entonces

f

/S

es un morfismo suprayectivo

1) .I. ≤ R =⇒ .f (I). ≤ S. .J. ≤ S =⇒ .f −1 (J). ≤ R. Y lo correspondiente para subanillos. 3) U ≤anillo R =⇒ f (U ) ≤anillo S. 3) T ≤anillo S =⇒ f −1 T ≤anillo R. Veamos 1): I. ≤ R =⇒ .f (I). ≤ S : 0 ∈ f (I) pues 0 = f (0) y 0R ∈ I . f (I) es cerrado bajo la suma (f (x) + f (y) = f (x + y)). Si c, d ∈ S y f (u) ∈ f (I), (u ∈ I), digamos (aquí usamos que f es suprayectiva). cf (u)d = f (a)f (u)f (b) = f (aub) ∈ f (I). Si c = f (a) y d = f (b). 2) Sea .J. ≤ S, queremos ver que .f −1 (J ). ≤ R: Que 0 ∈ f −1 (J) y que f −1 (J) es cerrado bajo la suma se siguen de que f −1 (J) es un subgrupo aditivo de (R, +, 0). Si a, b ∈ R y c ∈ f −1 (J), entonces f (abc) = f (a)f (b)f (c) ∈ J. ∴ abc ∈ f −1 (J). 3) Si U ≤anillo R, ya hemos visto que f (U ) ≤anillo S : (Tiene a 1, es cerrado bajo la resta y es cerrado bajo el producto). 4) Si T ≤anillo S, f −1 (T ) tiene a 1R : f (1R ) = 1S ∈ T . a, b ∈ f −1 (T ) =⇒ f (ab) = f (a)f (b) ∈ T =⇒ ab ∈ f −1 (T ). Del Teorema de la Correspondencia para grupos: f∗

[N uc(f ), R] / / / O

?

.[N uc(f ), R]. o

f ∗⇂

/ / [{0}, /  _ S] /

es una correspondencia biyectiva de grupos con inversa f∗ = f −1 ( ).

[{0}, S ]

f∗⇂

Claramente f ∗⇂ tiene como inverso a f∗⇂ . Como son isomorfismos de órdenes, son isomorfismos de retículas completas. Lo mismo ocurre con los subanillos....