Teoria 1-Poliedros y cuerpos de revolucion PDF

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Didáctica de la matemática Universidad de Alicante

TEORÍA1-POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN Poliedro es un cuerpo sólido limitado por planos. Un poliedro es un cuerpo geométrico cuya superficie se compone de una cantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo. Ángulo diedro (o simplemente diedro), son cada una de las regiones en que queda dividido el espacio cuando dos planos se cortan

Si son tres planos se llama triedro

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO Caras. Las caras de un poliedro son superficies planas que se cortan mutuamente determinando polígonos que lo limitan. Aristas. Las aristas son las intersecciones de dos caras de un poliedro. El número de aristas es variable de acuerdo al poliedro del que se trate. Vértices. La intersección de tres o más aristas de un poliedro forma un vértice. El número de vértices varía según cada tipo de poliedro. Diagonal. Una diagonal de un poliedro es un segmento que une dos vértices que no están contenidos en la misma cara. Órden del vértice. Es el número de aristas que concurren en un mismo vértice en un poliedro.

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CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS Poliedros convexos y cóncavos Un poliedro se dice convexo si el plano que contiene a cada cara deja todo el poliedro en el mismo semiespacio

De otro modo el poliedro es cóncavo.

Poliedro regular. Es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en cada vértice concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco poliedros regulares (conocidos también como sólidos platónicos) Cubo o hexaedro regular, formado por seis cuadrados. Tetraedro formado por cuadro triángulos equiláteros. Octaedro formado por ocho triángulos equiláteros. Dodecaedro formado por doce pentágonos regulares. Icosaedro formado po r veinte triángulos equiláteros. Se pueden ver y manipular los poliedros regulares y contar sus elementos con ayuda del siguiente applet:

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_131_g_2_t_3.html?open=instructions&from=to pic_t_3.html

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Ejemplos de poliedros irregulares:

Fómula de Euler. En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos:

C+V=A+2 Se puede verificar esta propiedad en los poliedros regulares observando los cuerpos físicamente o con el applet antes indicado: Poliedro Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Nº caras

Nº aristas

Nº vértices

4 6 8 12 20

6 12 12 30 30

4 8 6 20 12

Fórmula de Euler 4+4=6+2 6 + 8 = 12 + 2 8 + 6 = 12 + 2 12 + 20 = 30 + 2 20 + 12 = 30 + 2

En la tabla anterior se pueden observar que se pueden formar dos parejas de poliedros regulares que cumplen además las siguientes propiedades: • Tienen el mismo número de aristas. • El número de caras de uno de ellos coincide con el número de vértices del otro y viceversa. Esta propiedad se llama dualidad: • El hexaedro y el octaedro son poliedros duales. • El dodecaedro y el icosaedro son poliedros duales. Esto significa que si unimos los centros de las caras de uno de ellos obtenemos el dual, como se puede ver en la figura de abajo. Podemos decir también que el tetraedro es dual de sí mismo.

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Poliedros duales

El siguiente applet visualiza cómo se transforma un poliedro en el poliedro dual: http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometr ia/cuerpos/dualidad/actividad.html Prisma. Poliedro limitado por dos caras planas, paralelas e iguales que se llaman bases y por tantos paralelogramos como lados tenga la base. Los prismas pueden ser oblicuos o rectos. Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo en caso contrario. La forma geométrica de las bases define el nombre del prisma: Así, si la base del prisma es un triángulo, el prisma se llamará triangular; si es un cuadrado, se llamará cuadrangular, etc.

El siguiente poliedro es un prisma triangular, que está en una posición no habitual:

Prisma regular. Es un prisma recto que tiene por bases polígonos regulares.

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Las caras laterales de un prisma cualquiera siempre son paralelogramos; no ocurre lo mismo con las bases que pueden ser o no paralelogramos. En el caso de que también las bases sean paralelogramos se presenta un caso particular de prismas llamado paralelepípedo. Son paralelepípedos el cubo (sus bases son cuadrados), el ortoedro (sus bases son rectángulos) y el romboedro (sus bases son romboides).

Pirámide. Poliedro que tiene por base un polígono cualquiera siendo sus caras triángulos que se juntan en un solo punto llamado cúspide. El polígono de la base da el nombre a la pirámide. Así la pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. Por otro lado, hay pirámides rectas y oblicuas, según que el centro del polígono de la base coincida o no con el pie de la altura de la pirámide.

Pirámide regular. Pirámide recta cuya base es un polígono regular, y sus caras laterales serán, por tanto, triángulos isósceles iguales. Tronco de pirámide. Si cortamos una pirámide por un plano, obtenemos un tronco de pirámide, que será recto u oblicuo, según que el plano sea o no paralelo a la base. Las caras laterales de un tronco de pirámide son trapecios y cuando éste es regular, entonces los trapecios son trapecios isósceles iguales. Por otra parte, las bases son polígonos semejantes.

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CUERPOS DE REVOLUCIÓN Y CUERPOS REDONDOS Cuando giramos una figura plana (como una curva o un polígono, por ejemplo) alrededor de una recta (llamada eje de revolución) obtenemos un "cuerpo de revolución". La superficie exterior se llama "superficie de revolución". Ejemplos de estas superficies son muchos objetos de la vida cotidiana como vasos, copas, vasijas, balones, lámparas de mesa, bombillas, bolígrafos, tapones, peonzas, depósitos, bóvedas, carretes, bombonas, floreros, cúpulas, boyas, botellas, cubos, pilas, frascos, botes, cuencos, discos, campanas, etc. La siguiente aplicación (applet) permite crear cuerpos de revolución de forma similar al modo en que el alfarero emplea el torno para realizar obras de cerámica. http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometr ia/cuerpos/torno/actividad.html Los cuerpos de revolución tienen, a diferencia de los poliedros, al menos una cara curva y se llaman cuerpos redondos El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos redondos.

El cilindro se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, el cono al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto y la esfera al girar una circunferencia alrededor de su diámetro.

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