Teoria de límits de funcions i continuïtat PDF

Preview

Summary

No se que poner...

Description

TEMA 5 : Límits de funcions. Continuïtat 5.1. LÍMIT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT 5.1.1. Conceptes bàsics a) x → c significa que x pren valors cada vegada més pròxims a c. Es llegeix “x tendeix a c” x → 1 : 2; 1.9; 1.8; .....1, 00001; 0.9; 0.99; 0.999............ x → c - significa que x pren valors cada vegada més pròxims a c, però tots menors que c . Es llegeix “x tendeix a c per l’esquerra” x → 1- : 0; 0.1; 0.5; 0.9; 0.99; 0.999............ x → c + significa que x pren valors cada vegada més pròxims a c, però tots majors que c . Es llegeix “x tendeix a c per la dreta” x → 1+ : 2; 1.9; 1.8; .....1, 00001; ............ b) Significat de

-

lim f ( x) : és el comportament de la funció f(x) quan x → c i es x

c

llegeix límit de f(x) quan x tendeix a c per l’esquerra. EXEMPLE

lim x 1

1 x 1

2

=+∞

0.999 ...... 0 0.9 0.99 1 100 10000 1000000 .......

x f(x) =

1 x 1

2

Quan x tendeix a 1- la funció tendeix a + ∞

Significat de

+

lim f ( x) : és el comportament de la funció f(x) quan x → c x

c

llegeix límit de f(x) quan x tendeix a c per la dreta.

i es

EXEMPLE 1

lim

x 1

x 1

=+∞

2

x

1.1 100

1

f(x) =

x 1

1.01 1.001 1.0001 ...... 10000 1000000 100000000 .......

2

Quan x tendeix a 1+ la funció tendeix a +∞ Els límits

lim f (x ) i lim f ( x) , s’anomenen límits laterals de la funció f(x) x

c

x

Significat de

c

lim f ( x) x

és el comportament de la funció quan x s’aproxima a c

c

sense importar si és per la dreta o per l’esquerra. Es llegeix límit de f(x) quan x tendeix a c.

lim f (x ) = lim f (x ) = l

Si

x

Si

c

x

lim f ( x) x

lim f (x )

c

x

⇒

lim f (x ) = l x

c

⇒

c

c

lim f ( x) x

c

5.2. CÀLCUL DE LÍMITS 5.2.1. Límit de funcions si x → a a) Funcions polinòmiques Com que les funcions polinòmiques són sempre contínues lim f ( x) x

calcular el límit, trobem el valor de la funció en el punt. EXEMPLES 1.

lim x x

2

3

x2

4x = 2 3 -22 – 4·2 =8 – 4 – 8 = - 4

a

f (a) , per

b) Funcions racionals: P (x )

lim Q (x ) , pot passar: x

a

P( x) P( a) Q( a) x a Q( x) a2) Q(a) = 0 , llavors poden presentar-se dos casos: P( x) a21) P(a) 0 ⇒ lim = x a Q( x) P (x ) 0 a22) P(a) = 0 ⇒ lim Indeterminació 0 x a Q (x ) 0 ⇒ lim

a1) Q(a)

Això vol dir que els dos polinomis són divisibles per (x – a) cal factoritzar (per Ruffinni) i simplificar, i tornar a calcular el límit. EXEMPLES

1.

4x 2 2 1

4 3 2 32 1

lim x x

3

14 10

7 5

x

lim x

2

x 1

x 2 2. lim 2 1 x 1 x

x 2

x 1

3.

lim x 1

2x 1 x 1 2

1 1 1

3

1

0

2 1

3 0

3 0

lim x x2

2

0 Indeterminació, cal factoritzar els polinomis 0

-2

1

1

-1

-1

|0

x2 – 2x + 1 = (x – 1)· (x – 1) x2 – 1 = (x – 1)·(x + 1)

x2

x 1 x 1 2x 1 lim 1)(x 1) x 1 x 1 x 1 (x x 1 0 0 lim 1) 2 x 1 (x

lim

2

c) Funcions irracionals Atesa que una funció en que apareix un radical, podem tenir una indeterminacions del 0 tipus ,que resoldrem multiplicant i dividint per l’expressió conjugada 0

EXEMPLE

lim x

3

x 6 3 x 3

lim (x x

3

0 0

x 6 3 x ( x 3) x 6 3 1 lim x 6 3 x 3

lim x

(x 3) 3) x 6 3

6 3 3 1 6

lim ( x x

3

x 6 9 3) x 6 3

5.2.2. Límit de funcions si x → ±∞ a) Funcions polinòmiques Calcular aquest límit és equivalent a calcular el límit del terme de major grau, ja que comparativament en el infinit la resta de termes són molt més petits i els podem depreciar. EXEMPLES

lim lim

1.

x3

3 x2

3

2

x 3

x

2.

lim lim

x3

x

x

3x

x 3

x

x3

x

b) Funcions racionals: f ( x) P( x)

lim Q (x )

P( x) Q (x )

Indeterminació, que es resol aplicant el següent criteri:

x

si n > m ( n

P( x)

an x ... a1 x a0 m ...b 1x b 0 m x

lim Q (x ) lim b x

x

an bm 0

si n = m si n < m

depèn dels coeficients)

EXEMPLES 1.

lim

x3

x

2.

lim x

2x 1 x 1

, ja que grau P(x) = 3 > 2 = grau Q(x), i

2x 1 x 1

, ja que grau P(x) = 3 > 2 = grau Q(x), i

2

x3

2

3.

3 x3 2 x 1 lim 5x 3 1 x

3 , ja que grau P(x) = 3 = grau Q(x) 5

4.

x3 2 x 1 lim 5x 5 1 x

0 ja que grau P(x) = 3 < 5 = grau Q(x)

NOTA Si la funció ve expressada com una suma (diferència) de fraccions algebraiques , podem tenir una indeterminació de la forma∞ - ∞ que resoldrem operant i aplicant el criteri anterior. EXEMPLE 1.

 2x 5  lim x  2

x2 1   x 

Indeterminació

 2x 2  2 x 5 x 2 1    lim  2 x  lim x x   ja que grau P(x) = 1 = grau Q(x)

5x 2x 2 2x

2  

 5x 2   2x 

lim  x

5 , 2

c) Funcions irracionals En aquest cas podem trobar una indeterminació del tipus que en el cas anterior

, que resoldrem igual

EXEMPLE

1 . lim x 1

lim

x

x

lim x

1 x 1

x

x

0

ja que grau P(x) = 0 <

1 = grau Q(x) 2

x 1

x 1 x 1 x x

x

lim x

x 1 x x 1 x

5.2.3. Límit de funcions del tipus f (x )

Tan si x → a, com si x →

g (x )

es poden presentar diferents casos:

La base tendeix a qualsevol nombre no nul i l’exponent a un altre nombre

lim

f (x )

g ( x)

lim

f (x )

g (x)

x

f (a )

g (a )

a

x

lim

g (x ) f (x ) lim x

x

EXEMPLE a) lim x 1

2x 3

(1 1)2·1

3

2

1

x 1

 6x2 b) lim  2 x  2x

5  

3x 5 x

1 2

3

 6 1   2

33

27

La base tendeix a un nombre major que 1 i l’exponent a +∞. En aquest cas el límit es també +∞ EXEMPLE

 6x 2 5    lim 2 x  2x 

3x2 5 x

6    2 

3

La base tendeix a un nombre entre -1 i 1 i l’exponent a +∞. En aquest cas el límit es també 0 EXEMPLE 

lim  x

x 5  2x2  2

3 x2 5 x

 1    2

0

La base tendeix a un nombre menor que -1 i l’exponent a +∞ . En aquest cas el límit no existeix, ja que el signe del resultat alternarà en funció de que el exponent sigui parell o senar

EXEMPLE  6x 5    lim  2x 2  x  

3x

2

2

5

 6    2 

x

( 3)

La base tendeix 1 i l’exponent a +∞. En aquest cas tindrem una indeterminació 1∞ que resoldrem mitjançant la següent fórmula:

lim x x

f (x)

g (x )

1

lim x e

x

f ( x ) 1 g (x )

a

a

EXEMPLE  2x 2 5    lim  2x 2  x  

 2x 2 5    lim 2 x  2x 

3x2 5 x

2    2 

3 x2 5 x

1 Indeterminació

 2x 2 5

 lim  x 

e

2x 2

 3x2 5 1  x

e

 2x 2 5 2x 2  3x 2 5   x 2 x2 

 lim  x 

e

x

 5 x2 25   lim  2x 3  

e0

1

5.3. Relació de la continuïtat i el límit d’una funció en un punt. Una funció f(x) és continua en un punt x = c sí

lim f (x ) x

f (c )

c

Es a dir: f és continua en x = c si es compleixen les tres condicions següents:

lim f ( x)

a)

x

b) c)

c

f(c) lim f (x ) x

f (c )

c

Una funció és continua si ho és en tots els punts del seu domini. En cas contrari la funció és discontinua.

Tipus de discontinuïtat: a) Evitable:

lim f ( x)

si

x

c

però lim f (x ) x

f (c )

c

f(c)

b) Salt: si

lim f ( x) x

lim f ( x)

c

x

c

c) Asimptòtica : Alguns o els dos límits laterals tendeix a

EXEMPLE: 1. Estudieu la continuïtat de la funció següent en x = 3

x+2

si x ≤ 3

f(x) = x

si x > 3

y

x+2-y=0; x3 Serie 1

8

Serie 2

6

4

2

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

-2

-4

-6

-8

2

3

4

5

6

7

8

9

∞

lim f (x )

f (3)

x 3

lim f (x ) lim(x 3

x

x

2)

5

3

lim f ( x)

lim f ( x)

5

x 3

lim f (x )

lim (x )

3

x

x

3 ⇒

3

x

lim f (x) x

3

3

3

En x = 3 discontinuïtat de salt f(3) = 5

1 en x = 0 x2

2. Estudieu la continuïtat de la funció f ( x) y

f(x)=1/(x^2)

8

6

4

2

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4

-6

-8

lim f (x )

f (0) ?

x 0

lim f ( x) x

0

f (0)

⇒ lim f (x ) x

0

Discontinuïtat asimptòtica en x = 0

3. Estudieu la continuïtat de la funció següent en x = 2

y

f(x)=x^2 Serie 1 Serie 2

8

6

4

2

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4

-6

-8

lim f ( x)

f (2)

lim f ( x) lim f ( x)

4

x 2

x

2

x

2

4

lim f (x ) x

2

4

lim f ( x)

f (4)

x 2

En x = 2 discontinuïtat evitable f(2) = 6...