teoria electromagnetica, definicion y ejercicios aplicados PDF

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descripcion y definicion de las teorias electromagneicas y ecuaciones de maxwell con aplicaciones en la ciencia moderna, con ejemplos ilustrativos resueltos y la comprobacion de las relaciones aplicadas...

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UNAH-VS

Electricidad y Magnétismo II Lic.Walter Fuentes

Realizado por:

Alejandro Calix // 20162000095 1

Tercer Período 2020

Índice 1. Introducción

4

2. Fundamentos Teoricos 2.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Las leyes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Deducción general campo eléctrico . . . . . . . . . 2.1.3. Deducción general campo magnético . . . . . . . 2.1.4. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Ley Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Ley de Ampere-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Electrostática en presencia de materia . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Densidad de carga ligada . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Campo eléctrico dentro de un dieléctrico . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. El campo D 2.2.5. Clasificación de dieléctricos . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Dieléctricos isotrópico homogéneos lineales (i.h.l) 2.2.7. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Densidades de corriente de magnetización . . . . . 2.4. Aplicaciones del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Resonancia Magnética . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Tren de levitación magnética . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Tarjetas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Generadores eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5 6 8 9 12 14 17 17 18 21 25 26 28 29 30 31 33 33 34 35 37 37

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3. Planteamiento del Problema 39 3.1. Esfera uniformemente magnetizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. Porblema 20-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4. Apéndice A

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5. Conclusiones

49

6. Bibliograía

50

2

Índice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

Comparación entre campos eléctricos y magnéticos . . . . . . . . . . . . . . Esfera pequeña que rodea al punto de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Michael Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Experimentos de inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variación de flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variación del area de una esprira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flujo magnético a través de 3 superficies que estan en diferentes direcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flujo magnético creciente y decreciente a través de una espira . . . . . . . ~ inducido a partir de un campo mangnético B~ variable Campo Eléctrico E en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacitor de placas paralelas en el proceso de carga . . . . . . . . . . . . . . polarización sobre una molécula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Molécula de agua en momento dipolar permanente. . . . . . . . . . . . . . Cálculo de pontencial de un objeto polarizado . . . . . . . . . . . . . . . . . Cargas ligadas superficiales en un dielectrico con polarización uniforme . Cargas ligadas superficiales en un dielectrico con polarización no uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frontera de dos regiones de polarizaciones distintas . . . . . . . . . . . . . . Campo eléctrico microscópico en un dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . Capacitores para el experimento con dieléctricos de Faraday. . . . . . . . . Cargas y campos de un capacitor de placas paralelas. . . . . . . . . . . . . . Capacitor con láminas dieléctricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lampara de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformador de alta tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Precesión incoherented de un átomo de hidrógeno . . . . . . . . . . . . . . . Resonador magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . imagen de cerebro captado por resonador magnético . . . . . . . . . . . . . imagen de abdomen captado por resonador magnético . . . . . . . . . . . . Tren de levitación magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evolución de los trenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tarjetas magnéticas bancaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generadores eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfera uniformemente magnetizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrientes superficiales equivalentes de una esfera uniformemente magnetizada y aescripción de sus paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calculo de campo en un punto sobre el eje z . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inducción magnética sobre el eje, producida por una esfera uniformemente magnetizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calculo de campo en un punto sobre el eje -z . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de ambos casos de integración para (3 − 46) . . . . . . . . . . .

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6 7 9 9 10 10 11 12 14 15 17 18 20 20 20 21 23 23 24 26 33 33 34 34 35 35 36 36 37 38 39 40 40 44 44 46

1. Introducción

No es fácil comenzar a hablar de los fenómenos electromagnéticos, las personas habitualmente tienen conceptos muy básicos sobre la electricidad y el magnetismos, cosas como interacción de cargas, campos, sistemas microscópicos macroscópicos y la complejidad que puede llegar su esquema matemático tienden a alejar a muchas personas sobre este muy importante tema y es que a lo largo de la historia nombres como Gauss, Ampere, Faraday, Maxwell entre muchos otros han contribuido de manera significativa a la deducción de estos fenómenos, a base de experimentos y de mucha curiosidad e imaginación han construido una forma de interpretar el electromagnetismo de una manera tanto física como matérica y no es para menos estos estudios marcaron un antes y un después en la historia de la física y de la humanidad en general. La comprensión y dominio de dichos fenómenos nos ha llevado como especie a un crecimiento bastante acelerado a partir del siglo XIX donde estos dieron sus primeros pasos y es de lo que se trata de documento, hacer un compilado, de temas, historia, ecuaciones, ejemplos, ejercicios, deducciones y de aplicaciones relacionadas a esta tan importante rama de la física. Se seguirá una estructura básica, comenzando con el estudio de la electrostática, pasando por el magnetismo y continuando con la unión de estos dos fenómenos en y llegando al análisis electromagnético.

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2. Fundamentos Teoricos 2.1. Ecuaciones de Maxwell En 1864 el científico escocés James Clerk Maxwell publica un artículo en el cual explicaba la relación entre la eléctricidad y el magnétismo, dos fenómenos que para los físicos eran independientes unos de otros, no fue hasta la llegada del artículo A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field que se simentaron las base del fenómeno que hoy conocemos como Electromagnetismo esto gracias a los aportes y resultados de otros cíentificos tales como Coulomb, Gauss, Ampere y Faraday y es que Maxwell en su artículo pudo describir una teoría que explica tanto fenómenos eléctricos y magnéticos, dos fuerzas fundamentales que están conectadas entre si, todo esto resumido en cuatro ecuaciones, originamlemnte eran veinte más adelante se redujeron a ocho, luego Heaviside se encargo simplicarlas a cuatro y posteriormente a dos, pero esas no las abordaremos aquí, nos centraremos en las cuatro que se estudían con más regularidad, estás ecuaciones nos muestran como es y como cambia el campo y empezaremos el estudio con las primeras dos y esas son:

2.1.1.

Las leyes de Gauss

Esta parte que relaciona la divergencia del campo eléctrico, gracias a los resultados de los experimentos de Faraday con esferas concentricas, se establecio lo siguiente el flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie esférica imaginaria situada entre dos esferas conductoras es igual a a la carga encerrada en esa superficie imaginaria este enunciado da paso a la descripción formal de la ley de Gauss, la cual establece lo siguiente:

El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total que pasa por esa superficie.

Cabe recalcar que Gauss no fue quien establecio este enunciado, el proporciono la descripción matématica del mismo, el cual es uno de los mayores aportes a las teorías electromagneticas, la forma diferencial de la ley de Gauss se ve de esta manera:

~= ∇·E

ρch ǫ0

(2 − 1)

En terminos simple esta ecuación nos dice que la fuente de las líneas de campo eléctrico son las cargas, también establece que el campo eléctrico se reduce en función del cuadrado de la distancia, esto ultimo se ve con mayor claridad con la forma integral de la ley de Gauss. Esta ecuación (2 − 1) es la primera ecuación de Maxwell. Con la segunda ley de Gauss esta vez horientada al magnétismo notaremos algo curioso y es que en ella se marca una de las diferencias mas grandes que tienen la electricidad y el magnetismo, esto queda mas claro cuando se ve su forma diferncial.

~ =0 ∇· B 5

(2 − 2)

Si la ley de Gauss horientada a la eléctricidad nos decía que las fuentes de campo eléctrico, son las cargas o partículas cargadas, aplica también a distribuciones de carga, esta versión aplicada al magnétismo nos dice basicamente lo contrario, que no existe una fuente para el campo magnético, es decir no hay cargas magnéticas, esto se debe a que a diferencia del campo eléctrico donde las líneas de campo son radiales hacía afuera (para el caso de una carga puntual positiva) las líneas de campo magnetico se cierran sobre si mismo, pero porque ocurre este fenómeno, esto es debído a lo que se mencionó antes que no existen cargas magnéticas, las fuentes de de campo magnético van en pareja, con un polo positivo y uno negativo, usando la convención clasica, un imán es un gran ejemplo de esto, si tratamos de partir un imán en dos obtendremos dos imánes esto es debído a que los monopolos no existen, nunca veremos un polo positivo o uno negativo generando líneas de campo magnético. En la siguiente imagén podemos ver esto con mayor detalle.

Figura 1: Comparación entre campos eléctricos y magnéticos En la imagén anterior podemos ver una comparación entre ambos campos y vemos la diferncia con respecto a las líneas de campo para el caso eléctrico y magnético. Entonces la ecuación (2 − 2) es la segunda ecuación de Maxwell.Que es la ley de Gauss horientada al magnétismo. Cabe señalar que ambos casos de ley de Gauss son para casos eléctrostaticos y magnétostticos, es decir las cargas no se mueven.

2.1.2.

Deducción general campo eléctrico

Aunque ya se tengan expresiones para el campos eléctrico y magnético, estas nacen a partir de la experimentación como se explico con anterioridad que fueron gracias a los trabajos de Faraday, pero es necesario para formalizar estas leyes tener una deducción matemática que ayuden a cimentar aun mas su validez en el campo de estudio. Comenzaremos con la parte eléctrica, es decir trabajaremos primero con la ecuación (2 − 1) y para esto partiremos de la definición para el campo eléctrico propuesta en la ley de Coulomb.

~ = E

1 4πǫ0

Z

V′

ˆ ′ ρ(r′ )′ Rdτ 2 R

(2 − 3)

Y aplicamos una divergencia a ambos lados, pero recordemos que el operador nabla se toma con respecto a las coordenadas x, y y z, del punto de campo, debido a que ahí queremos calcular el campo, al ser la integral sobre un volumen (V’) los limites son constantes o funciones de las variables del punto fuente, (es por eso que nuestro diferencial es primado), se hacen estas aclaraciones porque las coordenadas referentes al punto fuente son independientes del operador nabla entonces el operador puede entrar a la integral, pero los vectores de posición relativa dependen tanto de los términos primados como los no primados o punto de campo, entonces la expresión queda.

~ = 1 ∇·E 4πǫ0

ˆ R ρ(r′ )∇· R2 V′

Z

6

!

dτ ′

(2−4)

Figura 2: Esfera pequeña que rodea al punto de campo De acuerdo con (A − 1) podemos observar que el integrando es igual a cero siempre y cuando R 6= 0, de manera que cualquier contribución de (2 − 4) debe provenir de la región R = |r − r′ | = 0, esto quiere decir que el efecto de (2 − 4) será únicamente de las zonas próximas a la de nuestro punto de campo. Pero se tiene la complicación que para evaluar (2 − 4) el integrando es infinito en un punto. Para esto utilizaremos un proceso de limite, integrando sobre un volumen pequeño pero infinito, ∆τ , alrededor del punto P y luego aplicamos el límite cuando ∆τ ′ → 0, pro facilidad asumiremos ese pequeño volumen como el de una esfera de radio R centrada en P. Ahora haremos que R tienda a cero R → 0, esto debido a que Rˆ apunta en dirección del punto de campo, el centro de la esfera y |r − r′ | ≃ 0 dentro de a esfera, las densidades de carga ρ(r) y ρ(r′ ) son casi constantes y salen de la integral, cada vez se obtiene un resultado mas exacto a medida que R tienda a cero y llegamos a:

~ = ρ(r) ∇·E 4πǫ0

Z

∇·

∆τ ′

ˆ R R2

!

dτ ′

(2 − 5)

Haciendo uso de (A−4) para expresar las derivadas del integrando en función de las coordenadas primas, la expresión toma esta forma:

~ = ρ(r) ∇· E 4πǫ0

ˆ −R ∇· 2 R ∆τ ′

Z

′

!

dτ ′

(2 − 6)

Pasamos ahora a usar el teorema de la divergencia expresada en (A − 3), llegamos a la siguiente expresión:

~ = ρ(r) ∇·E 4πǫ0

ˆ (− R) · da′ 2 R

Z

∆S ′

(2 − 7)

Tenemos a nuestra disposición las expresiones (A − 6) Y (A − 7) que son relaciones que nacen a partir del calculo de flujo de E a través de una superficie cerrada de tamaño y forma arbitraria, donde se considera una Qen la cual es una carga neta contenida dentro de un volumen limitado por una superficie arbitraria S y perteneciente al caso donde qi esta dentro de S . Antes de continuar cabe explicar que es dΩ este es un elemento de ángulo solido subtendido en qi en la cual se considera un esfera , S0 de radio R0 con qi en su centro. Donde este mismo ángulo solido dΩ intersecara la superficie da0 y mediante los análisis correspondientes se toma para este caso esférico a la relación de (A−7). Entonces nuestra expresión (2 − 7) se puede reescribir como:

~ = ∇·E

ρ(r) 4πǫ0

Z

∆S ′

7

dΩ

(2 − 8)

ρ(r) (4π) 4πǫ0

~ = ∇· E

(2 − 9)

~ = ρ(r) ∇·E ǫ0

(2−10)

Notemos que (2 − 10) es exactamente igual a (2 − 1) teniendo ya una formalidad matemática para la ley de Gauss orientada al caso eléctrico, cabe ahora verificar que ocurre con el caso magnético. Otra cosa a mencionar es que ocurre con el negativo de (2 − 7), este se cancela porque como se observa en la figura el ángulo que se encuentra ˆ y da′ es de 180◦ , tal como se aprecia en la figura 2 y el según (A − 6) se toma el coseno del ángulo entre entre R ellos dos, que es negativo uno. Veamos ahora la ley de Gauss para el magnetismo.

2.1.3.

Deducción general campo magnético

El caso magnético resulta más sencillo, que el eléctrico para el cálculo de la divergencia de B~ partiendo siempre de la definición del mismo en función de una corriente filamental.

~ = µ0 B 4π

I

C′

I ′ ds′ × Rˆ R2

(2−11)

Al igual que para la parte eléctrica pasamos a aplicar la divergencia en ambos lados de (2-11).

" I " # # I ˆ I ′ ds′ × R µ0 ds′ × Rˆ µ0 I ′ ~ ∇· ∇·B = ∇· = R2 R2 4π C ′ 4π C ′

(2−12)

Ahora podemos observar que aquí los límites de integración también dependen únicamente de r’, mientras que ∇ opera solamente sobre las componentes de r, para ese caso usaremos la identidad (A−9) y reescribimos el integrando de (2 − 12) como:

"

∇· ds′ ×

ˆ R R2

!#

=

! " Rˆ ′ ′ ·(∇×ds )−ds · ∇ × R2

Rˆ R2

!#

(2−13)

Como podemos observar ds′ es función solamente de las componentes de r’, por lo que se pueden considerar como constantes al momentos de ser evaluados por el operador ∇, así ∇ × ds′ = 0 también utilzaremos (A− 10) y (A− 8) ˆ 2 ) = ∇ × ∇(1ˆ/R) = 0 por lo tando, (2 − 13) es igual a cero y (12 − 12) queda expresado se puede ver que ∇ × ( R/R como: ∇ · B~ = 0 Que es exactamente igual a (2−2) manteniendo siempre el significado físico de (2−2) describiendo la inexistencia de monopolos magnéticos, notemos que estas definiciones aplican también para distribuciones de corrientes, siguiendo una estructura muy similar a la que aquí se planteo y ya Con esto ya logramos definir la ley de Gauss tanto para la electricidad y el magnetismo, ahora queda ver que ocurre con el resto de las ecuaciones de Maxwell, tanto su significado físico como su descripción matemática. 8

2.1.4.

Ley de Faraday

Ya se han definido las dos primeras ecuaciones Maxwell, pero estas trataban a los fenómenos eléctricos y magnéticos como dos entidades separadas, independientes una de otra, hasta en sus propias definiciones de (2 − 1) y (2 − 2), expresando una lo opuesta a la otra, pero como ya se mencionó al principio estos conceptos de la electricidad y el magnetismo van de la mano y pueden relacionarse mutuamente, como ya lo sospechaba Faraday en el año de 1830 junto con Joseph Henry, realizaron varios de los experimentos mas importantes dentro de la historia de la física, los cuales consistían en inducir una fuerza electromotriz o fem mediante efectos magnéticos, estos consistían en hacer mover un imán dentro de una bobina, la cual solamente tenía conectado un galvanómetro y al meter y sacar dicho imán el galvanómetro registraba una corriente, per ¿Cómo era posible medir una corriente eléctrica, si no se tenia ninguna fuente que alimentara dicho circuito? Lo que estaba descubriendo Faraday en esos experimentos es un fenómeno al cual denominamos como inducción electromagnética. Faraday no se limito a simplemente meter y sacar un imán dentro de una bobina, hi- Figura 3: Michael Faraday zo variantes de ese mismo experimento, como por ejemplo sustituir el imán con una segunda bobina conectada a una batería. Cuando la segunda bobina está fija, no hay corriente en la primera bobina. Sin embargo, cuando movemos la segunda bobina acercánd...