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TEORIA DE SINTONIA INFORMACION GENERAL ...

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SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES INDUSTRIALES TEORÍA DE LA PRÁCTICA 1. Introducción En esta práctica se analizará el elemento más importante del lazo de control el controlador, el cual constituye el cerebro del sistema de control. Es él quien, en base a la medición de lo que sucede en el proceso, decidirá las acciones a tomar y actuará para que la variable de control alcance el valor de referencia esperado. Existen diversos tipos de controladores industriales entre los que se pueden distinguir dos grandes clases: los controladores ON/OFF o de dos posiciones que se caracterizan porque la acción de control (manipulación) solo posee dos valores extremos (0 o 100 %), y los controladores continuos, donde dicha acción puede tomar valores intermedios (0 %, 34.5 %, 48 %, etc.). Los controladores ON/OFF son muy sencillos y económicos pero presentan el inconveniente de que mantienen la respuesta del proceso (variable a controlar) oscilando dentro de un rango y el actuador moviéndose entre sus valores máximo y mínimo. En muchos procesos dichas oscilaciones son aceptables, caso en el cual los controladores ON/OFF serán la mejor opción (técnica y económica). Sin embargo, cuando se desea que la variable a controlar permanezca en un valor constante, este tipo de controladores resultará inadecuado y será necesario instalar un controlador continuo, que sea capaz de mover la manipulación al valor necesario para que la respuesta del proceso se mantenga en el valor de la referencia. De entre controladores continuos, el PID o sus versiones simplificadas P,PI y PD representan casi la totalidad de los controladores utilizados a nivel industrial. 2. Acciones de los Controladores PID En el controlador PID pueden distinguirse tres acciones de control básicas: proporcional (gain) , integral (reset) y derivativa (rate), las cuales interactúan entre sí para producir una señal de salida. Los nombres en inglés se presentan porque así es como aparecerán en las interfases de los controladores. A continuación se describirá el significado y la dinámica de cada una de ellas. 2.1. Acción Proporcional. Genera una salida del controlador proporcional al tamaño del error (diferencia entre la variable de proceso y la referencia o set-point). Si el error cambia la acción proporcional cambiará la salida del controlador a un nuevo valor para reducir el error, cuando el error deja de cambiar, la acción proporcional también lo hace independientemente de que la variable de proceso halla alcanzado o no la referencia deseada, por lo cual se presentará un error constante o error de estado estable (offset). Debido a esto, no es recomendable usar únicamente esta acción, se debe acompañar por la acción integral que se explicará más adelante. Es

importante hacer notar, que existen aplicaciones industriales donde el controlador proporcional tiene un buen desempeño, a pesar del error de estado estable presente. Matemáticamente, la acción proporcional se mide como la ganancia proporcional, es decir, el cambio porcentual en la salida del controlador dividido por el cambio porcentual en el error. Mientras más grande sea la ganancia proporcional, más grande será el cambio en la salida del controlador para un error dado, lo anterior se estable por la siguiente relación: ∆u = K c e u = u ss + K c e donde: u = manipulación o señal de salida del controlador e = error Kc = ganancia proporcional uss = manipulación de estado estable En la figura 1 se muestra un ejemplo de la forma en que respondería el controlador PID con efecto exclusivamente proporcional si este recibiera una señal de error tipo escalón de magnitud ∆e constante. e(t) = r(t) - y(t)

∆e ∆e 0

tiempo

u(t) u = u ss + Kc ∆ e ∆u

= Kc ∆ e

u ss 0

tiempo

Figura 1 Algunos controladores usan el término "banda proporcional" en lugar de "ganancia proporcional". La Banda Proporcional (expresado en %) es el inverso de la ganancia proporcional multiplicado por 100% , esto es, un valor de ganancia proporcional de 1 es equivalente a una banda proporcional de 100%. Una ganancia proporcional de 5 es el equivalente a una banda proporcional de 20%. En términos matemáticos la banda proporcional se define así:

B = P c K

100%

2.2. Acción Integral. También conocida como acción Reset, tiene como característica principal que mantiene o regresa la variable del proceso al valor de la referencia deseado. Con la acción integral, cualquier desviación entre la variable del proceso y la referencia causará que la salida del controlador se incremente o decremente (integre) a una velocidad proporcional al tamaño del error existente, mientras más grande sea el error, mayor será la velocidad de cambio en la salida. La acción integral se expresa como ti (constante de tiempo integral) aunque es mas usual utilizar su inverso conocido como Reset, que se mide en repeticiones por minuto y significa el número de veces por minuto que el controlador repetirá la acción proporcional en la señal remanente del error. Mientras más grande sea el valor del Reset, más activa será la salida del controlador para corregir el error. e(t) = r(t) - y(t)

∆e tiempo 0 Efecto integral

u(t) u = u ss + Kc ∆ e ∆u

= Kc ∆ e

Efecto Proporcional

u ss 0

tiempo

τi Figura 2 Si τi = 2 minutos entonces, el reset = 1/τi = 1/2 = 0.5 repeticiones por minuto, lo cual significa que el efecto integral alcanzará en un minuto un cambio que es 0.5 veces el cambio que el efecto proporcional alcanzó en el momento que se presentó el error, si τi = 0.5 minutos entonces, el reset = 1/τi = 1/0.5 = 2, etc. en la figura 3 se presenta en forma gráfica los comentarios anteriores.

u(t)

Reset = 2 rep/min

u = u ss + 3 Kc ∆ e

Reset = 1 rep/min

Reset = 0.5 rep/min

u = u ss + 2 Kc ∆ e Efecto Proporcional

u = u ss + Kc ∆ e u = u ss + 0.5 Kc ∆ e

∆u

u ss 0

= Kc ∆ e

tiempo

τi = 0.5 τi = 1 τi = 2 Figura 3 Matemáticamente la acción integral se describe por la siguiente ecuación: ∆u =

Kc t

τi

∫ e( t )dt 0

En muchas aplicaciones, la acción proporcional más la acción integral es suficiente para controlar satisfactoriamente un proceso; sin embargo, la respuesta de control puede mejorarse usando además la acción derivativa. 2.3. Acción Derivativa. Conocida también bajo el nombre de acción predictiva, puede ser muy útil para ayudar a minimizar la cantidad de error durante una perturbación al proceso. No todos los lazos de control pueden tolerar la acción derivativa, pero es efectiva cuando se aplica correctamente. La acción derivativa trabaja midiendo la velocidad de cambio del error, anticipándose al cambio del error que el lazo de control encontrará, y agregando un valor extra a la salida del controlador para corregir este error anticipado. De esta manera, se puede reducir el error futuro tomando la acción correctiva antes de que se presente. Esta acción se expresa en minutos mediante la constante de tiempo derivativa τD y significa la cantidad de veces que el controlador ve hacia el futuro para anticipar el error, véase la figura 4 en la cual eD representa el error que ocurriría después de transcurrir τD unidades de tiempo si la velocidad del cambio de este (su derivada) se mantuviera constante:

eD = Dτ

et ( ) d t d

El efecto derivativo matemáticamente se representa por la siguiente ecuación: t e d ∆u =K C τD

() t d e(t) = r(t) - y(t)

eD

eD 0

tiempo

τD

τD

u(t) u = u ss + Kc eD

u ss u = u ss + Kc eD tiempo

0

Figura 4 Los lazos de control de procesos que tienden a ser estables y que tienen constantes de tiempos considerables pueden aprovechar muy bien la acción derivativa; sin embargo, para muchos lazos, el anticiparse a un error futuro es prácticamente imposible, y la acción derivativa puede desestabilizar el sistema de control. 3. Diferentes Estructuras de los Controladores En todo controlador PID aparecen las tres acciones de control mencionadas; sin embargo, la parte que aporta cada una a la salida del controlador dependerá de la estructura del controlador y de los valores de los parámetros del mismo. A continuación se presentan las estructuras más usuales. a) Estructura Ideal ∆u = KC e(t ) +

KC

τi

t

∫ e(t )dt +K 0

C

τD

de(t ) dt

En transformada de Laplace se representa así:

U (s)= KC 1 + 1 + τDs E(s) τis donde: E(s) = R(s) - Y(s) R(s) = Transformada de Laplace de la referencia Y(s) = Transformada de Laplace de la variable controlada del proceso b) Estructura Clásica

τ U (s)= K c 1 + 1 1 + D s E (s) τis 1 + τA s τA es la constante de tiempo de un filtro, y sus valores están comprendidos en el rango de 0.33τD a 0.05τD, se recomienda un valor de 0.1τD . c) Estructura No-Interactiva

τD s Y (s) U (s)= K c + 1 E (s)τis 1 + τA s d) Estructura Industrial

τ U (s)=K c 1 + 1 R (s)- 1 + D s Y (s) τis 1 + τA s Existen más estructuras comerciales muy semejantes a las anteriores, lo más indicado es referirse al manual del controlador para identificar la estructura correspondiente. Si su estructura no corresponde a alguna de las presentadas verifique si mediante manipulaciones algebraicas puede llegar a alguna de ellas, ya que en la mayoría de los casos son pequeñas modificaciones a las anteriores. 4. Métodos de sintonización de controladores La sintonización es el procedimiento de ajuste de los parámetros del controlador para obtener una respuesta específica en el sistema de control, la dificultad del procedimiento se incrementa con el número de parámetros que deben ser ajustados. Existen varios procedimientos de sintonización y fórmulas para ajustar los parámetros de un controlador dependiendo de ciertos criterios en la respuesta del sistema; se estudiarán algunos de ellos para obtener un conocimiento profundo del procedimiento de sintonización. Es necesario

enfatizar que ningún procedimiento dará mejores resultados que otro para todas las situaciones factibles, es decir, su eficiencia es relativa y particular. Los valores de los parámetros del controlador dependen de la respuesta deseada del sistema de control, así como de las características o personalidad de los elementos del sistema, en especial del proceso. La mayoría de los procesos son no lineales, por lo que sus características cambiarán de un punto de operación a otro, esto significa que un conjunto de valores en los parámetros del controlador pueden producir la respuesta deseada en solamente un punto de operación (dado que los controladores estándar son básicamente dispositivos lineales) y no en otro punto. 4.1. Método de la Ganancia Ultima (Razón de Decaimiento de 1/4) Este método propuesto por Ziegler y Nichols en 1942, también conocido como sintonización en línea, consiste en dos puntos principales: • Determinación de la característica dinámica del lazo de control. • Estimación de los parámetros del controlador que producen la respuesta deseada para las características determinadas anteriormente. La dinámica del proceso está definida en este caso por parámetros: • •

La ganancia última del controlador proporcional. El período último de oscilación.

La determinación de estos parámetros puede hacerse en base teórica, si se conocen las funciones de transferencia de todos los elementos del sistema, como este no es generalmente el caso (independientemente de que sus resultados son relativamente confiables) se presentará un procedimiento alterno en base experimental. 1. Quitar los efectos integral y derivativo del controlador, es decir sólo operar el modo proporcional (en algunos modelos la acción integral no puede anularse, pero puede inhibirse ajustando el tiempo integral a su valor máximo, en otros términos la velocidad integral a su valor mínimo). 2. Con el controlador en automático (cerrado el lazo) incrementar la ganancia (o lo que es similar reducir la banda proporcional) hasta que el lazo oscile con una amplitud constante. Registrar el valor de la ganancia que produce las oscilaciones sostenidas como Kcu, este dato se conoce como la ganancia última. Este procedimiento puede llevarse a cabo con pequeños incrementos en la ganancia del controlador, "amortiguando" el sistema por aplicar pequeños cambios en la referencia, para cada valor fijado en la ganancia del controlador; los incrementos en la ganancia del controlador deben ser pequeños a medida que se aproxime a la ganancia última. 3. De la respuesta obtenida en la variable controlada, el período de oscilación es medido y registrado como Tu, tal como se indica en la figura 5.

Tu

Y(t)

tiempo 0

Figura 5 Ziegler y Nichols proponen que la respuesta deseada en lazo cerrado debe presentar una razón de decaimiento de 1/4. Respuestas típicas que cumplan con esta especificación se muestran en la figura 6 para presencia de perturbaciones y en la figura 7 para cambios en referencia.

Y(t) 1 A 4 A

tiempo 0

Figura 6

Y(t) A

1 A 4

R(t)

tiempo

0

Figura 7

Con los parámetros Kcu y Tu, empleando la tabla 1, se pueden obtener los parámetros del controlador para que el sistema de control presente una razón de decaimiento de 1/4. Tabla # 1 _____________________________________________________

τi τD _____________________________________________________ C ontrolador

P PI

Kc

KCU 2 KCU 2 .2

TU 1 .2

KCU 1 .7

TU 2

TU 8

PID _____________________________________________________

Comentarios: 1. Colocar el efecto integral requiere una reducción del 10% en la ganancia de un controlador PI en comparación del controlador P, debido a la acción integral, la cual introduce un retraso en la operación del controlador. 2. La acción derivativa permite un incremento tanto en la ganancia como en la velocidad de integración (reducción del tiempo integral) del controlador PID comparado con un controlador P, debido a que la acción derivativa introduce un adelanto en la operación del controlador. 3. El criterio de la razón de decaimiento de 1/4 no es deseable en cambios de referencia tipo escalón, puesto que provoca sobretiros del 50%, esto es debido a que la máxima desviación del nuevo punto de referencia en cada dirección es la mitad de la máxima desviación anterior en dirección opuesta. 4. Este criterio es muy deseable para anular perturbaciones, debido a que prevee un sobretiro inicial grande sin que sea muy oscilatorio. 5. La principal dificultad en la sintonización de los parámetros del controlador usando este criterio, es que la solución no es única, excepto para el controlador P. En el caso de un controlador PI existen para cada ganancia Kc un tiempo integral ti que satisfaga el criterio, lo mismo ocurre en un PID. 6. Este procedimiento de sintonización caracteriza al sistema únicamente por la ganancia última y el período último.

7. En la práctica solamente aplica para lazos rápidos donde este procedimiento de sintonía sea muy corto (en tiempo) y en donde la administración del proceso productivo permita poner a oscilar a los procesos.

Otra forma de aplicar el método de Ziegler & Nichols (razón de decaimiento de 1/4) siempre y cuando el modelo del proceso sea de primer orden con tiempo muerto y este sea conocido, es con la tabla 2. Tabla # 2 _____________________________________________________ C ontrolador

Kc

τi

τD

_____________________________________________________

P

PI

τ K θ' 0.9 τ K θ' 1.2 τ K θ'

3.33 θ’

2.0 θ’ 0.5 θ’ PID _____________________________________________________

En el uso de estas fórmulas debe mantenerse en mente que son empíricas y aplican solamente en el rango donde:

θ '∈ 0.1,1 τ Cabe comentar nuevamente que para controladores PI y PID no existe solución única, es decir, existen varias soluciones factibles. 4.2. Método de Respuesta al Escalón. Este es otro de los métodos propuestos por Ziegler & Nichols, el cual está basado en el registro de la respuesta del sistema en lazo abierto, ante una entrada tipo escalón; dicha respuesta se caracteriza por dos parámetros "a" y "L", vease figura # 8 . Para obtenerlos se determina el punto donde la pendiente de la curva de respuesta es máxima, y se dibuja una linea tangente en este punto. Las intersecciones entre esta linea tangente y los ejes coordenados dan los dos parámetros "a" y "L".

LINEA TANGENTE

Proceso

a L

Figura 8 Los parámetros del controlador se obtienen directamente como funciones de "a" y "L" como se muestra en la tabla 3, también se indica el periodo Tp de la dinámica dominante del sistema en lazo cerrado. Tabla # 3 __________________________________________________________________ C ontrolador Kc Tp τi τD __________________________________________________________________ P 1/a 4L PI

0.9/a

3L

5.7L

PID 1.2/a 2L L/2 3.4L __________________________________________________________________

El método fue diseñado para un escalón unitario, para generalizarlo a un escalón de cualquier magnitud ∆U, utilice como ganancia la obtenida en la Tabla 3, pero con la corrección siguiente: K'c= Kc∆U. 4.3. Criterios Integrales Debido a que no existe una solución única en la sintonización de parámetros utilizando el criterio de la razón de 1/4, un proyecto de investigación fue conducido en la Universidad de Louisiana por los profesores Paul W. Murrill y Cecil L. Smith con el objeto de obtener relaciones únicas para sintonizar controladores. Se utilizó un modelo de primer orden con tiempo muerto para caracterizar el proceso. La especificación de la respuesta del sistema de control es básicamente: Mínimo error de la variable controlada respecto del valor deseado.

Puesto que el error es función del tiempo, la suma de los errores en cada instante de tiempo debe ser minimizada, esto es por definición la integral del error respecto al tiempo, es decir, el área bajo la curva de la señal de error como se muestra en las figuras 9, para la presencia de una perturbación, y 10 para un cambio en referencia. e(t)

0

t

Figura 9

e(t)

r(t)

0

t

Figura 10 El objetivo es minimizar la integral del error, generalmente la integral del error no puede ser minimizada directamente debido a que una gran cantidad de errores negativos pueden ser el mínimo, por lo que, se planteará la solución de la siguiente manera: Integral del valor absoluto del error (IAE)

∞

e(t)dt

IAE = 0

Integral del cuadrado del error (ISE)

∞

IS E =

e(t)2dt

0 Los integrales presuponen que la perturbación o cambio en referencia ocurren en tiempo cero hasta un tiempo suficientemente grande, infinito. El único problema con la definición de esta integral es que se hace indeterminada cuando el error no se anula, lo cual ocurre cuando el controlador no tiene una acción integral y por lo mismo presenta un error de estado estable. La diferencia entre el IAE y el ISE es que el ISE da mayor peso a grandes errores, los cuales usualmente ocurren al principio y menos peso a errores pequeños los cuales suceden al final de la respuesta. Al tratar de reducir el error inicial, el criterio del mínimo ISE genera controladores con ganancias muy grandes y respuestas muy oscilatorias (altas razones de decaimiento) con el error oscilando alrededor de cero durante un tiempo relativamente grande. Este fenómeno sugiere que el criterio debe contemplar un "cast...