Thomas Calculo Varias Variables (Thomas) - 11o Edicion PDF

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THOMAS CÁLCULO VARIAS VARIABLES UNDÉCIMA EDICIÓN C ÁLC U LO VA R I A S VA R I A B LE S U N D É C I M A E D I C I Ó N George B. Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology R evisado por: Maurice D. Weir Joel Hass Frank R. Giordano Naval Postgraduate School University of California, Davis Naval ...

Description

THOMAS

CÁLCULO VARIAS VARIABLES

UNDÉCIMA EDICIÓN

C ÁLC U LO

VA R I A S VA R I A B LE S U

N

D

É

C

I

M

A

E

D

I

C

I

Ó

N

George B. Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology

R evisado por: Maurice D. Weir Naval Postgraduate School

Joel Hass University of California, Davis

Frank R. Giordano Naval Postgraduate School

TR ADUCCIÓ N Óscar Alfredo Palmas Velasco Víctor Hugo Ibarra Mercado Facultad de Ciencias, Escuela Superior de Física y Matemáticas Universidad N acional Autónoma de México Instituto Politécnico N acional Enrique Garibay Ruiz Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus León D r. Carlos Bosh Giral Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITA M) César Luis García García Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITA M) Claudia Gómez Wulschner Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITA M) Enrique Rodríguez Rodríguez Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (IT ESO) Abelardo Ernesto D amy Solís Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Guadalajara

R EVISIÓ N TÉCNICA Carlos Zea Coordinación de Ciencias Físico Matemáticas Universidad Iberoamericana campus Torreón José Botto Universidad N acional de R osario, Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y A grimensura A rgentina

Vladimir Moreno G. Profesor de tiempo completo Universidad N acional de Colombia Bernarda Aldana Escuela Colombiana de Ingeniería “Julio Garavito” Néstor Raúl Pachón Rubiano Escuela Colombiana de Ingeniería “Julio Garavito”

Emilio Sastre Universidad N acional de R osario, Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y A grimensura A rgentina

René Piedra Director del Departamento de Matemáticas Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra R epública Dominicana

Eduardo Estrada Kassir Maestro de Ingeniería de Sistemas Universidad N acional de Colombia

Lida Niño Coordinadora de Cátedra Matemática para Ingeniería Universidad Metropolitana Venez uela

Datos de catalogación bibliográfica THOMAS, JR., GEORGE B. Cálculo. Varias variables. Undécima edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2005 ISBN: 970-26-0644-6 Área: Universitarios Formato: 21 × 27 cm

Dedicado a Ross Lee Finney III (1933-2000) profesor, mentor, autor,

Páginas: 656

gran persona, y amigo de todos

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas’ calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright © 2005. All rights reserved. ISBN 0-321-185587 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Thomas’ calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright © 2005. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor:

Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hernández Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño

Edición en inglés: Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton

Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: © Benjamin Mendlowitz

UNDÉCIMA EDICIÓN, 2005 D.R. © 2005 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500, 5° piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: [email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0644-6 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05

CONTENIDO Prefacio

ix

Volumen I

1

Preliminares

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

2

Límit es y cont inuidad 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

3

Los números reales y la recta real 1 Rectas, círculos y parábolas 9 Funciones y sus gráficas 19 Identificación de funciones: modelos matemáticos 28 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas Funciones trigonométricas 48 Graficación con calculadoras y computadoras 59 PREGUNTAS DE REPASO 68 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 69 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

Razón de cambio y límites 73 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites La definición formal de límite 91 Límites laterales y límites al infinito 102 Límites infinitos y asíntotas verticales 115 Continuidad 124 Tangentes y derivadas 134 PREGUNTAS DE REPASO 141 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 142 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 144

Derivadas

38

73

84

147 3.1 3.2

La derivada como una función 147 Reglas de diferenciación 159

iii

iv

Contenido

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

4

Aplicaciones de las derivadas 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

5

244

Valores extremos de una ecuación 244 El teorema del valor medio 255 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada Concavidad y trazado de curvas 267 Problemas de optimización aplicados 278 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 292 El método de Newton 299 Antiderivadas 307 PREGUNTAS DE REPASO 318 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 318 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 322

262

I nt egración

325 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

6

La derivada como razón de cambio 171 Derivadas de funciones trigonométricas 183 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 190 Diferenciación implícita 205 Razones de cambio o tasas relacionadas 213 Linealización y diferenciales 221 PREGUNTAS DE REPASO 235 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 235 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 240

Estimación con sumas finitas 325 Notación sigma y límites de sumas finitas 335 La integral definida 343 El teorema fundamental del cálculo 356 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución Sustitución y áreas entre curvas 376 PREGUNTAS DE REPASO 387 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 388 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 391

368

Aplicaciones de las int egrales def inidas 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje 396 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 409 Longitudes de curvas planas 416 Momentos y centro de masa 424 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 436 Trabajo 447 Presiones y fuerzas en fluidos 456

396

Contenido

PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 461 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

7

8

553

Fórmulas básicas de integración 553 Integración por partes 561 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 570 Integrales trigonométricas 581 Sustituciones trigonométricas 586 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 593 Integración numérica 603 Integrales impropias 619 PREGUNTAS DE REPASO 633 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 634 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 638

Aplicaciones adicionales de int egración 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

466

Funciones inversas y sus derivadas 466 Logaritmos naturales 476 La función exponencial 486 495 a x y loga x Crecimiento y decaimiento exponenciales 502 Razones de crecimiento relativas 511 Funciones trigonométricas inversas 517 Funciones hiperbólicas 535 PREGUNTAS DE REPASO 546 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 547 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 550

Técnicas de int egración 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

9

464

Funciones t rascendent es 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

v

Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 642 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 650 Método de Euler 659 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 665 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673 PREGUNTAS DE REPASO 682 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 682 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 683

642

vi

Contenido

Volumen I I

10

Secciones cónicas y coordenadas polares 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

11

697

Sucesiones y series inf init as 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11

12

Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas 685 Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad Ecuaciones cuadráticas y rotaciones 702 Cónicas y ecuaciones paramétricas; la cicloide 709 Coordenadas polares 714 Gráficas en coordenadas polares 719 Áreas y longitudes en coordenadas polares 725 Secciones cónicas en coordenadas polares 732 739 PREGUNTAS DE REPASO 739 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 742 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

685

Sucesiones 747 Series infinitas 761 Criterio de la integral 772 Pruebas de comparación 777 Pruebas de la raíz y de la razón 781 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional Series de potencias 794 Series de Taylor y de Maclaurin 805 Convergencia de series de Taylor; estimación de errores 811 Aplicaciones de las series de potencias 822 Series de Fourier 833 839 PREGUNTAS DE REPASO 840 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 843 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

Los vect ores y la geomet ría del espacio 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

Sistemas de coordenadas tridimensionales 848 Vectores 853 El producto punto 862 El producto cruz 873 Rectas y planos en el espacio 880 Cilindros y superficies cuádricas 889 899 PREGUNTAS DE REPASO 900 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 902 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

746

787

848

Contenido

13

Funciones con valores vect oriales y movimient o en el espacio 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

14

15

965 Funciones de varias variables 965 Límites y continuidad en dimensiones superiores 976 Derivadas parciales 984 Regla de la cadena 996 Derivadas direccionales y vectores gradiente 1005 Planos tangentes y diferenciales 1015 Valores extremos y puntos de silla 1027 Multiplicadores de Lagrange 1038 Derivadas parciales con variables restringidas 1049 Fórmula de Taylor para dos variables 1054 PREGUNTAS DE REPASO 1059 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1060 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1063

I nt egrales Múlt iples 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7

906

Funciones vectoriales 906 Cómo modelar el movimiento de un proyectil 920 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 931 Curvatura y el vector unitario normal N 936 Torsión y el vector unitario binormal B 943 Movimiento de planetas y satélites 950 PREGUNTAS DE REPASO 959 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 960 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 962

Derivadas parciales 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10

vii

Integrales dobles 1067 Área, momentos y centros de masa 1081 Integrales dobles en forma polar 1092 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1098 Masas y momentos en tres dimensiones 1109 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas Sustitución en integrales múltiples 1128 PREGUNTAS DE REPASO 1137 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1138 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1140

1067

1114

viii

Contenido

16

I nt egración en Campos Vect oriales

1143

16.1 Integrales de línea 1143 16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulación y flujo 1149 16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales y campos conservativos 1160 16.4 Teorema de Green en el plano 1169 16.5 Área de superficies e integrales de superficie 1182 16.6 Superficies parametrizadas 1192 16.7 Teorema de Stokes 1201 16.8 El teorema de la divergencia y una teoría unificada 1211 PREGUNTAS DE REPASO 1222 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1223 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1226

Apéndices

AP- 1 A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7 A.8 A.9

Inducción matemática AP-1 Demostración de los teoremas de límites AP-4 Límites que aparecen comúnmente AP-7 Teoría de los números reales AP-9 Números complejos AP-12 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23 El área de la proyección de un paralelogramo en un plano AP-28 Fórmulas básicas de álgebra, geometría y trigonometría AP-29

Respuest as

R- 1

Í ndice

I -1

Breve t abla de int egrales

T- 1

Crédit os

C- 1

PREFACIO

I NTRODUCCI ÓN Al preparar la undécima edición de Cálculo de Thomas, hemos querido mantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas. Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores características de las ediciones clásicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nuestros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estándares en mente, hemos reconstruido los ejercicios y aclarado algunos temas de difícil comprensión. De acuerdo con el autor, George Thomas, “hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisión como ha sido posible”. Además, hemos restablecido los contenidos para que sean más lógicos y congruentes con los programas de estudio de mayor difusión. Al revisar esta labor en retrospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudado a crear un texto de cálculo útil y atractivo para la siguiente generación de ingenieros y científicos. En su undécima edición, el texto no sólo presenta a los estudiantes los métodos y las aplicaciones del cálculo, sino que plantea también una manera de pensar totalmente matemática. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revela la teoría en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicación de ideas matemáticas. El cálculo tiene gran relación con muchos de los paradigmas clave de las matemáticas, y establece los fundamentos reales para la reflexión precisa y lógica en torno de temas físicos y matemáticos. Nuestro propósito se centra en ayudar a los estudiantes a alcanzar la madurez matemática necesaria para dominar el material y aplicar sus conocimientos de manera íntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensión de lo analizado en las páginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creación valga la pena. Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarán bien instruidos en el lenguaje matemático que se necesita para aplicar los conceptos de cálculo a numerosas situaciones de ciencias e ingeniería. También estarán preparados para tomar cursos de ecuaciones diferenciales, álgebra lineal o cálculo avanzado.

Cambios en la undécima edición Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje del cálculo. En esta edición hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecían en versiones anteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejercicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero los problemas computacionales para luego abordar los relativos a la teoría y las aplicaciones. Esta disposición permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los métodos del cálculo y adquieran una comprensión más profunda de sus aplicaciones en el marco de una estructura matemática coherente. ix EJERCI CI OS

x

Prefacio

RI GOR En comparación con las ediciones anteriores, en esta versión el contenido del texto es más riguroso y consistente. En él se brindan análisis formales e informales, haciendo una clara distinción entre ambos; además, se incluyen definiciones precisas y demostraciones accesibles para los estudiantes. Este texto está organizado de manera que el material pueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, a pesar de que no se prueba que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo ahí, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobar varios resultados subsecuentes. Más aún, el capítulo de límites ha sido reorganizado de manera sustancial, haciendo hincapié tanto en su claridad como en su precisión. Como en las ediciones anteriores, el concepto de límite se basa en la importante idea de obtener la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella. CONTENI DO En la preparación de esta edición hemos puesto especial atención a las sugerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Cálculo de Thomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los capítulos.

TOMO I

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• • •

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Preliminares Hemos reescrito el capítulo 1, de manera que proporcione una breve revisión de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podrían optar por obviar este capítulo, su estudio permite a alumnos un fácil repaso de conocimientos para que unifiquen notaciones. También contiene material útil que muchos estudiantes podrían desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente en las calculadoras o computadoras para construir la gráfica de una función. Límites En el capítulo 2 se incluyen las definiciones epsilón-delta, las demostraciones de muchos teoremas, así como límites en el infinito y límites infinitos (y sus relaciones con las asíntotas de una gráfica). Antiderivadas En los capítulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicaciones más importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se establecen las bases para la integración. Integración Después de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el capítulo 5 introducimos la integral definida en la forma tradicional del área debajo de la curva. Continuamos con el análisis del teorema fundamental del cálculo, relacionando derivadas y antiderivadas, y con la presentación de la integral indefinida, junto con la regla de sustitución para integración. Luego proseguimos con el capítulo tradicional de aplicaciones de las integrales definidas. Técnicas de integración En el capítulo 8 se presentan las principales técnicas de integración, incluyendo integración numérica. Después se ofrece una introducción a las funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y la función exponencial como su inversa...