tiểu luận toán cao cấp PDF

Preview

Summary

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LAO ĐỘNG – XÃ HỘI (CSII)KHOA: GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNGBÁO CÁO HẾT HỌC PHẦNTOÁN CAO CẤP 2Sinh viên : HUỲNH HOÀNG THẠOMã số sinh viên : 2053404041148Lớp : Đ20NLMã học phần : TCC21122LGiảng viên : NGUYỄN THỊ ANH THIHo Chi Minh City, tháng 10 năm 2021TRƯỜNG ĐẠI HỌC LAO ĐỘNG – XÃ HỘI (CSII)KHOA:...

Description

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LAO ĐỘNG – XÃ HỘI (CSII) KHOA: GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG

BÁO CÁO HẾT HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2

Sinh viên : HUỲNH HOÀNG THẠO Mã số sinh viên: 2053404041148 Lớp

: Đ20NL5

Mã học phần : TCC21122L Giảng viên

: NGUYỄN THỊ ANH THI

Ho Chi Minh City, tháng 10 năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LAO ĐỘNG – XÃ HỘI (CSII) KHOA: GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG

TOÁN CAO CẤP 2 HƯỚNG DẪN SINH VIÊN 1. Kỳ thi cuối kỳ này bao gồm NĂM (5) câu hỏi. 2. Tất cả các giải thích về cách có được câu tr ả lời phải được bao gồm trong câu trả lời. 3. Sinh viên chỉ có thể g ửi câu trả lời của mình MỘT LẦN trong một tệp DUY NHẤT. 4. Câu trả lời của phải được gửi trước ngày 15 tháng 10 năm 2021. Việc gửi câu trả lời sau ngày 15 tháng 10 năm 2021 sẽ KHÔNG được chấp nhận. 5. Các câu trả lời nên được chuẩn bị riêng lẻ. Sinh viên không được sao chép bài tập của người khác. Sinh viên cũng không được đạo văn tác phẩm của người khác như tác phẩm của mình. 6. Sinh viên làm bài và chuyển thành file PDF rồi nộp cho giảng viên. 7. Sinh viên phải in câu trả lời của mình và đưa cho giảng viên một bản cứng sau khi quay trở lại Trường. CÁC TRƯỜNG HỢP TRỪ ĐIỂM Lưu ý: Câu trả lời đã gửi sẽ được kiểm tra. Nếu phát hiện đạo văn, điểm sẽ bị trừ như sau: • Các bài tập nếu trùng lặp 10 - 30% với bài khác: trừ 20% tổng số điểm. • Đáp án trùng 31 - 50% với đáp án khác: trừ 40% tổng số điểm. • Các bài tập nếu có hơn 50% trùng lặp với các bài khác: Sẽ không có điểm nào.

1

NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA GIẢNG VIÊN MÔN: TOÁN CAO CẤP 2 Sinh viên: Mã số sinh viên :

-Hình thức: (0,5)

0,5

-Nội dung: CÂU HỎI

ĐIỂM MỖI CÂU

1

1.5

2

2.5

3

2.5

4

1

5

2

TỔNG

9.5

Tổng Điểm số

ĐIỂM SINH VIÊN

Điểm bằng chữ

điểm Cán bộ chấm thi 1

Cán bộ chấm thi 2

(Kí và ghi rõ họ tên)

(Kí và ghi rõ họ tên

2

CÂU HỎI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Lưu ý: a là số cuối của mã số sinh viên CÂU 1: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại s ản phẩm và tiêu thụ trên 2 thị trường tách biệt. Biết hàm cầu trên từng thị trường như sau: 1 𝑄𝐷1 = 410 − 𝑃1 2 𝑄𝐷2 = 620 − 𝑃2

a. Tính hệ số co dãn của hàm cầu theo giá trên mỗi thị trường tại mức giá P = 2a. b. Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường để doanh nghiệp có lợi nhuận tối

đa biết hàm tổng chi phí của doanh nghiệp 𝑇𝐶 = 𝑄2 + 60𝑄 + 2𝑎 v ới 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 . Từ đó suy ra tổng sản lượng của doanh nghiệp.

CÂU 2: Cho hàm số: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦(𝑥 2 + 𝑦2 − 1) a. Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥 ) với 𝑦 = 𝑎 + 1.

b. Tìm cực trị hàm 2 biến f(x, y). c. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x, y) trong miền đóng D được giới hạn bởi các

đường thẳng 𝑥 = 0; 𝑥 = 𝑎 + 2; 𝑦 = −1; 𝑦 = 2. CÂU 3:

Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: 𝑄 = 2L1/2 + 3𝐾1/2

a. Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và t ổng lợi nhuận theo K, L, cho biết giá của sản phẩm trên thị trường là 4$, giá lao động là 8$, giá tư bản là 15$ và công ty phải trả 50$ chi phí khác. b. Cho biết doanh nghiệp bán sản phẩm trong một thị trường cạnh tranh hoàn hảo với mức giá P =8. Giả sử giá mua hai yếu tố đầu vào L, K tương ứng là a + 1 và 2a . Hỏi doanh nghiệp cần sử dụng bao nhiêu đơn vị lao động và vốn để lợi nhuận thu được là tối đa.

CÂU 4:

Cho hàm 2 biến: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑦

2 −𝑥𝑦

(2𝑥 2 + 1)

a. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số f(x, y). b. Tính 𝑓𝑥′′2 (𝑎; 0); 𝑓𝑦′′2 (𝑎; 0)

CÂU 5: Cho hàm cung và hàm cầu của 1 doanh nghiệp là: 𝑄𝐷 = 𝐷(𝑃), 𝑄𝑆 = 𝑆(𝑃). Trong đó: 𝑄𝐷 : lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp; 𝑄𝑆 : lượng cung về hàng hóa của doanh

nghiệp

P : giá bán của hàng hóa 3

Q : Sản lượng sản ph ẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Hãy xác định mức sản lượng cân bằng và giá cân bằng. Tìm sản lượng Q để doanh nghiệp đạt doanh thu tối đa. a. Nêu phương pháp giải bài toán trên. b. Lấy một ví dụ minh họa (trừ các ví dụ trong bài tập và ví dụ giảng viên đã lấy trên lớp).

4

BÀI LÀM CÂU 1: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm và tiêu thụ trên 2 thị trường tách biệt. Biết hàm cầu trên từng thị trường như sau: 𝑄𝐷1 = 310 − 𝑃1

1 𝑃 2 2 a. Tính hệ số co dãn của hàm cầu theo giá trên mỗi thị trường tại mức giá P = 2a. 𝑄𝐷2 = 235 −

b. Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa biết hàm tổng chi phí của doanh nghiệp 𝑇𝐶 = 𝑄2 + 30𝑄 + 1𝑎 với 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 . Từ đó suy ra tổng sản lượng của doanh nghiệp. Giải a=8 a. Hệ số co dãn của hàm cầu theo giá trên mỗi thị trường tại mức giá P=28 -Tại P=28 ; 𝑄𝐷1 = 310 − 𝑃1 = 310 − 28 = 282 𝜀𝐷1 = 𝑄𝐷′ 1 .

𝑄𝐷′ 1 = −1

𝑃 28 = −0.0993 = (−1). 282 𝑄𝐷1

 Kết luận: Vậy tại mức giá P=28 nếu tăng 1% thì lượng cầu thị trường 1 giảm -0.0993%. Do |𝐸𝐷 | < 1 nên hàm ít co giãn tại P=28 1

1

-Tại P=28; 𝑄𝐷2 = 235 − 2 𝑃2 = 235 − . 28 = 221 𝜀𝐷2

2

1 2 𝑃 28 1 = (− ) . = 𝑄𝐷′ 2 . = −0.0634 2 221 𝑄𝐷2 𝑄𝐷′ 2 = −

 Kết luận: Vậy tại mức giá P=28 nếu tăng 1% thì lượng cầu thị trường 2 giảm -0.0634%. Do |𝐸𝐷 | < 1 nên hàm ít co giãn tại P=28 b. Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường để doanh nghiệp có lợi nhuận

tối đa biết hàm tổng chi phí của doanh nghiệp 𝑻𝑪 = 𝑸𝟐 + 𝟑𝟎𝑸 + 𝟏𝟖 với 𝑸 = 𝑸𝟏 + 𝑸𝟐 . Từ đó suy ra tổng sản lượng của doanh nghiệp. Ta có: 𝑄𝐷1 = 310 − 𝑃1 → 𝑃1 = 310 − 𝑄𝐷1 5

1

𝑄𝐷2 = 235 − 𝑃 → 𝑃 = 470 − 2𝑄 2 𝐷2 2 2 -Hàm doanh thu: 𝑇𝑅 = 𝑃1 𝑄1 + 𝑃2 𝑄2 = 310𝑄1 − 𝑄12 + 470𝑄2 − 2𝑄22 -Hàm chi phí: 𝑇𝐶 = (𝑄1 + 𝑄2 )2 + 30(𝑄1 + 𝑄2 ) + 18 𝑇𝐶 = 𝑄12 + 2𝑄1 𝑄2 + 𝑄22 + 30𝑄1 + 30𝑄2 + 18

-Hàm lợi nhuận:𝑇𝑃 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 𝑃1 𝑄1 + 𝑃2 𝑄2 − 𝑇𝐶(𝑄1 , 𝑄2 )

𝑇𝑃 = 310𝑄1 − 𝑄12 + 470𝑄2 − 2𝑄22 − (𝑄12 + 2𝑄1 𝑄2 + 𝑄22 + 30𝑄1 + 30𝑄2 + 18) 𝑇𝑃 = −2𝑄12 − 3𝑄22 + 280𝑄1 + 440𝑄2 − 2𝑄1 𝑄2 − 18 Doanh nghiệp được phép phân biệt giá:𝑃1 ≠ 𝑃2

-Tìm cực trị hàm 𝑇𝑃 = 280𝑄1 + 440𝑄2 − 2𝑄12 − 3𝑄22 − 2𝑄1 𝑄2 − 18 +Tìm điểm dừng 𝑇𝑃𝑄′ = 0 𝑄 = 40 280 − 4𝑄1 − 2𝑄2 = 0 { ′1 ↔ {𝑄1 = 60 ↔{ 440 − 6𝑄2 − 2𝑄1 = 0 𝑇𝑃𝑄2 = 0 2 → Có 1 điểm dừng M(40;60) +Tìm đạo hàm cấp 2

𝐴 = 𝑇𝑃𝑄′′2 = −4 1

𝐵 = 𝑇𝑃𝑄′′1 𝑄2 = −2

𝐶 = 𝑇𝑃𝑄′′2 = −6

∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = (−4). (−6) − (−2)2 = 20

 Tại điểm dừng M(40;60) có {

𝐴 0

Vậy doanh nghiệp cần cung cấp cho thị trường 1 40 sản phẩm, thị trường 2 60 sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.

Tổng sản lượng của doanh nghiệp : 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 40 + 60 = 100

CÂU 2: Cho hàm số: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦(𝑥 + 𝑦 − 1) a. Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥 ) với 𝑦 = 𝑎 + 1. b. Tìm cực trị hàm 2 biến f(x, y). c. Tìm GTLN, GTNN của hàm s ố f(x, y) trong miền đóng D được giới hạn bởi các đường thẳng 𝑥 = 0; 𝑥 = 𝑎 + 2; 𝑦 = −1; 𝑦 = 2. Giải a. Tìm cực trị hàm số 𝒛 = 𝒇(𝒙) với y=9:

𝑧 = 9𝑥 2 (𝑥 + 8) = 9𝑥 3 + 72𝑥 2

16 𝑥 = − 𝑧 = 0 → 27𝑥 + 144𝑥 = 0 → { 3 𝑥=0 𝑧 ′′ = 54𝑥 + 144 ′

2

𝑧 ′′ (−

16 3

) = − 144 < 0 → ℎà𝑚 đạ𝑡 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 𝑡ạ𝑖 𝑥0 = − 6

16

3

𝑣à 𝑓𝑐đ =

2048 3

𝑧 ′′(0) = 144 > 0 → ℎà𝑚 đạ𝑡 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 𝑡ạ𝑖 𝑥0 = 0 𝑣à 𝑓𝑐𝑡 = 0 b. Tìm cực trị hàm 2 biến f(x, y): 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 𝑦(𝑥 + 𝑦 − 1)

Tìm điểm dừng: 𝑓 ′ (𝑥) = 0 2𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 − 1) + 𝑥 2 𝑦 = 0 (1) { → { 𝑥 2 (𝑥 + 𝑦 − 1) + 𝑥 2 𝑦 = 0(2) 𝑓 ′ (𝑦) = 0 (1) − (2) ↔ 2𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 − 1) + 𝑥 2 𝑦 − [𝑥 2 (𝑥 + 𝑦 − 1) + 𝑥 2 𝑦] ↔ 𝑥 (𝑥 + 𝑦 − 1)(2𝑦 − 𝑥 ) = 0

∎ 𝑥 = 0, ∀𝑦

∎ 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 → 𝑦 = 1 − 𝑥 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 (2) Ta được: 𝑥 2 (𝑥 + 𝑦 − 1) + 𝑥 2 𝑦 = 0 ↔ 𝑥 2 [𝑥 + (1 − 𝑥 ) − 1] + 𝑥 2 (1 − 𝑥 ) = 0

𝑦=1 =0 ↔ [𝑥=0 ↔ 𝑥 2 (1 − 𝑥 ) = 0 ↔ [𝑥1−𝑥=0 → → [𝑦=0 𝑥=1 2

𝑐ó 2 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀0 (0; 1), 𝑀1 (1; 0)

∎Lấy 2𝑦 − 𝑥 = 0 → 𝑥 = 2𝑦 thay vào (2) Ta được 4𝑦2 (2𝑦 + 𝑦 − 1) + 4𝑦 3 = 0

↔ 8𝑦3 + 4𝑦 3 − 4𝑦 2 + 4𝑦 3 = 0 ↔ 16𝑦 3 − 4𝑦2 = 0

↔ [ 𝑦=1 → [ 𝑥=1 → 𝑐ó 2 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀2 (0; 0), 𝑀3 ( 2 ; 4) 𝑦=0

4

1

𝑥=0 2

1

Vậy câu b có 4 điểm dừng 𝑴𝟎 (𝟎; 𝟏), 𝑴𝟏 (𝟏; 𝟎), 𝑴𝟐 (𝟎; 𝟎), 𝑴𝟑 ( ; 𝟒)𝛜𝐃 𝟏 𝟏

𝟐

+𝐴 = 𝑓𝑥"2 = 6 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 − 2𝑦

" = 3𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑥 +𝐵 = 𝑓𝑥𝑦

+𝐶 = 𝑓𝑦"2 = 2𝑥 2

∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2

 𝑀0 (0; 1 ) → ∆= 0 → hàm số không đạt cực trị  𝑀1 (1; 0) → ∆= − 1 < 0 → hàm số không đạt cực trị  𝑀2 (0; 0 ) → ∆= 0 → hàm số không đạt cực trị 3 𝐴= >0 1 1 1 8 → → hàm số đạt cực tiểu và 𝑓𝑐𝑡 = − 64  𝑀3 (2 ; 4) → { 1 ∆= > 0 8

c. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x, y) trong miền đóng D được giới hạn bởi

các đường thẳng 𝒙 = 𝟎; 𝒙 = 𝟖 + 𝟐; 𝒚 = −𝟏; 𝒚 = 𝟐. 𝐷 = {𝑥 = 0; 𝑥 = 10; 𝑦 = −1; 𝑦 = 2}. Có các điểm A(0;-1),B(0;2),C(10;-1),D(10;2) 𝜖D -Tìm điểm dừng 𝑓′(𝑥 ) = 0 2𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 − 1) + 𝑥 2 𝑦 = 0 +{ ′ →{ 2 𝑓 (𝑦) = 0 𝑥 (𝑥 + 𝑦 − 1) + 𝑥 2 𝑦 = 0

1 1

Từ câu b ta được 4 điểm dừng 𝑀0 (0; 1), 𝑀1 (1; 0), 𝑀2 (0; 0), 𝑀3 (2 ; )𝜖𝐷 4 7

-Xét trên biên

+𝑥 = 0 ↔ 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0 → 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ó đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 +𝑥 = 10 ↔ 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 100𝑦 2 + 900𝑦 𝑓 ′ (𝑥, 𝑦) = 0 → 200𝑦 + 900 = 0 → 𝑦 = − 9

9

2

Vậy có 1 điểm dừng 𝑁0 (10; − 2) không thuộc D

+ 𝑦 = −1 → 𝑓 (𝑥, 𝑦) = −𝑥 3 + 2𝑥 2

4 𝑓 ′ (𝑥, 𝑦) = 0 → −3𝑥 2 + 4𝑥 = 0 → {𝑥 = 3 𝑥=0

Vậy có 2 điểm dừng 𝑁1 ( 3 ; −1) , 𝑁2 (0; −1 )thuộc D 4

+𝑦 = 2 → 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 3 + 2𝑥 2

𝑓 ′ (𝑥, 𝑦) = 0 → 6𝑥 2 + 4𝑥 = 0 → 𝑥 = {

𝑥=−

2

3

𝑥=0

Vậy có 2 điểm dừng 𝑁3 (− 3 ; 2) 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝐷, 𝑁4 (0; 2)𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝐷 2

-Tính giá trị của hàm s ố tại các điểm dừng và biên: (x,y)

A(0;1)

B(0;2)

C(10;-1)

D(10;2)

f(x,y)

0

0

-800

2200

(x,y)

f(x,y)

𝑀2 (0; 0 ) 0

1 1 𝑀3 ( ; ) 2 4 −1 64

4 𝑁1 ( ; −1) 3 32 27

𝑁2 (0; −1) 0

𝑀0 (0; 1 )

𝑀1 (1; 0)

0

0

𝑁4 (0; 2) 0

Kết luận: 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑚𝑎𝑥 = 2200 tại D(10;2) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑚𝑖𝑛 = −800 tại C(10;-1) CÂU 3:

1 1

Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: 𝑄 = 5𝐾3 𝐿2 a. Hãy biểu diễn t ổng doanh thu, t ổng chi phí và tổng lợi nhuận theo K, L, cho biết giá của sản phẩm trên thị trường là 4$, giá lao động là 8$, giá tư bản là 15$ và công ty phải trả 50$ chi phí khác. b. Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là 12, giá thuê một đơn vị lao động là 1𝑎 và doanh nghiệp sản xuất với ngân sách cố định 1200. Vậy doanh nghiệp nên sử dụng các yếu tố đầu vào như thế nào để thu được sản lượng lớn nhất. Giải 1 1

Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: 𝑄 = 5𝐾3 𝐿2 8

a. Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận theo K, L, cho biết giá của sản phẩm trên thị trường là 4$, giá lao động là 8$, giá tư bản là 15$ và công ty phải trả 50$ chi phí khác. 1 1

1

1

− Hàm tổng doanh thu: 𝑇𝑅 = 𝑃. 𝑄 = 4.5𝐾 3 𝐿2 = 20𝐾 3 𝐿2

− Hàm tổng chi phí: 𝑇𝐶 = 𝑊𝐾 𝐾 + 𝑊𝐿 𝐿 = 15𝐾 + 8𝐿 + 50 1

1

− Hàm tổng lợi nhuận: 𝑇𝑃 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 20𝐾 3 𝐿2 − 15𝐾 − 8𝐿 − 50 b. Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là 12, giá thuê một đơn vị lao động là 𝟏𝒂 và doanh nghiệp sản xuất với ngân sách cố định 1200. Vậy doanh nghiệp nên sử dụng các y ếu tố đầu vào như thế nào để thu được sản lượng lớn nhất. − Hàm chi phí ∶ 𝑇𝐶 = 𝑊𝐾 𝐾 + 𝑊𝐿 𝐿 = 12𝐾 + 18𝐿 = 1200 1

1

− Tìm cực trị hàm 𝑄 = 5𝐾 3 𝐿2 với điều kiện 2K + 3L = 200

− Từ K + L = 100 → 𝐿 = 5

2

−3

2 3

200−2𝐾 2 .( 3 )

5

−

↔ .𝐾 .(

↔

3

1 5 −2 200−2𝐾 2 3 .( ) .𝐾 3 3 1 1 − 5 3 200−2𝐾 2 ( .𝐾 ) 3 3

5 200−2𝐾

↔ 3(

1 2

200−2𝐾

−3

↔ 3.𝐾

1

200−2𝐾 2 .( ) 3

2

5

3

1

1 200−2𝐾 2

5

1 3

Ta được: 𝑄 = 5. 𝐾 3 . (

𝑄 = 3.𝐾 ′

3

=

5

1 3

5

→ 𝐾 = 40 𝑚à 𝐿 =

5

1 3

3

1

200−2𝐾 − 2 3

3

)

200−2𝐾

= 𝐾 ( 3

200−2𝐾

)

3

3

)

1

200−2𝐾 − 2

5 1 .𝐾 3 3 2 − 𝐾 3

)= 𝐾 3

+2𝐾 (

) −3𝐾 ( 1

200−2𝐾

3

1

1

thay vào hàm sản xuất 𝑄 = 5. 𝐾 3 𝐿2 2

. (− 3)

1 2

−

)

→ 𝐿 = 40

𝑄"(40) = −0.0460 < 0 → ℎà𝑚 𝑠ố đạ𝑡 𝑐ự𝑐 đạ𝑖

Vậy doanh nghiệp cần sử dụng yếu t ố đầu vào 40 đơn vị tư bản;40 đơn vị lao động để thu được sản lượng l ớn nhất. CÂU 4:

Cho hàm 2 biến: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥

2 −𝑥𝑦

(2𝑥 2 + 1)

a. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số f(x, y). b. Tính 𝑓𝑥′′2 (0; 𝑎); 𝑓𝑦′′2 (0; 𝑎) Giải

a. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số 𝐟(𝐱, 𝐲) = 𝐞𝐱

∎𝑓𝑥′ = (𝑒 𝑥

2 −𝑥𝑦 ′

) . (2𝑥 2 + 1) + 𝑒 𝑥

2 −𝑥𝑦

. (2𝑥 2 + 1 )′ 9

𝟐 −𝐱𝐲

(𝟐𝐱 𝟐 + 𝟏)

= (2𝑥 − 𝑦). 𝑒 𝑥 −𝑥𝑦 . (2𝑥 2 + 1) + 𝑒 𝑥 −𝑥𝑦 . 4𝑥 2 2 = (4𝑥 3 + 2𝑥 − 2𝑥 2 𝑦 − 𝑦). 𝑒 𝑥 −𝑥𝑦 + 4𝑥. 𝑒 𝑥 −𝑥𝑦 2

2

= 𝑒𝑥

2 −𝑥𝑦

. (4𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 + 6𝑥 )

∎𝑓𝑦′ = (𝑒 𝑥

2 −𝑥𝑦 ′

) . (2𝑥 2 + 1) + 𝑒 𝑥

2 −𝑥𝑦

. (2𝑥 2 + 1)′

. (2𝑥 2 + 1 ) = 𝑒 𝑥 −𝑥𝑦 . (−2𝑥 3 − 𝑥 ) b. Tính 𝒇′′𝒙𝟐 (𝟎; 𝟖); 𝒇𝒚′′𝟐 (𝟎; 𝟖)

= −𝑥. 𝑒 𝑥

∎𝑓𝑥′′2 = (𝑒 𝑥

2 −𝑥𝑦

2 −𝑥𝑦 ′

= (2𝑥 − 𝑦). 𝑒 𝑥 = 𝑒𝑥

2 −𝑥𝑦

2

) . (4𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 + 6𝑥 ) + 𝑒 𝑥

2 −𝑥𝑦

. (4𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 + 6𝑥 ) + 𝑒 𝑥

(4𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 + 6𝑥)′

2 −𝑥𝑦

. (12𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 6)

. (8𝑥 4 − 8𝑥 3 𝑦 + 2𝑥 2 𝑦 2 + 24𝑥 2 + 2𝑦 2 − 12𝑥𝑦 + 6)

Khi x = 0; y = 8 → fx′′2 = 134 ∎𝑓𝑦′′2 = (𝑒 𝑥

= −𝑥. 𝑒 𝑥

2 −𝑥𝑦

2 −𝑥𝑦

2 −𝑥𝑦

)′. (−2𝑥 3 − 𝑥 ) + 𝑒 𝑥

. (−2𝑥 3 − 𝑥 )

2 −𝑥𝑦

. (−2𝑥 3 − 𝑥 )′

Khi x = 0; y = 8 → fy′′2 = 0 CÂU 5:

Giả sử một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa, biết hàm cầu của

doanh nghiệp đó là 𝑄𝐷 = 𝐷(𝑃), hàm tổng chi phí 𝑇𝐶 = 𝑇𝐶(𝑄). Trong đó: 𝑄𝐷 : lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp P : giá bán của hàng hóa TC: Chi phí của doanh nghiệp

Q : Sản lượng sản ph ẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại. a. Nêu phương pháp giải bài toán trên. b. Lấy một ví dụ minh họa (trừ các ví dụ trong bài tập và ví dụ giảng viên đã lấy trên lớp). Giải a. Nêu phương pháp giải bài toán trên: Bước 1: Lập các hàm kinh tế

+Hàm tổng doanh thu :TR=P.Q ( biết 𝑄𝐷 = 𝐷 (𝑃) → 𝑃 = 𝑃(𝑄)) +Hàm tổng chi phí : TC=TC(Q) +Hàm lợi nhu ận : 𝑇𝑃 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 𝑇𝑅 (𝑄) − 𝑇𝐶 (𝑄)

Bước 2: Tìm điểm dừng,cực trị hàm TP +𝑇𝑃′ (𝑄) = 0 → 𝑄0 +𝑇𝑃′′ (𝑄0 ) =? Bước 3:Kết luận

10

+Nếu 𝑇𝑃′′ (𝑄0 ) > 0 hàm đạt cực tiểu (không phải mức sản lượng cần tìm) +Nếu 𝑇𝑃′′ (𝑄0 ) < 0 hàm đạt cực đại →(mức sản lượng cần tìm) → Vậy để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại cần sản xuất 𝑄0 sản phẩm.

b. Lấy một ví dụ minh họa : Giả sử một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa, biết 1

hàm cầu của doanh nghiệp đó là 𝑄𝐷 = 580 − 𝑃 2

Hàm tổng chi phí 𝑇𝐶 = 𝑄3 − 8𝑄2 + 200𝑄 − 40

Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xu ất để lợi nhuận

tối đa. +Hàm tổng doanh thu ∶ 𝑇𝑅 = 𝑃. 𝑄 = (1160 − 2𝑄)𝑄 = 1160𝑄 − 2𝑄2 +Hàm tổng chi phí ∶ 𝑇𝐶 = 𝑄3 − 8𝑄2 + 200𝑄 − 40 + Hàm lợi nhuận : 𝑇𝑃 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶

= 1160𝑄 − 2𝑄2 − (𝑄3 − 8𝑄2 + 200𝑄 − 40)

= −𝑄3 + 6𝑄2 + 960𝑄 + 40

Tìm cực trị

𝑄1 = 20 +𝑇𝑃′ (𝑄) = 0 → −3𝑄2 + 12𝑄 + 960 = 0 → { 𝑄2 = −16(𝑙𝑜 ạ𝑖) +𝑇𝑃′′(𝑄) = −6𝑄 + 12

→ 𝑇𝑃′′ (20) = −108 < 0 → hàm đạt cực đại Vậy để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại cần sản xuất 20 sản phẩm.

11...