Tipos de discontinuidad, evitable, inevitable, etc. PDF

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Tipos de discontinuidad, evitable, inevitable de salto finito e infinito y ejercicios....

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Tipos de discontinuidad Discontinuidad evitable Es un tipo de discontinuidad que tiene una función en un punto, si existe el límite en ese punto pero este no coincide con el valor de la función o la imagen de la función no existe. Los límites laterales de la función son iguales entre sí, pero son diferentes al valor de la función en ese punto. Por lo tanto, la función tiene una discontinuidad evitable.

La función presenta una discontinuidad evitable porque los límites laterales en x=a valen lo mismo, pero la imagen de la función en ese punto no existe.

Discontinuidad inevitable de salto finito Tiene una función en un punto cuando los límites laterales de la función en ese punto no son iguales.

Los límites laterales de la siguiente función definida a trozos en el punto de cambio de definición son distintos, en consecuencia, la función tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en ese punto.

Discontinuidad inevitable de salto infinito Presenta una función en punto si alguno de los límites laterales en ese punto es infinito o no existe. El límite lateral por la izquierda de la siguiente función da un número real, pero el límite lateral por la derecha da infinito. De modo que la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito.

La función representada gráficamente tiene dos límites laterales que dan infinito y, por tanto, la función tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito.

2 ejercicios de discontinuidad

1. 𝑓(𝑥) =

𝑥 3 −1 𝑥−1

3

𝑙𝑖𝑚 𝑥→1

𝑙𝑖𝑚

𝑥 −1 0 = 𝑥−1 0 (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)

𝑥→1

𝑥−1 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 𝑥→1

Es una discontinuidad evitable.

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥−5 2 2 2 = =∞ = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→5 𝑥 − 5 5−5 0

x - 5=0 x=5 Dom f = R - {5}

2 2 2 =∞ = = 𝑥→5 𝑥 − 5 4,999 − 5 −0 2 2 2 = = 𝑙𝑖𝑚 =∞ 𝑥→1 𝑥 − 5 5,001 − 5 +0 Es una discontinuidad inevitable de salto infinito en x = 5. 𝑙𝑖𝑚

3 ejercicios de derivadas aplicando límites. 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ (𝑥 + ℎ)2 − 3 − (𝑥 2 − 3) 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 2 + 3 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 2 + 3 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ 2𝑥ℎ + ℎ2 + 3 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ ℎ(2𝑥 + ℎ + 3) 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim 2𝑥 + ℎ + 3 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim

ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim 2𝑥 + (0) + 3 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ )−𝑓(𝑥) ℎ

3(𝑥 + ℎ)2 + 2(𝑥 + ℎ) − (3𝑥 2 + 2𝑥) ℎ 3(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 2𝑥 + 2ℎ − 3𝑥 2 − 2𝑥 ℎ 3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 2𝑥 + 2ℎ − 3𝑥 2 − 2𝑥 ℎ

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 2ℎ ℎ ℎ(6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 2ℎ) ℎ ℎ(6𝑥 + 3ℎ + 2)

ℎ→0 ℎ 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 6𝑥 + 3ℎ + 2 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 6𝑥 + 3(0) + 2 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 2

3. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑥+ℎ )−𝑓(𝑥) ℎ

4(𝑥 + ℎ)2 − 3(𝑥 + ℎ) + 2 − (4𝑥 2 − 2𝑥 + 2) ℎ 4(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 3𝑥 − 3ℎ + 2 − 4𝑥 2 + 2𝑥 − 2 ℎ 4𝑥 2 + 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 3𝑥 − 3ℎ + 2 − 4𝑥 2 + 2𝑥 − 2 ℎ 4𝑥 2 + 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 3𝑥 − 3ℎ + 2 − 4𝑥 2 + 2𝑥 − 2

ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 𝑥 − 3ℎ ℎ ℎ(8𝑥 + 4ℎ − 𝑥 − 3) ℎ ℎ(8𝑥 + 4ℎ − 𝑥 − 3)

ℎ→0 ℎ 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 8𝑥 + 4ℎ − 𝑥 − 3 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 8𝑥 + 4(0) − 𝑥 − 3 ℎ→0

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 𝑥 − 3

ℎ

Referencias Discontinuidad de funciones. (2020). Recuperado de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/discont inuidad-de-funciones.html Nores, C. (2021). Tipos de discontinuidades. Funciones.xyz. Recuperado de https://www.funciones.xyz/tipos-de-discontinuidades/...