Continuidad y discontinuidad de una función PDF

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Este es un ensayo en equipo sobre la Continuidad y Discontinuidad de una función, como conocimiento previo a Cálculo Diferencial. ...

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Centro de Bachillerato Tecnológico industrial y de servicios No. 65

Matemáticas IV: CÁLCULO

PRESENTACIÓN INTEGRANTES:  PALATO BAÑUELOS LUZ ESTEFANÍA  RAMÍREZ GUTIÉRREZ LUIS ENRIQUE  RODRÍGUEZ MORALES ESTHER DOCENTE: ING. ARTURO SANTILLÁN VEGA

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN NOCIÓN DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.- Una función es continua si su gráfica presenta la ausencia de vacíos o saltos, es decir, que se traza sin despegar el lápiz del papel. Ejemplo: FUNCIÓN DISCONTÍNUA

DEFINICIÓN.- Una función condiciones siguientes: 1. 2. 3.

FUNCIÓN CONTÍNUA

es continua para el valor

si se cumplen las

existe o está definida. existe.

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Si una cualesquiera de estas condiciones no se satisface, la función es discontinua para el valor de . Ejemplo: Investigar si la función

es continua para

.

Primero se tiene que determinar para qué valores de la función está definido efectuando el análisis correspondiente, se observa que la función está definida para toda . De lo anterior tenemos que: Si

, para

Se satisface la primera condición, es decir: definida.

la función existe y está

Para la segunda condición, tenemos que: (Existe). Se observa que también se satisface. Para la tercera condición se tiene que:

Sí se satisface la tercera condición.

Al satisfacer las tres condiciones básicas, concluimos que la función continua para . La función

es continua en el punto

es

ya que:

1. 2. 3.

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La primera condición nos indica que una función es continua únicamente en puntos de su dominio de definición; por ejemplo, la función no es continua en √ puesto que es imaginario, por lo que la función no está definida en dicho punto. Una función es continua en un intervalo abierto o cerrado, cuando es continua en todos sus puntos, es decir, es continua cuando lo es en todos los puntos de dominio de definición; toda función polinomial es una función continua, también son funcionales continuas las expresiones de , y . Cuando el dominio de definición de una función es un intervalo cerrado segunda condición no se cumple en los extremos y . Una función 1. 2. 3.

es continua sobre un intervalo cerrado

es continua por la derecha en . es continua en cada punto del intervalo abierto es continua por la izquierda en .

, la

si: .

La función es continua ya que el dominio de definición es el intervalo √ ; si “ ” es un número cualquiera del intervalo abierto , el límite:

√

existe y es igual al

√

.

DISCONTINUIDAD.- La discontinuidad de una función puede ser “EVITABLE” y “NO EVITABLE”, por ejemplo: 1. Dada a) b)

se establece que es discontinua en el punto

, ya que:

no está definida, por anularse en el numerador y el denominador. La discontinuidad en es evitable si se puede hacer continuar redefiniendo en .

De lo anterior podemos hacer el siguiente análisis: Para

esta indeterminación se evita al factorizar la expresión

del numerador, es decir;

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resultando

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Las curvas representativas de y son iguales excepto que en el punto la primera presenta un “vacío” y la segunda trata en forma adecuada de llenar el “vacío” de la anterior. se establece que es discontinua en el punto

2. Dada a) b)

, ya que:

no está definida, por anularse en el denominador. no existe.

La discontinuidad en no es evitable ya que no existe límite, es decir, la función es continua en todos los puntos, excepto en , en el que representa una “Discontinuidad infinita”.

BIBLIOGRAFÍA: Garza O, Benjamín; Cálculo Diferencial; Interamericana de Servicios; DGETI, DGETAM, SEP; México, DF 1990; Pág.: 97—104 Una colaboración de Luis Enrique Ramírez Gutiérrez, Grupo: 4°B de Informática Vespertino para la exposición en la Asignatur a de Cálculo Diferencial e Integral. Éste documento es público, queda prohibido su uso con fines lucrativos o dolosos o de promoción personal. Queda prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio mecánico o electrónico, sin consentimiento por escrito del (los) colaborador (es).

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