Propiedades de Límites y Continuidad - Zill (FRAGMETO) PDF

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teoria del libro zill creado con un enfoque de matemática para estudiantes de primer año de ingeniería , este es solo un fragmento dedicado a los temas propiedades e los limites y continuidad...

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74 CAPÍTULO 2 Límite de una función

2.2

Teoremas sobre límites

Introducción La intención del análisis informal en la sección 2.1 fue proporcionarle una comprensión intuitiva de cuándo un límite existe o no. Sin embargo, no es aconsejable ni práctico, en ninguna instancia, llegar a una conclusión respecto a la existencia de un límite con base en una gráfica o tabla de valores numéricos. Debe ser posible evaluar un límite, o concluir su no existencia, de alguna forma mecánica. Los teoremas que se considerarán en esta sección establecen tales mecanismos. Las demostraciones de algunos de estos resultados se muestran en el apéndice. El primer teorema proporciona dos resultados básicos que se usarán en todo el análisis de esta sección. Teorema 2.2.1 i) lím c Sa x

ii) lím x Sa x

Dos límites fundamentales

c, donde c es una constante. a

Aunque ambas partes del teorema 2.2.1 requieren una demostración formal, el teorema 2.2.1ii) es casi tautológico cuando se plantea verbalmente: • El límite de x cuando x tiende a a es a. En el apéndice se proporciona una demostración del teorema 2.2.1i). Uso del teorema 2.2.1

EJEMPLO 1

a) A partir del teorema 2.2.1i), lím 10

10

xS2

y

lím p

p.

xS6

b) A partir del teorema 2.2.1ii), lím x

xS2

2

y

lím x xS0

0.

El límite de una constante por una función f es la constante por el límite de f cuando x tiende a un número a. Teorema 2.2.2

Límite de una función multiplicada por una constante

Si c es una constante, entonces lím c f (x)

c lím f(x).

xSa

xSa

Ahora es posible empezar a usar los teoremas combinados. Uso de los teoremas 2.2.1 y 2.2.2

EJEMPLO 2

A partir de los teoremas 2.2.1ii) y 2.2.2, a) lím 5x 5 lím x 5 . 8 40 xS8

xS8

b)

lím

xS 2

(

)

3 2x

3 2

lím x

xS 2

( ).( 3 2

2)

3.

El siguiente teorema es particularmente importante porque constituye un medio para calcular límites de manera algebraica.

2.2 Teoremas sobre límites

Teorema 2.2.3

Límites de una suma, un producto y un cociente

Suponga que a es un número real y que lím f (x) y lím g(x) existen. Si lím f (x) ⫽ L1 y x Sa x Sa x Sa lím g(x) ⫽ L2, entonces x Sa

i) lím [ f(x) xSa

g (x) ]

ii) lím [ f(x)g (x) ] xSa

iii) lím xSa

f(x) g(x)

lím f(x)

xSa

(lím f(x) )(lím g(x)) xSa

lím f(x) xSa

lím g(x) xSa

lím g(x)

xSa

L1 , L2 L2

L 2,

L1

xSa

L1L2, y

0.

El teorema 2.2.3 puede plantearse coloquialmente como • Si ambos límites existen, entonces i) el límite de una suma es la suma de los límites, ii) el límite de un producto es el producto de los límites y iii) el límite de un cociente es el cociente de los límites, en el supuesto que el límite del denominador no es cero. Nota: Si todos los límites existen, entonces el teorema 2.2.3 también es válido para límites laterales; es decir, la notación x S a en el teorema 2.2.3 puede sustituirse por x S a ⫺ o por x S a ⫹. Además, el teorema 2.2.3 puede extenderse a diferencias, sumas, productos y cocientes que implican más de dos funciones. Consulte el apéndice para ver una demostración del teorema 2.2.3. Uso del teorema 2.2.3 lím Evalúe (10x ⫹ 7).

EJEMPLO 3 x S5

Solución Por los teoremas 2.2.1 y 2.2.2, sabemos que lím 7 y lím 10x existen. Por tanto, a x S5 x S5 partir del teorema 2.2.3i), lím(10x

xS5

7)

lím 10x

lím 7

xS5

xS5

lím7

10 lím x xS5

10 . 5

xS5

7

57.

Límite de una potencia El teorema 2.2.3ii) puede usarse para calcular el límite de una potencia entera positiva de una función. Por ejemplo, si lím f (x) ⫽ L, entonces por el teox Sa rema 2.2.3ii) con g (x) ⫽ f (x), lím [ f(x) ] 2 xSa

lím[ f(x) . f (x)]

xSa

(lím f(x))( lím f(x)) xSa

xSa

L2.

Por el mismo razonamiento es posible aplicar el teorema 2.2.3ii) al caso general en que f(x) es un factor n veces. Este resultado se plantea en el siguiente teorema. Teorema 2.2.4

Límites de una potencia

Sean lím f (x) ⫽ L y n un entero positivo. Entonces x Sa

lím [ f(x) ] n xSa

f(x)] n [ lím xSa

Ln.

Para el caso especial f(x) ⫽ xn, el resultado proporcionado en el teorema 2.2.4 produce lím x n xSa

an.

(1)

75

76 CAPÍTULO 2 Límite de una función

Uso de (1) y el teorema 2.2.3

EJEMPLO 4

Evalúe b) lím 5 . xS4 x 2

3

a)

lím x

x S10

Solución a) Por (1), 3 3 lím x  10  1 000.

x S10

2 b) Por el teorema 2.2.1 y (1) sabemos que lím 5  5 y lím x  16 x S4 x S4 cuencia, por el teorema 2.2.3iii), lím 5 5 5 xS4 5 . lím 2 2 xS4 x 16 lím x 2 4 xS4

0. En conse-

Uso del teorema 2.2.3 2 lím Evalúe (x  5x  6).

EJEMPLO 5 x S3

Solución Debido a los teoremas 2.2.1, 2.2.2 y (1), todos los límites existen. En consecuencia, por el teorema 2.2.3i), lím (x 2 xS3

5x

lím x 2

6)

lím 5x

5.3

32

lím 6

xS3

xS3

xS3

6

0.

Uso de los teoremas 2.2.3 y 2.2.4 Evalúe lím (3x  1)10 .

EJEMPLO 6 x S1

Solución

Primero, por el teorema 2.2.3i) se observa que lím (3x  1)  lím 3x  lím 1  2. x S1

x S1

x S1

Luego, por el teorema 2.2.4 se concluye que 1)10

lím (3x xS1

1)]10

(3x [ lím xS1

210

1 024.

Límite de funciones polinomiales Algunos límites pueden evaluarse por sustitución directa. Para calcular el límite de una función polinomial general pueden usarse (1) y el teorema 2.2.3i). Si f (x)  cn x n  cn1 x n1  . . .  c1x  c0 es una función polinomial, entonces lím f(x)

xSa

(

lím cn x n

xSa

lím cn x n xSa

cn a

n

cn 1 x n

...

1

lím cn 1x n

1

c1x

...

cn 1 a

...

c1a

)

lím c1x xSa

xSa

n 1

c0

c 0.

lím c0 xSa

d f está definida en x  a y este límite es f(a)

En otras palabras, para evaluar el límite de una función polinomial f cuando x tiende a un número real a, sólo es necesario evaluar la función en x  a: lím f(x)  f(a).

(2)

x Sa

Al revisar el ejemplo 5 observamos que lím f (x), donde f (x) = x2 - 5x + 6 está dada por x S3 f(3) = 0. Debido a que una función racional f es el cociente de dos polinomios p(x) y q(x), por (2) y por el teorema 2.2.3iii) se concluye que el límite de una función racional f (x)  p(x)>q(x) también puede encontrarse al evaluar f en x  a: lím f(x) xSa

lím

xSa

p( x) q( x)

p( a) . q( a)

(3)

2.2 Teoremas sobre límites

77

Por supuesto, es necesario agregar a (3) el siempre importante requisito de que el límite del denominador no sea cero; es decir, q(a) 0. Uso de (2) y (3) 3x 4 Evalúe lím . xS 1 8x 2 2x 2

EJEMPLO 7

3x  4 es una función racional, de modo que si se identifican los 8x 2  2x  2 polinomios p(x)  3x  4 y q(x)  8x 2  2x  2 , entonces por (2) Solución f (x) 

lím p (x)  p (1)  7

lím q(x)  q (1)  4.

y

x S1

x S1

Puesto que q(1)  0 , por (3) se concluye que 3x

lím

xS 1

8x

2

p( 1) q( 1)

4 2x

2

7 4

7 . 4

Usted no debe quedarse con la impresión de que siempre es posible encontrar el límite de una función al sustituir el número a directamente en la función. Uso del teorema 2.2.3

EJEMPLO 8

Evalúe lím xS1

1

x x2

x

2

.

Solución En este límite la función es racional, pero si en la función sustituimos x  1, se observa que el límite tiene la forma indeterminada 0兾 0. No obstante, si primero se simplifica, después puede aplicarse el teorema 2.2.3iii): lím

xS1

1

x x2

2

x

lím xS1 lím xS1

x 1 1)(x

(x

d

2)

cancelar es válido en el supuesto que x  1

1 2

x

lím 1

1 . 3

xS1

lím (x

2)

xS1

Algunas veces es posible afirmar a primera vista cuándo no existe un límite. Teorema 2.2.5

Un límite que no existe

Sean lím f(x)  L1 x Sa

0 y lím g(x)  0. Entonces x Sa

lím

x Sa

f(x) g(x)

no existe. DEMOSTRACIÓN Se proporcionará una demostración indirecta de este resultado, basada en el teorema 2.2.3. Suponga que lím f(x)  L1 0 y lím g(x)  0, y también que lím ( f (x)兾g (x)) x Sa x Sa x Sa existe y que es igual a L2. Entonces f(x) L1 lím f(x) lím Qg(x) . g(x) 0, R, g(x) xSa xSa

(lím g(x)) Qlím g(x)R f(x)

xSa

xSa

0 . L2

0.

El teorema se ha demostrado por contradicción de la hipótesis L1  0 .

Si un límite de una función racional tiene la forma indeterminada 0兾0 cuando x S a, entonces por el teorema del factor del álgebra x  a debe ser un factor tanto del numerador como del denominador. Estas cantidades se factorizan y se cancela el factor x  a.

78 CAPÍTULO 2 Límite de una función

Uso de los teoremas 2.2.3 y 2.2.5

EJEMPLO 9

Evalúe a)

x 2 10x 2 4x xS5 x

x

lím

5

xS5 x

25 5

b ) lím

c) lím xS5

x2

x 5 . 10x 25

Solución Cada función en los tres incisos del ejemplo es racional. a) Puesto que el límite del denominador x es 5, pero el límite del denominador x  5 es 0, concluimos del teorema 2.2.5 que el límite no existe. b) Al sustituir x  5, tanto el denominador como el numerador se hacen iguales a 0, de modo que el límite tiene la forma indeterminada 0兾 0. Por el teorema del factor del álgebra, x  5 es un factor tanto del numerador como del denominador. Así, lím

xS5

x2 x2

10x 4x

25 5

xS5 (x

lím xS5

x x

0 6 c)

5)2 d se cancela el factor x - 5 5)(x 1) 5 1

(x

lím

d el límite existe

0.

De nuevo, el límite tiene la forma indeterminada 0兾 0. Después de factorizar el denominador y cancelar los factores, por la manipulación algebraica x 5 10x 25

lím

xS5 x 2

lím xS5

5 5)2

x (x 1

lím

xS5 x

5

se ve que el límite no existe puesto que el límite del numerador en la última expresión ahora es 1, pero el límite del denominador es 0. Límite de una raíz El límite de la raíz n-ésima de una función es la raíz n-ésima del límite siempre que el límite exista y tenga una raíz n-ésima real. El siguiente teorema resume este hecho. Teorema 2.2.6

Límite de una raíz

Sean lím f(x)  L y n un entero positivo. Entonces lím 2 f(x)

x Sa

n

xSa

2lím f(x)

2L,

n

n

xSa

en el supuesto que L  0 cuando n es par. Un caso especial inmediato del teorema 2.2.6 es lím 2x

2 a, n

n

en el supuesto que a  0 cuando n es par. Por ejemplo, lím1x xSa

xS9

EJEMPLO 10

Evalúe lím

x S2

Solución que

x 1>2 [ lím xS9 ]

91>2

3.

3 1 x . 10

Uso de (4) y del teorema 2.2.3

x 2x

Puesto que lím (2x  10)  6 x S8

x 8 2x

lím

xS

(4)

1x 10 3

lím x

xS 8

1>3

[ xSlím8 x ]

lím (2x

xS 8

0, por el teorema 2.2.3iii) y (4) observamos

10)

8

( 8)1>3 6

6 6

1.

Cuando el límite de una función algebraica que implica radicales tiene la forma indeterminada 0兾 0, algo que puede intentarse es racionalizar el numerador o el denominador.

2.2 Teoremas sobre límites EJEMPLO 11

Racionalización de un numerador

Evalúe lím 2x 2 x S0

x2

4

2.

(x 2 4) 2 por inspección vemos que el límite 2x 2 4 2lím Solución Puesto que lím xS0 x S0 dado tiene la forma indeterminada 0> 0. Sin embargo, al racionalizar el numerador obtenemos lím

2x 2

xS0

4 x

2

lím xS0

2

lím xS0

lím xS0

2 . 2x 2 x 2x 2 2 (x 4) 4

2x 2

4

2

x 2A 2x 2

4

2B

4

2B

x2

x 2A 2x 2

4

2

4

2

d se cancelan las x

el límite ya 1 d . no es 0> 0 2x 2 4 2 Ahora ya es posible que apliquemos los teoremas 2.2.3 y 2.2.6:

lím xS0

lím

xS0

2x 2

4

2

lím

x2

xS0

2x

1 2

2lím (x

4 lím 1

1 2

2

xS0 2

lím2

4)

xS0

xS0

1 . 4

2

En caso de que alguien se pregunte si puede haber más de un límite de una función f (x) cuando x S a, para que quede registro se plantea el último teorema. Teorema 2.2.7

Existencia implica unicidad

Si lím f (x) existe, entonces es único. x Sa

lím xS a

79

NOTAS DESDE EL AULA

En matemáticas es tan importante saber lo que un teorema o una definición no dice, así como saber lo que dice. i) La propiedad i) del teorema 2.2.3 no dice que el límite de una suma siempre es la suma de los límites. Por ejemplo, lím (1兾x) no existe, de modo que x S0

lím c

xS0

1 x

1 d x

lím

1

xS0 x

1 lím . xS0 x

A pesar de ello, puesto que 1>x  1>x  0 para x  0, el límite de la diferencia existe. lím c xS0

1 x

1 d x

lím 0 xS0

0.

ii) En forma semejante, el límite de un producto puede existir y no obstante no ser igual al producto de los límites. Por ejemplo, x兾x  1, para x 0, y así 1 lím Q x . R x

xS0

1 lím xS0

xS0

xS0

1 lím Q x . R x

pero

puesto que lím (1兾x) no existe. x S0

1

(lím x) Qlím x R 1

xS0

En la sección “Notas desde el aula”, al final de la sección 2.1, vimos este límite en la ecuación (12).

80 CAPÍTULO 2 Límite de una función

iii) El teorema 2.2.5 no afirma que el límite de un cociente no existe cuando el límite del denominador es cero. El ejemplo 8 es un contraejemplo de esa interpretación. No obstante, el teorema 2.2.5 establece que el límite de un cociente no existe cuando el límite del denominador es cero y el límite del numerador no es cero.

Ejercicios 2.2

Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-8.

Fundamentos En los problemas 1-52, encuentre el límite dado, o concluya que no existe. lím 15 1. xS 4

4. lím(3x

5. lím x 2

6. lím( x 3) 4x

xS 1

2x x 11. lím(3t tS1

s2 s

17. lím 12x xS 1

19. lím

tS1 t 2

1t t

2)

xS6

x 3)135

16. lím xS2

5

29. lím

t

3

tS1 t 3

31. lím

(x

xS0

33. lím c

x2

3x x

xS0

34. lím c xS2

35. lím xS3

22. lím

2

2x

3)2

(x

2)36

1x)

3

5u

xS1.5

4) 1

xS 2

6 2x

8

(x 7 0)

1u

5 1

52. lím

4 1x

u

uS5

y y

h)3

4

xS1

x

2

6g(x) ]

1 f ( x) f (x) 2g(x)

xSa

1

3 4 1x

r S1

4)99(x 2

2(r 2

3 2(5r

3 5 15 1

xSa A g(x)

56. lím

f ( x)

[ f (x) ] 2 4[ g(x) ] 2 xSa f (x) 2g(x) 6x 3 1 ,a 60. lím 2 xSa x f (x) g(x) 58. lím

Piense en ello

6

d

38. lím

1]

xSa

En los problemas 61 y 62, use el primer resultado para encontrar los límites en los incisos a)-c). Justifique cada paso de su trabajo citando la propiedad idónea de los límites. x 100 1 61. lím 100 xS1 x 1 (x 100 1)2 x 100 1 x 50 1 a) lím 2 b) lím c) lím xS1 (x xS1 x xS1 x 1 1 1)2 sen x 1 x 2x 8x 2 sen x 1 cos2x a) lím b) lím c) lím 2 xS0 sen x xS0 xS0 x x sen x 63. Use lím 1, para mostrar que lím sen x 0. xS0 xS0 x xS0

xS3

1

54. lím [ f (x) ] 3

62. lím

36. lím(x

2xu

1 46. lím [ (1 hS0 h

1x

59. límx f(x)g(x)

2x 3)

32. lím x 1x

1 b x

xSa g(x)

3x 9 1.5

xS0

1 d x

55. lím

57. lím xSa

30. lím x 3(x 4

2

24

6 36

2x 2 x

64

4)1>3

2 5 b x

xS 1

50. lím

xSa

8

2x

125 11

42. lím a8x

44. lím 2u2x 2

1 1

53. lím [ 5f (x)

2

1 1

xS 3 4x 2

1t t

tS2

En los problemas 53-60, suponga que lím f (x)  4 y lím g(x) x Sa x Sa  2. Encuentre el límite dado, o concluya que no existe. 5x

u

26. lím

1)3

x2

10x 37. lím xS10A 2x ...