Sesión 3 Continuidad en un punto, interpretación geométrica y discontinuidad PDF

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Cuando se dibujan los valores de una función, ya sea generados en un laboratorio o recopilados
en el campo, es frecuente que los puntos se unan mediante una curva continua para mostrar los
valores de la función en los tiempos que no se midieron (figura 1.12). Al hacerlo, suponemos
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Juan Carlos Pérez Trinidad Dr. Alejandro Palma Almendra. Otoño 2020 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

UNIDAD 1: Límites y continuidad Sesión 3. Viernes 21 de agosto 2020 Continuidad en un punto, interpretación geométrica y discontinuidad Cuando se dibujan los valores de una función, ya sea generados en un laboratorio o recopilados en el campo, es frecuente que los puntos se unan mediante una curva continua para mostrar los valores de la función en los tiempos que no se midieron (figura 1.12). Al hacerlo, suponemos que estamos trabajando con una función continua, de manera que los resultados varían de forma continua de acuerdo con los datos, en lugar de “saltar” de un valor a otro sin tomar en cuenta los valores intermedios. El límite de una función continua cuando x se aproxima a a puede encontrarse con sólo calcular el valor de la función en a. Cualquier función 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuya gráfica pueda trazarse sobre su dominio con un movimiento ininterrumpido, es decir, sin levantar el lápiz de la hoja de papel, es un ejemplo de función continua. A continuación definiremos con más precisión qué significa que una función sea continua. También estudiaremos las propiedades de las funciones continuas.

Figura 1.12 Puntos marcados por una curva sin ruptura para los datos experimentales 𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 , … para un objeto cayendo.

1. Continuidad en un punto Para entender la continuidad es necesario considerar una función como la de la figura 1.13. Así también los límites de esta. Ejemplo 1 Análisis de la continuidad de una función. Encontrar los puntos en los que la función f de la figura 1.13 es continua y los puntos en que es discontinua.

Solución A continuación investigaremos lo límites de la función: En 𝑥 = 0:

Figura 1.13 1

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Juan Carlos Pérez Trinidad Dr. Alejandro Palma Almendra. Otoño 2020 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla lim 𝑓(𝑥) = 1,

𝑥→0+

lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) no existe. La función definida a la izquierda de 𝑥 = 0.

𝑥→0−

𝑥→0

En 𝑥 = 1: lim− 𝑓(𝑥) = 0, aunque 𝑓(1) = 1, 𝑥→1

lim 𝑓(𝑥) = 1,

𝑥→1+

lim 𝑓(𝑥) = 1 no existe. Los límites laterales derecho e izquierdo no son iguales. 𝑥→1

En 𝑥 = 2: lim− 𝑓(𝑥) = 1, 𝑥→2

lim 𝑓(𝑥) = 1,

𝑥→2+

lim 𝑓(𝑥) = 1, aunque 𝑓(2) = 2. 𝑥→2

En 𝑥 = 3: lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(3) = 2. 𝑥→3

𝑥→3

𝑥→3

En 𝑥 = 4: lim− 𝑓(𝑥) = 1, aunque 𝑓(4) ≠ 1, 𝑥→4

lim 𝑓(𝑥) y lim 𝑓(𝑥) no existen. La función no está definida a la derecha de 𝑥 =4.

𝑥→4 +

𝑥→4

En cualquier otro punto 𝑐 en [0,4], 𝑓(𝑥) tiene limite 𝑓(𝑐). Entonces: La función f es continua en todos los puntos de su dominio [0,4], excepto en 𝑥 = 1, 𝑥 = 2 y 𝑥 = 4. En estos puntos de la gráfica se dan rupturas. Observe la relación entre el límite de f y el valor de f en cada punto del dominio de la función. Puntos en los que f es continua: En 𝑥 = 0, En 𝑥 = 3,

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(0).

𝑥→0+

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(3).

𝑥→3

En 0 < 𝑐 < 4, 𝑐 ≠ 1,2, lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). 𝑥→𝑐

Puntos en los que f es discontinua: En 𝑥 = 1,

lim 𝑓(𝑥) = 1 no existe.

𝑥→1

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En 𝑥 = 2,

lim 𝑓(𝑥) = 1, pero 1 ≠ 𝑓(2).

𝑥→2

En 𝑥 = 4,

lim 𝑓(𝑥) = 1, pero 1 ≠ 𝑓(4).

𝑥→4 −

En 𝑐 < 0, 𝑐 > 4, estos puntos no están en dominio de f. Para definir la continuidad en un punto del dominio de una función, necesitamos definir la continuidad en un punto interior (lo cual involucra un límite bilateral) y la continuidad en un punto extremo (lo cual involucra un límite lateral) (figura 1.14).

Figura 1.14 Continuidad en los puntos 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Definición (1.6) Continuidad en un punto: Punto interior: Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en un punto interior 𝑐 de su dominio si lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐

Punto extremo: Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en un punto extremo 𝒂 o es continua en un punto extremo derecho 𝒃 de su dominio si lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) o lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏), respectivamente.

𝑥→𝑎 +

𝑥→𝑏

Si una función f no es continua en un punto 𝑐, decimos que f es discontinua en 𝑐 y que 𝑐 es un punto de discontinuidad de f. Observe que no es necesario que 𝑐 esté en el dominio de f. Una función f es continua por la derecha (o continua desde la derecha) en un punto 𝑥 = 𝑐 de su dominio si lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). Por otro lado, es continua por la izquierda (o continua desde 𝑥→𝑐

la izquierda) en 𝑐 si lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). Por lo tanto, una función es continua en el punto extremo 𝑥→𝑐

izquierdo 𝑎 de su dominio si es continua por la derecha en 𝑎, y es continua en el punto extremo derecho 𝑏 de su dominio si es continua por la izquierda en 𝑏. Una función es continua en un punto interior 𝑐 de su dominio si y sólo si es, al mismo tiempo, continua por la derecha y continua por la izquierda en 𝑐 (figura 1.14).

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Ejemplo 2 Una función continua en todo su dominio. La función 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2 es continua en todos los puntos de su dominio, [−2,2] (figura 1.15), incluyendo 𝑥 = −2, donde f es continua por la derecha y 𝑥 = 2, donde f es continua por la izquierda.

Figura 1.15 Una función continua en todo su dominio. Ejemplo 3 La función escalonada unitaria tiene una discontinuidad de salto. La función escalonada unitaria U(x), graficada en la figura 1.16, es continua por la derecha en 𝑥 = 0, pero no es ni continua por la izquierda ni continua en el punto. Tiene una discontinuidad de salto en 𝑥 = 0. Figura 1.16 Una función continua por la derecha, pero no por la izquierda, el origen. Hay una discontinuidad en ese punto.

A continuación se resumen las condiciones que deben cumplirse para la continuidad en un punto.

Para la continuidad lateral y la continuidad en un punto extremo, los límites de las condiciones 2 y 3 deben reemplazarse por los límites laterales apropiados.

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Funciones continuas Una función es continua en un intervalo si y sólo si es continua en todos los puntos del mismo. Por ejemplo, la función semicírculo graficada en la figura 1.15 es continua en el intervalo [–2,2], que es su dominio. Una función continua es aquella que es continua en todos los puntos de su dominio, aunque no es necesario que lo sea en todos los intervalos. Por ejemplo, y = 1/x no es continua en [–1, 1] (figura 1.17) pero sí lo es en su dominio (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Figura 1.17 La función y = 1/x es continua en todo valor de x excepto en 𝑥 = 0. Tiene un punto de discontinuidad 𝑥 = 0.

Ejemplo 4 Identificación de funciones continuas. (a) La función y = 1/x (figura 1.17) es continua, porque es continua en todos los puntos de su dominio. Sin embargo, tiene un punto de discontinuidad en x = 0, ya que no está definida ahí. (b) La función identidad f (x) = x y las funciones constantes son continuas en toda la recta real. Las combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas, siempre y cuando estén definidas, es decir son continuas en su dominio.

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Funciones compuestas Todas las composiciones de funciones continuas son continuas. La idea es que si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑐 y 𝑔(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑓(𝑐), entonces 𝑔 ∘ 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑐 (figura 1.18). En este caso, el límite cuando 𝑥 → 𝑐 es 𝑔(𝑓(𝑐)) .

Figura 1.18 El teorema del valor intermedio para funciones continuas Las funciones que son continuas en intervalos tienen propiedades que las hacen particularmente útiles en matemáticas y en sus aplicaciones. Una de éstas es la propiedad del valor intermedio. Se dice que una función tiene la propiedad del valor intermedio si siempre que toma dos valores también toma todos los valores entre esos dos. El teorema del valor medio para funciones continuas: Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) que s continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] toma todos los valores entre 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏). En otras palabras, si 𝑦0 es cualquier valor entre 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏), entpnces 𝑦0 = 𝑓(𝑐) para algún 𝑐 en [𝑎, 𝑏].

Geométricamente, el teorema del valor intermedio dice que cualquier recta horizontal y = y0 que cruza el eje y entre los números f (a) y f (b) cruzará la curva y = f (x) al menos una vez sobre el intervalo [a, b]. 6

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Juan Carlos Pérez Trinidad Dr. Alejandro Palma Almendra. Otoño 2020 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla La continuidad de f en el intervalo es esencial para el teorema del valor medio par funciones continuas. Si f es discontinua aunque sea en un solo punto, la afirmación del teorema podría no cumplirse. 2. Actividad: Investigar la continuidad de las funciones de acuerdo como se indica en cada caso. El envío se hará como máximo antes de la próxima sesión al correo [email protected]. En los siguientes ejercicios diga si la función graficada es continua en [-1,3]. Si no lo es, explique dónde falla la continuidad y por qué. i

ii

Los ejercicios siguientes son acerca de la función, cuya gráfica se muestra en la figura siguiente:

Responda: iii a) ¿𝑓(−1) existe? b) ¿ lim+ 𝑓(𝑥) existe?

c) ¿lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(1)? 𝑥→1

d) ¿Es 𝑓 continua en 𝑥 = 1?

𝑥→−1

c) ¿ lim + 𝑓(𝑥) = 𝑓(−1)? 𝑥→−1

d) ¿Es 𝑓 continua en 𝑥 = −1? iv a) ¿𝑓(1) existe? b) ¿lim 𝑓(𝑥) existe?

v

a) ¿Está 𝑓 definida en 𝑥 = 2? b) ¿Es 𝑓 continua en 𝑥 = 2?

vi ¿En qué valores de 𝑥 es continua 𝑓?

𝑥→1

BIBLIOGRAFÍA DE LA MATERIA: 1. Stewart, J. Cálculo de una variable Trascendentes tempranas, Thompson Editores, México, 4a Edición, 2001. 2. Larson, R.E., Hostetler R.P., Edwards. Cálculo y Geometría Analítica, vol.1, Editorial Mc. Graw Hill, España, 6a Edición, 1999. 7

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3. Leithold, L., El Cálculo. Editorial Harta, México. 7a Edición. 1998. 4. Finney, Jr. G. B., Finney, R.L. Cálculo de una variable, Editorial Addison Wesley Longman, 9a Edición, México, 1999. Complementaria: 5. Goldstein, Lay, Schneider, Cálculo y sus Aplicaciones, Editorial Prentice Hall. 4 a Edición, 1996. 6. Swokowski, E. W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 2a Edición, 1989.

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