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Teoría de series....

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Series temporales

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Una serie temporal es una variable cuya evolución se sigue a lo largo del tiempo. Para obtenerla tomaremos observaciones de la variable a intervalos regulares de tiempo.

Series temporales 

Las variables/series pueden ser económicas, financieras o de otros tipos ya que la técnica se utiliza en muchas discicplinas. Unos ejemplos serían: –

–

En análisis macroeconómico: estaremos interesados en estudiar y prever la evolución de:  los precios  la producción  exportaciones y otras muchas variables de coyuntura. En finanzas : es importante prever la evolución de:  Indicadores macroeconómicos  Series financieras como, por ejemplo, evolución del índice de la bolsa de Nueva York.

Series temporales –

En Energía interesa prever: 



–

El nivel de los embalses para saber la cantidad de agua esperable en el futuro. Demanda de potencia eléctrica en cada momento

En demografía es importante conocer el número de nacidos o fallecidos en un país.

Características de una serie temporal Las características básicas de una serie temporal son:



Periodicidad 2.Tendencia 3.Variabilidad-Volatilidad 4.Ciclo estacional 5.Combinación de características 1.

Serie estacionaria

Periodicidad Se define la periodicidad de la serie como cada cuanto tiempo se toman los datos. Por ejemplo: Periodicidad anual: Se toma el dato una vez al año. Periodicidad mensual: Se toma el dato una vez al mes obteniéndose 12 datos al año. Periodicidad trimestral: se toma el dato una vez al trimestre obteniéndose 4 datos al año. Otras periodicidades: semestrales (2 datos al año) semanales (52 datos al año) diarias (365 datos al año) etc.

Periodicidad La serie de Temperaturas en La Coruña tiene periodicidad mensual. La serie de Tasas de Actividad masculina en España tiene periodicidad trimestral. Procede de la Encuesta de Población Activa que cada trimestre realiza el INE. La serie del Indice Nikkei tiene periodicidad mensual

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Tendencia



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Una serie tiene tendencia cuando su valor no permanece en un rango constante. Cuando la serie tiene tendencia crece o decrece a largo plazo.

Tendencia creciente:

Serie con tendencia 80

60

40

20 200

220

240

260

280

300

Serie sin tendencia

Serie sin tendencia (X 0,001) 38 18 -2 -22 -42 0

100

200

300

400

Tasa de actividad masculina en España Tasa de actividad masculina 77 74 71 68 65 62 Q3/76

Q3/81

Q3/86

Q3/91

Q3/96

Q3/01

Q3/06

Tendencia decreciente que parece haberse estabilizado en los últimos años. La bajada se debe al descenso de la edad de jubilación, y a que los jóvenes se incorporan más tarde al mercado laboral por el incremento de estudiantes universitarios.

Tasa de actividad masculina en España Tasa de actividad masculina 77 74 71 68 65 62 Q3/76

Q3/81

Q3/86

Q3/91

Q3/96

Q3/01

Q3/06

La tasa de desempleo elevada que ha tenido España desde 1978 influye. A partir 1996 el desempleo ha disminuido, y no hay ya cambios sustanciales en las edades de jubilación e incorporación al mercado laboral. Esto se refleja en la zona constante de la serie. Finalmente la incorporación al mercado laboral español de los numerosos inmigrantes llegado a partir de 1999 se refleja en la subida final.

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Volatilidad-Varianza 

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Se dice que una serie es homocedástica cuando su variabilidad (volatilidad) es constante a lo largo del tiempo. Cuando la volatilidad varía a lo largo del tiempo, la serie es heterocedástica. La variabilidad se refiere al “grosor” de la serie, y una serie puede tener varianza constante aunque sea muy “gruesa”

Heterocedástica

Serie heterocedástica 2,1 1,7 1,3 0,9 0,5 0,1 -0,3 0

100

200

300

400

500

Homocedástica

Serie homocedástica (X 0,001) 43 33 23 13 3 -7 -17 0

100

200

300

400

500

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Ciclo estacional El ciclo estacional aparece únicamente en series de periodicidad menor que la anual. Es decir en las que se toma más de un dato al cabo del año.

El ciclo estacional es debido a la diferencia de actividad que se produce debido a la estacionalidad de la tierra y que tiene reflejo en las actividades económicas, físicas o biológicas.

Temperaturas medias en La Coruña desde Agosto de 1994. Periodicidad mensual

Temperaturas en La Coruña 32 28 24 20 16 12 8/94

8/96

8/98

8/00

Paro Registrado en España. Tiene periodicidad mensual.. Paro registrado en España 16500 14500 12500 10500 8500 6500 1/88

1/92

1/96

1/00

1/04

Gráficos estacionales: para estudiar la estacionalidad de la serie

1. 2. 3. 4.

Gráfico de descomposición estacional Gráfico de índices estacionales Gráfico de subseries anuales. Estos gráficos en Statgraphics

Gráfico de descomposición estacional









Se va a realizar para las temperaturas en La Coruña. Se construye tomando el valor medio de todos los Agostos y trazando una línea horizontal en ese valor (23ºC). Eso se repite para todos los meses y así se obtienen las lineas horizontales que representan el ciclo estacional. Además, sobre la línea de agostos, se dibuja cada uno de los agostos. – Así, si la serie tuviera tendencia y ciclo, el ciclo se vería en las lineas horizontales y la tendencia en los puntos dibujados en torno a estas lineas.

Gráfico de descomposición estacional

Seasonal Subseries Plot Temperatura en La Coruña

temperatur

32 28 24 20 16 12 0

3

6

9

Season

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12

15

Gráfico de índices estacionales (PARO REGISTRADO) Este Gráfico presenta unos índices para cada mes que suman 100. En este caso se observa claramente que la economía española genera mucho trabajo durante los meses de primavera y verano. Esto es debido a las actividades agrícola y turística.

Paro Registrado en España seasonal index

105 103 101 99 97 95 0

3

6

9

12

15

season

Volver

Gráfico de subseries anuales

Annual Subseries Plot for Temperatura en La Coruña Cycle 1 2 3 4 5 6

temperatur

32 28 24 20 16 12 0

3

6

9

12

15

Season

Este gráfico dibuja los valores obtenidos cada año y superpone unos años sobre otros

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Vamos a hacerlos

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Combinación de caracteristicas:





Las series pueden tener simultáneamente Tendencia, Heterocedasticidad y Ciclo Estacional. Veamos algunos ejemplos: 1. 2.

Paro registrado en España Consumo de Champagne en USA

Paro registrado Paro registrado en España 16500 14500 12500 10500 8500 6500 1/88

1/92

1/96

1/00

1/04

1. La serie se toma con periodicidad mensual y se aprecia claramente el ciclo estacional de orden 12. 2. Además tiene tendencia decreciente salvo en el periodo 1993/1995 en que tuvo tendencia creciente.

Consumo de Champagne en USA

Consumo de Champagne en USA 15 12 9 6 3 0 1/80

1/82

1/84

1/86

1/88

Se observa de nuevo el ciclo estacional de orden 12 y la serie es heterocedástica.

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Definición de series estacionarias Una serie es estacionaria si:



1.

No tiene tendencia

2.

Es homocedástica

3.

No tiene ciclo estacional

Serie Homocedástica

Serie sin tendencia (X 0,001) 38

3,6 2,6

18

1,6

-2

0,6 -0,4

-22

-1,4 -2,4

-42 0

100

200

300

400

0

20

40

60

80

100

120

Cómo volver estacionaria una serie que no lo es:

1. 2. 3. 4.

La serie tienen tendencia La serie es heterocedástica La serie tiene un ciclo estacional. En Statgraphics

Seguimos

La serie tiene tendencia Si la serie tiene tendencia se le quita estudiando, en lugar de la serie original una nueva serie construida restando a cada dato el anterior. Serie con tendencia 19

Col_3

15 11

zt

7 3 -1 0

20

40

60

80

100

Serie con tendencia: Se toma un diferencia adjusted Col_3

5,6

wt= zt-zt-1

3,6 1,6 -0,4 -2,4 -4,4 0

20

40

60

80

100

Volver

La serie es heterocedástica Si la volatilidad no es constante hay que transformar la serie. Logaritmos o elevarla a una potencia entre 0.01 y 0.99 IPC en España Time Series Plot for (ipc) 120 100

(ipc)

80 60 40 20 0 0

100

200

300

400

500

Time Series Plot for (ipc)

IPC en España

120 100

(ipc)

80 60 40 20 0 0

100

200

300

400

500

Time Series Plot for adjusted (ipc)

IPC en España con

adjusted (ipc)

2,1 1,7 1,3

una diferencia

0,9 0,5 0,1 -0,3 0

100

200

300

400

500

Time Series Plot for adjusted (ipc) adjusted (ipc)

2,3

IPC en España con

1,3 0,3

dos diferencias

-0,7 -1,7 0

100

200

300

400

500

Time Series Plot for adjusted (ipc) adjusted (ipc)

2,3

IPC en España con

1,3 0,3

dos diferencias

-0,7 -1,7 0

100

200

300

400

500

LOGARITMO DE

Time Series Plot for adjusted log(ipc) adjusted log(ipc)

(X 0,001) 38

IPC en España con

18 -2 -22

dos diferencias

-42 0

100

200

300

400

500

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La serie tiene ciclo estacional

Consumo de Champagne en USA 15 12 9 6 3 0 1/80

1/82

1/84

1/86

1/88

Para quitar el ciclo se toma una diferencia estacional: Consiste en resta a cada observación su equivalente el año anterior

wt= zt-zt-12

si los datos son mensuales

wt= zt-zt-4 si los datos son trimestrales

La serie tiene ciclo estacional

Consumo de Champagne en USA 15 12 9 6 3 0 1/80

1/82

1/84

1/86

1/88

Champagne con una diferencia estacional 2,9 1,9

Con una diferencia

0,9 -0,1

de orden 12

-1,1 -2,1 0

20

40

60

80

100

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Vamos a hacerlos en Statgraphics

¿Es estacionaria?

Time Series Plot for var4 3,6 2,6

var4

1,6 0,6 -0,4 -1,4 -2,4 0

20

40

60

80

100

120

¿Es estacionaria?

Time Series Plot for var5 5,4

var5

3,4 1,4 -0,6 -2,6 0

20

40

60

80

100

120

¿Es estacionaria?

Nacidos en Eapaña (X 10000) 76 66 56 46 36 1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

¿Es estacionaria?

Nacidos en Eapaña (X 1000) 41 21

Con una diferencia

1 -19 -39 1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Nacidos en Eapaña (X 1000) 52 32 12

Con dos diferencias

-8 -28 -48 1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

¿Es estacionaria?

Nikkei 110

bolsa

90 70 50 30 0

20

40

60

80

100

120

Nikkei con una diferencia adjusted bolsa

11 7

Con una diferencia

3 -1 -5 -9 -13 0

20

40

60

80

100

120

¿Es estacionaria?

Contratacion accioones

Volumen contratación bolsa Madrid (X 1,E7) 6 5 4 3 2 1 0 1/81

1/86

1/91

1/96

1/01

1/06

¿Es estacionaria? Contratacion accioones

Volumen contratación bolsa Madrid (X 1,E7) 6 5 4 3 2 1 0 1/81

1/86

1/91

1/96

1/01

1/06

(Volumen contratación bolsa Madrid) con una diferencia (X 1,E6) 21 11

Con una diferencia

1 -9 -19 1/81

1/86

1/91

1/96

1/01

1/06

Log (Volumen contratación bolsa Madrid) con una diferencia 0,9

Con una diferencia

0,6 0,3 0

y logs

-0,3 -0,6 -0,9 1/81

1/86

1/91

1/96

1/01

1/06

Series no estacionales Ruido blanco y modelos autorregresivos

Nomenclatura de series temporales 

Una serie temporal se denomina genéricamente zt

zl z2 z3 ..... zt zt+1 zt+2 z1 representa el primer valor de la serie z2 el segundo zt será el valor actual de la serie. zt+1 representa el valor de la serie para el próximo periodo, es decir que es un valor futuro.

Identificar la serie 



En primer lugar debemos encontrar la estructura de dependencia de la serie: Cómo se influyen las observaciones entre sí.

z1

z2

La flecha indica que Z1 influye sobre Z2.

Identificar la serie 

En general la serie tendrá un estructura de dependencia:

Identificar la serie 

z1

En general la serie tendrá un estructura de dependencia:

z2

z3

z4

z5

Identificar la serie 

z1

En general la serie tendrá un estructura de dependencia:

z2

z3

z4

z5

Existen dos funciones para representar la estructura de dependencia: 1. Función de Autocorrelación Simple (FAS) 2. Función de Autocorrelación Parcial (FAP)

Función de autocorrelación simple (FAS) 

 

La FAS proporciona el coeficiente de correlación entre una observación y las siguientes Tenemos un valor para cada grado de separación (retardos) Es un sucesión de números: 1,

2,

3, ….,

k

que representan: cómo una observación influye sobre la siguiente ( ) 1 sobre la segunda posterior ( ) 2 sobre la k retardos posterior ( ). k

1 : representa la influencia de

zi sobre zi+1

1 : representa la influencia de 1 : zi

zi sobre zi+1 zi+1

1 : representa la influencia de 1 : zi

zi sobre zi+1 zi+1

2 : representa la influencia de

zi sobre zi+2

zi sobre zi+1

1 : representa la influencia de 1 : zi

zi+1

2 : representa la influencia de 2 : zi

zi sobre zi+2

zi+2

zi sobre zi+1

1 : representa la influencia de 1 : zi

zi+1

2 : representa la influencia de 2 : zi

zi sobre zi+2

zi+2

k : representa la influencia de

zi sobre zi+k

1 : representa la influencia de 1 : zi

zi sobre zi+1 zi+1

2 : representa la influencia de 2 : zi

zi+2

k : representa la influencia de k : zi

zi sobre zi+2

zi sobre zi+k

zi+k

Los valores de la FAS

1,

2,

3, ….,

k, están

acotados

entre [-1,+1].

Cuando un

k

vale cero quiere decir que no existe relación

entre la observación zi y la separada k retardos, zi+k. Cuando un

k

es próximo a +1, la relación entre

zi y la separada k retardos, zi+k. es muy fuerte y positiva. Cuando un

k

es próximo a -1, la relación entre

zi y la separada k retardos, zi+k. es muy fuerte y negativa

Podemos resumir entonces que la FAS mide las influencias de una observación sobre las siguientes.

Ejemplo de FAS FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

La FAS proporciona los coeficientes de correlación de la serie consigo misma para distintos retardos. •Los palos largos son significativos. Las bandas horizontales son los límites para considerar significativo un retardo. Es decir si un palo está dentro de las bandas lo consideraremos no significativo en general.

•En el caso de la figura, los palos de retardos superiores no son significativos. •Esto indica que una observación no influye excesivamente sobre las que están muy alejadas de ella lo cual es muy razonable

Ruido blanco

El ruido blanco es una serie temporal en la que las observaciones no tienen ninguna relación entre sí.

Las observaciones no se influyen unas a otras

La FAS del ruido blanco será.......

FAS de ruido blanco: FAS de ruido blanco Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Todas los palos son cero (están dentro de los límites de confianza)

Proceso AR(1) En un proceso AR(1) cada observación recibe influencia directa de la observación anterior

zt =

zt-1 + at

Cada observación se construye a partir de la anterior más una perturbación aleatoria at .

Proceso AR(1) zt =

zt-1 + at

Cada observación se construye a partir de la anterior más una perturbación aleatoria at . Por ej...