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Resumen series, definiciones y ejercicios...

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Series Numéricas Consideremos an n una sucesión de números reales. Consideremos

s1



a1

s2



a1  a2

sk

 a1  a2 

La sucesión  sn n  recibe el nombre de “sucesión de sumas parciales”. Definición: Se llama Serie Numérica a la suma

a1  a2  a3  En donde 

 n  lim  a ak   lim  sn    k  n  k 1  n k 1 

Diremos que la serie

a k 1

k

converge si la sucesión  sn n de sumas parciales es convergente,

 n  lim es decir si existe n   ak  .  k1  

Ejemplo: Estudiar la convergencia de la serie

1

 k( k  1) k 1

Desarrollo 

1

 k ( k 1)



k1

  

 n 1  lim    n   k  1 k (k  1)  n 1  1 lim     n k  1 k1  k 1   lim 1   n   n 1  1



Por lo tanto la serie

1 converge.  k 1 k( k  1)

Series Telescópicas 

 a

Una serie telescópica es de la forma

k

 ak 1  , donde

k 1



 a

k

n

lim   ak  ak 1 

 ak 1  

n

k 1

k 1

lim  a1  an1 



n 

Además 

 a

k

k 1

 ak 1  converge   lim  a1  an 1   lim an 1 .   n



n

 k  1 k 

 ln 

Ejemplo: Estudiar la convergencia de la serie

k 1

Desarrollo 

 k 1  ln    k 1  k 

n  k 1  lim ln  n  k 1  k  n

 lim  ln(k  1)  ln(k ) n 

n 

 

Por lo tanto la serie

k 1

lim  ln(n  1)  ln(1)



lim ln( n  1)

no existe

n 

k 1   diverge.  k 

 ln  k 1

Ejercicios: Estudiar la convergencia de las siguientes series: 



1 1)  k 1 n (n  2)

2)

1

 (2n  1)(2n  3) k 1

Series Geométricas 

Una serie geométrica es de la forma

a r

k

, donde a  0, r  0, r  1 .

k 1

Luego 

 a  rk

n

lim  a  r k



n 

k1

k1

n

a lim  r k



n 

 a lim r n 

k 1

(1  r n ) 1 r



Donde la serie

1 rn  k a r converge  lim    n  1  r  k 1  

  lim rn n 



Notar que si r  1 , entonces lim r n  0 . n 

Así 

a r



k

k 1



Ejemplo: Estudie la convergencia de la serie

ar 1r

3k

5

k 1

k

Desarrollo k

k  3 3 3  5k    5  , como 5  1, entonces la serie converge, y además k 1 k 1 

3 3k 1  5  k  3 k 1 5 1 5 



Teorema: Si la serie

a k 1



Ejemplo: La serie

k

3 53 2 2 5

converge, entonces lim an  0 . n 

1

 k( k  1) , converge, luego lim n (n1 1)  0 . k 1

n 

r 1

Observación: El teorema anterior es equivalente a: 

“Si lim an  0 , entonces n 



Ejemplo: Consideremos la serie

a

k

diverge”

k 1

1

 k  sen  k  k 1

Desarrollo Como

sen(1/ n) sen(u ) 1 lim n  sen   lim  lim 1 , n u 0 u  n  n (1/ n) 

luego por teorema, la serie

1

 k  sen k 

diverge.

k 1

k



Ejercicio: Estudiar la convergencia de la serie

1   1  k  .  k 1  



a

Teorema: Dadas las series convergentes

k 1



i)

(  ak ) converge, y además

k 1



ii)

 (ak  bk ) converge, y además k 1

k

y

b

k

; entonces

k 1





k 1

k 1

(  ak )   ak . 

 a b ak ( )    k k  k 1 k 1

      bk    k 1 

3k  2k .  5k k 1 

Ejercicio: Estudiar la convergencia de la serie

Definición: Se dice que la sucesión an n

  0 N 

es una sucesión de Cauchy si

m  N   am  an    .

Teorema: Una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy.

Criterios De Convergencia Teorema (Criterio de Cauchy) 

Dada la serie

a

k 1

k

, esta serie converge si y sólo si snn (sucesión de sumas parciales) es de

Cauchy. Observación:

sn n



es de Cauchy 

   0  N 



n  N   sm  sn   

 0  N   

n  N 

m

a

k  n 1

k

   (*) 

Donde

(*)

sm  sn  



Observación:

a

k 1

k

a1  a2  an 1  an  2 

converge si y sólo si  snn  (sucesión de sumas parciales) es de Cauchy.

O equivalentemente 

a k 1

k

diverge si y sólo si sn n  (sucesión de sumas parciales) NO es de Cauchy. 

Ejemplo: Consideremos la serie

1

k

conocida con el nombre de Serie Armónica.

k 1

Consideremos m  2n , luego

sm  sn

     

s2 n  sn 2n 1 n 1   k1 k k1 k 2n 1  k  n 1 k 1 1 1    n 1 n 2 n 3 1 1 1 1    2n 2n 2n 2n 1 1 n  2n 2

1 2n

1 1 . Por lo tanto para   no se cumple que s2n  sn   , por lo tanto snn 2 2 no es de Cauchy, luego la sucesión no converge, por lo tanto la serie armónica diverge.

Es decir s2 n  sn 

Criterio de Comparación 

Sean

 ak , k 1



b k 1

k

series de términos positivos, es decir ak , bk  0 para todo k en

se cumple ak  bk para todo k en

. Entonces 



1) Si

 bk converge, entonces

a



a

k 1

converge.

k

k 1

k 1

2) Si

. Además si



k

diverge, entonces

b

k 1



Ejemplo: Determine si la serie

1

k k 1

2

k

diverge.

converge.

Desarrollo 

Sabemos que la serie

1 converge, por teorema  k 1 k (k  1)

   

Luego Como

2 k  k 1 2k 2  k 2  k



2

 k (k  1) también converge y k 1

k 

1 1  2 k  k 2k 2 1  2 2 k k k 2

2 converge por criterio de comparación  k 1 k (k  1)



1

k k 1

2

también converge.

Criterio Asíntotico (Comparación al límite) 

Sean

 ak , k 1



b

k

series de términos positivos, consideremos L 

k 1

ambas series convergen o ambas series divergen. Ejemplos: Estudiar la convergencia de las series dadas 

1)

 1

 sen k  k 1

Desarrollo 

Sabemos que la serie

1

k

diverge, por otra parte

k 1

lim n

sen(1 / n) 1/ n



lim

n 

lim

 

Por lo tanto la serie

 1

 sen k 

sen(1 / n) 1/ n

sen( u) u 0 u 1 0



diverge.

k 1



2)

1

k k 1

2



Desarrollo Se sabe que la serie

1

 k (k  1)

converge y

k 1

 1    2 lim  k  n  1    k ( k  1)   

1   1  lim  2  2  x  k k k   k2  k n  k2 1 0



lim

 

Luego por teorema de comparación la serie

1

k k 1

2

converge.

an  L  0 entonces n b n

. Si lim

Criterio de la Integral Sea f : 1,   



función continua y decreciente. Si lim f ( x)  0 , entonces x 

 f (k ) converge k 1



si y sólo si la integral impropia



f ( x) dx converge.

1



Observación:

 f (k ) converge





k 1

k 1

1 



 f (k ) diverge

 f ( x) dx converge, o equivalentemente



 f (x ) dx diverge . 1

Ejemplo: 

1) Estudiar la convergencia de la serie

1

k

k 1

p

Desarrollo Sea f : 1,   

función continua, decreciente definida por f ( x) 

1 , donde x

lim f ( x)  0 , luego

x



1 converge   p k 1 k  

2) Estudiar la convergencia de la serie



1

x

p

dx converge

1

p1

1

 k ln(k ) k 2

Desarrollo Sea f :  2 ,   

, donde f (x ) 

1 , f es continua decreciente y además x ln(x )

lim f ( x)  0 . Ahora

x



1 converge   k 2 k ln(k ) Pero



1

 x ln(x ) dx converge

2



 2

b 1 1 dx  lim  dx  lim ln(ln( b)) b2  lim ln(ln(b))  ln(ln(2))  b b  b  ln( x) x ln( x) 2 x



Como este último limite no existe, entonces la integral impropia

 2



luego la serie

1

 k ln(k )

1 dx diverge, x ln( x)

también diverge.

k 2

Criterio del Cuociente 

Sea

a

k 1

k

a n 1 , entonces n a n

serie de términos positivos, y sea r  lim

i)

Si r  1, entonces la serie converge

ii)

Si r  1, entonces la serie diverge

iii)

Si r  1, no existe información

Ejemplos: 

1) Estudiar la convergencia de la serie

1

k! k0

Desarrollo

 1   (n  1)!  1 n! n!   lim  lim  lim 0 r  lim  n  n n n  1   (n  1)!  ( n  1)  n!  ( n  1)  n!     1 De donde r  0  1 , por lo tanto la serie  converge. k 0 k !



2) Estudiar la convergencia de la serie

n!

n k 1

n

.

Desarrollo

 (n  1)! n !   (n  1)! n n   (n  1)  n ! n n  lim lim lim  n      r    n  ( n  1)n 1 n  n   ( n  1)n 1 n!  n   ( n  1)n 1 n!   Luego n

nn  n  r  lim   e 1  1 lim   n n (n  1) n  n 1  

Por lo tanto la serie

n!

n k 1

n

converge.

Criterio de la raíz 

Sea

a

k

k 1

serie de términos positivos, y sea r  lim n an . Entonces n 

1) Si r  1, entonces la serie converge. 2) Si r  1, entonces la serie diverge. 3) Si r  1, no existe información

Ejemplos: 

a) Estudiar la convergencia de la serie

1

k

k 1

k

Desarrollo

r  lim n n 

1 1  lim  0  1 n n  n n

Entonces la serie dada converge.



b) Estudiar la convergencia de la serie

k 2

Desarrollo

1

 (ln(k ))

k

r  lim n n

1 1  lim  0 1 n n ln( n) (ln( n))

Luego la serie dada converge.

Criterio de Dirichlet 

Dada la serie

a

k 1

, cuya sucesión de sumas parciales  snn  es acotada. Sea bn n una

k



sucesión decreciente tal que lim bn  0 . Entonces la serie n 

 a

n

 b n  es una serie convergente.

k 1



Ejemplo: Estudie la convergencia de la serie

 (1)

k 1

k



1 k

Desarrollo n 1 si n es impar Sea an  ( 1) n , luego sn   ak , es importante notar que sn   si n es par k 1 0

luego snn es acotada. Por otra parte, consideremos bn  

Dirichlet la serie

 (1) k 1

k



1 1 , y lim  0 , además bn  es decreciente, por criterio  n n n

1 converge. k

Corolario 

Sea

a

k 1

k

una serie convergente, con bn n sucesión decreciente (o creciente) y convergente. 

Entonces la serie

 a

n

 b n  converge.

k 1

Definición: Sea  an n una sucesión de términos positivos. La serie alternada.



 ( 1)

k 1

k 1

ak se llama serie

Corolario (Leibniz) Si an n es una sucesión decreciente de términos positivos, con lim an  0 . Entonces la serie n



 (1)

k 1

k 1

ak converge.

Ejercicio: 

Use el criterio de Leibniz para concluir que la serie

 (1)

1 converge. k

k 1

k 1

Convergencia Absoluta y Convergencia Condicional Definición: 

i) La serie

 ak converge absolutamente si la serie k 1



ii) Si la serie

a



a k 1

k

converge.



k

converge pero

k 1

a

k

diverge, entonces diremos que la serie

k 1



a k 1

k

converge condicionalmente.

Ejemplo: 

Considere la serie

 (1)

n 1

n

1 . Decida si esta serie converge absolutamente. n2

Desarrollo Lo primero es ver que usando el criterio de Dirichlet la serie dada converge. Por otra parte consideremos an  ( 1) n

1 1  2 , y la serie 2 , luego a n n n



Por lo tanto la serie

 (1)

n 1

Ejercicio:

n



1

n n 1

1 converge absolutamente. n2

2

converge.



Determine si la serie

 (1)

n 1

n1

1 converge absolutamente o condicionalmente. n

Observación: La convergencia absoluta implica la convergencia condicional.

Ejercicios: 1.- Estudiar la convergencia de las siguientes series: 

a)

n 1



d)



 n1/ n 

n 2

b)



d)



2n

 ln(n )

n

n 1



n n2  1



n 1  n

n1

n2  n

c)

 2

 n

2

n 5

2.-Estudiar la convergencia de las siguientes series y evaluar si corresponde: 

a)

2n  3n  6n n 2



b)

n 2





c)

1  n 2 n (n 1)



d)

1  2  

 ln  1 n 5n  2n n 1

n 1

...