Tóm tắt công thức Xác suất thống kê PDF

Preview

Summary

Tóm tắt công thức -1- Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển  Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).  A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B...

Description

Tóm tắt công thức

-1-

Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển  Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).  A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o P ( A )  1 P ( A) . P (AB ) P (AB ) , P (B / A)  .  Công thức xác suất có điều kiện: P ( A / B )  P (B ) P ( A)  Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).  A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).  Ta có o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B). o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).  

Công thức Bernoulli: B( k; n; p)  C kn p k q n k , với p=P(A): xác suất để biến cố A xảy ra ở mỗ i phép thử và q=1-p. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân Ai .A j  i  j ;i , j 1, n hoạch của     A1  A2  ...  An   o Công thức xác suất đầy đủ: n

P ( B )   P ( Ai ).P (B / Ai ) P (A1).P (B / A1)  P (A 2 ).P (B / A 2 )  ...  P (A n ).P (B / A n ) i 1

o Công thức Bayes: P (Ai ).P (B / Ai ) P ( Ai / B )  P (B ) với P (B )  P ( A1 ).P (B / A1 )  P (A2 ).P (B / A2 )  ...  P (An ).P (B / An ) 2. Biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời r ạc  Luật phân phố i xác suất X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn với pi  P ( X  xi ), i  1, n . Ta có: n

 pi  1 và P{a  f(X)  b}= 

i 1

af( xi  b

-1-

pi

XSTK

Tóm tắt công thức

-2

Hàm phân phố i xác suất FX ( x)  P( X  x)   pi xi  x



Mode ModX  x0  p0  max{p i :i  1,n }



Median



  pi  0,5  P( X  xe )  0, 5  xi xe MedX  xe     P ( X  xe )  0,5   pi  0,5  xi xe Kỳ vọng n

EX   ( xi . pi ) x1 . p1  x2 . p2  ... xn . pn i 1

n

E(( X ))   (( xi ). pi )  ( x1). p1   ( x2 ). p2  ...   ( xn ). pn i 1



Phương sai VarX  E (X 2 )  (EX ) 2 n

với E (X 2 )   (x i2 .p i ) x12 .p1  x 22 .p 2  ...  x n2 .p n i 1

b. Biến ngẫu nhiên liên tục. 



f(x) là hàm mật độ xác suất của X 



f ( x )dx  1 ,

 b

P{a  X  b}   f ( x). dx a



Hàm phân phố i xác suất x

FX ( x)  P( X  x) 



f ( t) dt



 



Mode ModX  x0  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0. Median xe 1 1 MedX  xe  FX ( xe )    f ( x) dx  . 2 2  Kỳ vọng 

EX 

 x. f (x )dx .





E(( X )) 

 ( x). f ( x) dx



-2-

XSTK

Tóm tắt công thức

-3

Phương sai 

VarX  E (X 2 )  (EX ) 2 với EX2 



x2 . f (x )dx .



c. Tính chất - E (C )  C ,Var (C )  0 , C là một hằng số. - E (kX )  kEX ,Var (kX )  k 2VarX - E (aX  bY )  aEX  bEY - Nếu X, Y độc lập thì E (XY )  EX .EY ,Var (aX  bY )  a 2VarX  b 2VarY -  (X )  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX. 3. Luật phân phố i xác suất 2 a. Phân phố i Chuẩn ( X ~ N ( ; )) 

X ( )   , EX=ModX=MedX=  , VarX   2



 1 e Hàm mđxs f ( x,  ,  )   2

( x) 2 2 2

 Với   0,  1:

x2

 1 f ( x)  e 2 (Hàm Gauss) 2

t2

x

b  a  1 2 )  ( ) với ( x)   P(a  X  b)   ( e dt (Hàm Laplace)   2 0

 

Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phố i xác suất của phân phố i chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính x

( x)   0

x

F (x ) 





1 2

t2  e 2 dt

Shift 3 2 x ) =

Shift 1 7 2 x ) =

Shift 3 1 x ) =

Shift 1 7 1 x ) =

Mode 1

Mode 1

t2

1 2 e dt 2

Thoát khỏi gói Thống kê Lưu ý: F ( x)  0,5 ( x)

b. Phân phố i Poisson ( X ~ P( ))  X ( )   , EX  VarX   .ModX=k   -1  k   

P(X=k)=e

k , k  k!

-3-

XSTK

-4-

Tóm tắt công thức

c. Phân phố i Nhị thức ( X ~ B (n ; p ))  X ( )  {0..n} , EX=np, VarX=npq, ModX=k  (n  1) p  1 k  (n  1) p 

P(X=k)=C kn. pk . q n k ,q   p0  k  n, k  



Nếu ( n  30;0,1  p  0,9; np  5, nq  5) thì X ~ B( n; p)  N (;  2 ) với



  n. p ,  npq 1 k   P (X=k)  f ( ),0  k  n ,k     b  a  ) ( )  P (a  X20n N p= A , q=1-p N

n30, np...