Tổng hợp kiến thức Toán Cao Cấp (AAAclass) PDF

Preview

Summary

Tổng hợp kiến thức...

Description

TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG I. MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH và ĐẠI SỐ MA TRẬN I.1. MA TRẬN 1. KHÁI NIỆM a) Ma trận cấp m  n : là một bảng gồm mn số aij được sắp xếp thành và

m

dòng

n cột dưới dạng  a11  a A   21  ...   am1

aij là phần tử ở dòng

i

... a1n   ... a2n  ... ... ...   am2 ... amn  a12 a22

và cột j của ma trận A ;

i

là chỉ số dòng, j là chỉ số cột

của phần tử aij đó.  1 2 3

Ví dụ 1. A    là ma trận cấp 2  3 , trong ma trận này ta có phần tử  4 5 6 a13  3, a21  4 . Người ta thường viết tắt ma trận ở dạng A   aij m n .

b) Ma trận vuông: là ma trận có số dòng m bằng số cột trận cấp n  n ta chỉ nói đó là ma trận vuông cấp n.

n, khi đó thay vì nói ma

1 3 

Ví dụ 2. B    là ma trận vuông cấp hai. 5 7  Trong ma trận vuông cấp n, người ta gọi các phần tử a11 , a22 ,..., a nn là các phần tử thuộc đường chéo chính của ma trận. c) Ma trận đơn vị: là ma trận vuông có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0,kí hiệu là In . 1 0 0  1 0    Ví dụ 3. I2    , I3   0 1 0 là các ma trận đơn vị cấp 2, cấp 3 0 1  0 0 1 

d) Ma trận tam giác: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dưới, hoặc phía trên đường chéo chính đều bằng 0. 1 2 3    Ví dụ 4. C  0 4 5  , D  0 0 6 

1 2  4  7

0 3 0 0  là các ma trận tam giác. 5 6 0  8 9 10  0 0

1

e) Ma trận chéo: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.  1 0 0 Ví dụ 5. E  0 2 0 là ma trận chéo.  0 0 3

f) Ma trận cột: là ma trận chỉ có một cột. g) Ma trận dòng: là ma trận chỉ có một dòng. 1    Ví dụ 6. F  2  , G  1 2 3 4 lần lượt là ma trận cột, ma trận dòng. 3  h) Ma trận không: là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, kí hiệu là

Om n .

0 0 0 

Ví dụ 7. O23   . 0 0 0  i) Ma trận bậc thang: là ma trận thoả mãn hai điều kiện sau đây - dòng có tất cả các phần tử bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới dòng có phần tử khác 0; - phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của mỗi dòng dưới nằm bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên. Ví dụ 8.

1  0 M  0  0

5  1 0 0 0 0  6 7 8 9  , N   0 0 2 3 0   0 10 11 12   0 0 0 0 4  0 0 0 0 2

3

4

là các ma trận bậc thang.

2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN a) Tổng hai ma trận cùng cấp A   aij   , B  bij   là một ma trận m n m n , cij  aij  bij . cấp sao cho C   cij 

C cùng

m n

Khi đó ta kí hiệu C  A  B .  1  2 3   3 2 0 ,  B Ví dụ 9. Cho hai ma trận A     .  4 0 2  5 6 7   2 0 3

Thế thì C  A  B   .  1 6 9 Chú ý: Hai ma trận chỉ cộng được với nhau khi chúng có cùng cấp. b) Tích của một số với một ma trận bất kì . Tích của Cho số  và ma trận A   aij  m n

B cùng cấp với



với ma trận

A là một ma trận

A sao cho B  bij  ,bij   aij .

Khi đó ta kí hiệu B   A .

2

 A  1 Ví dụ 10. Cho ma trận 4  2  4 Thế thì B  2A   8 0

c) Tích của hai ma trận Cho hai ma trận A  a ip  ma trận

C

m k

2 3 ,  2 . 0 2  6 . 4 

, B  b pj  . Tích của ma trận A với ma trận k n

sao cho C  cij m n , cij 

B là

k

 aip bpj .

p 1

Khi đó ta kí hiệu C  AB .  2 3 1 2 3  , B   1 1  . Ví dụ 11. Cho hai ma trận A      4 0 2   4 2  c11 c12  Thế thì C  AB    là ma trận vuông cấp hai. Ta tính các phần tử của  c21 c22 

C.

Ta có c11  1.2  ( 2).( 1)  3.4  16, c12  1.3  ( 2).1  3.2  7, c21  4.2  0.( 1)  2.4  16, c22  4.3  0.1  2.2  16 16 7  Vậy C   . 16 16  Chú ý: - Hai ma trận chỉ nhân được với nhau khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai.

- Muốn tìm phần tử ở dòng

i , cột j của ma trận tích C  AB , ta nhân các phần tử ở

dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng các tích đó lại. d) Phép chuyển vị Cho ma trận A   aij m n . Ma trận thu được từ A bằng cách viết các dòng của t

A lần lượt thành các cột được gọi là ma trận chuyển vị của A và kí hiệu là

t A . Khi đó A là ma trận cấp n  m .

1 Ví dụ 12. Cho ma trận A   4

1

4

3

2

2 3   t   . Thế thì A   2 0  . 0 2  

t t Hiển nhiên ta có ( A )  A . e) Luỹ thừa một ma trận vuông Khi A là một ma trận vuông, ta có thêm phép toán luỹ thừa:

3

Luỹ thừa bậc

n của ma trận A là tích của n ma trận A , nghĩa là A n  AA... A ( n lần).  1 2

Ví dụ 13. Cho ma trận A    . Thế thì  0 3 n   n  1 3  1  2  1 8  3  1 26  A A A , ,..., 0 9    0   0 27  3n  Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép toán trên ma trận tương tự như đối với các số: nhân trước, cộng sau. Phép trừ A  B được xem là hệ quả của phép cộng và phép nhân với một số: A  B  A  ( 1) B. Ví dụ 14. Hãy thực hiện các phép toán sau đây  1 2  1 3  2 5     a) 5  1 0  3  0 3  2 6 7  ; b)  2 1   4 2  3 2 2

 2 1  1 3  3 2  1 0    4 3 2 3   3 4   t

3  1 2 1  1  2 1     2 1 c)   ; d ) 0 2 3  ; e )  2  4   3 2  1 3 2 1 1   0 5   3

t

3   . 2

3. CÁC TÍNH CHẤT Giả sử các phép toán dưới đây đều thực hiện được. Khi đó ta có các tính chất sau đây đối với phép toán trên ma trận. A  B  B  A , A  O  A , A  ( A )  O , A  (B  C )  ( A  B )  C , A ( BC )  ( AB )C , 1 A  A, AI  IA  A,( ) A   (  A ), (   ) A   A   A,  ( A  B)   A   B.

I.2. ĐỊNH THỨC 1. KHÁI NIỆM a) Định thức cấp một: là định thức của ma trận vuông cấp một A   a11 . Khi đó ta có det A  a11  a11 . Ví dụ 1. A   4 , detA  4; B   3 ,det B  3 .  a11  a21

b) Định thức cấp hai: là định thức của ma trận vuông cấp hai A  

a12  . a22 

a11 a12 det   a11a22  a 21a12 . A Khi đó a21 a22 Ví dụ 2.

3 4  2 3 ,det A  2.7  4.3  2;  ( 3).2  5.4   26 A  5 2 4 7

4

 a11  c) Định thức cấp ba: là định thức của ma trận vuông cấp ba A   a21  a31

a12 a22 a32

a13  a23  . a33 

Khi đó a11

a12

det A  a21 a31 Ví dụ 3.

a22 a32

a13

a a a  a12a23 a31  a13 a21a32  a23  11 22 33 a31 a22 a13  a32 a23 a11  a33 a21 a12 a33

2 1 3 2.1.1  ( 1).2.( 3)  3.0.2  0 1 2 ( 3).1.3  2.2.2  1.0.( 1)  9 3 2 1

Ví dụ 4. Tính các định thức sau 3 2 1 2 1 2 5 3 ; b) 1 2 3 ; c) 4 1 0 a) 4 2 0 3 4 2 4 1 d) Định thức con bù - phần bù đại số

Cho A   aij   là ma trận vuông cấp n bất kì. Khi đó, định thức thu được từ n n

A bằng cách xoá đi dòng

i và cột j được gọi là định thức con bù của phần tử

aij , kí

 hiệu là Dij . Số Aij  ( 1)i j Dij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij .

1 2 3  Ví dụ 5. Cho ma trận A  4 5 6 . Ta có 7 8 9 5 6 a11  1, D11   3, A11  ( 1)1 1 D11   3 8 9 a12  2, D12 

4 6  6, A12  (1)1 2 D12  6 7 9

Ví dụ 6. a) Xét ma trận 2 3  a11  2, D11  7, A11  7 A  , a  3, D  4, A  4 ; 4 7   12 12 12 a11 A11  a12 A12  2  det A b) Tương tự, xét ma trận a11  2, D11  3, A11  3;  2  1 3 a12   1, D12  6, A12   6; A   0 1 2 ; a13  3, D13  3, A13  3;  3 2 1 a11A11  a12 A12  a13 A13  9  det A 5

e) Định thức cấp

n

Cho A  aij   là ma trận vuông cấp n bất kì. Khi đó định thức của A được n n gọi là định thức cấp n và được tính bởi công thức det A  a11 A11  a12 A12  ...  a1 n A1 n 2 0  1 2 Ví dụ 7. Cho ma trận vuông cấp bốn A   2 1   0 3

3  1 0 3 . 2 1  1  2

Thế thì det A  2 A11  0 A12  3 A13  A14 . 2 0 3 1 2 3 1 2 0 Mà A11  1 2 1  31; A13  2 1 1  25; A14   2 1 2  11 0 3 2 0 3 1 3 1 2

Vậy det A  2. 0 2 Ví dụ 8. Tính định thức cấp bốn 0 3

2 3 0 1 1 1 2 0

0 1 . 0 2

2. CÁC TÍNH CHẤT Định thức cấp bất kì có các tính chất sau đây. 1. det A  det At (Hai ma trận chuyển vị có định thức bằng nhau). 2. Định thức có một dòng bằng 0 thì bằng 0. 3. Định thức có hai dòng giống nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì bằng 0. 4. Nhân tử chung của một dòng có thể đem ra ngoài định thức. 5. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính. 6. Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì thì định thức đổi dấu. 7. Định thức không hay đổi, nếu cộng vào một dòng các phần tử tương ứng của dòng khác đã được nhân với cùng một số. 8. Các tính chất trên vẫn đúng khi thay chữ “dòng” bởi chữ “cột”. 9. Công thức định nghĩa định thức cấp n vẫn đúng khi thay dòng 1 bởi dòng bất kì khác, nghĩa là det A  ai1 Ai1  ai2 Ai2  ...  ain Ain , i  1,2,..., n. 10. Tương tự ta có công thức khai triển định thức theo cột bất kì: det A  a1 j A1 j  a 2 j A 2 j  ...  anj Anj, j  1,2,..., n. 1 2 3 1 2 1 2  1 3  Ví dụ 9. det    det 2 4  ; 0 0 0  0; 2 4 3 4    1 2 4 5 6

3 6 0 4

6

2

4 10

Ví dụ 10. 1

3

2 0

1

2 5 1 2 3

2 0 0

2  2 1 3 2 ; 0 4 5  1.4.6; 3 4 0  2.4.7 1 6 0 7 2 0 1 0 0 6

2 3 1 2 3 1 2 3 0 1  0  4  7  0  4  7 8  Ví dụ 11. 3 4 1 2 0 8 12 0 0 2 3 2 3 1 2

3 4

2 3

4

1 ; 2

Ví dụ 12. 2

1

1  3 A31  4 A32  2 A33  3 A12  A22  4 A32

3

4

2

Sử dụng các tính chất trên, ta dễ dàng tính được các định thức cấp cao. 1 2 3 4

1

2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 0  1  2 7 0  1  2 7 0 1 2 7 Ví dụ 13.     160 3 4 1 2 0 2 8 10 0 0 4 4 0 0 4 4 4 1 2 3 0  7 10 13 0 0 4 36 0 0 0 40

Ví dụ 14. Hãy tính các định thức sau 2 1 2 1 2 4 5 1 0 a) ; b) 3 2 1 ; c) 3 1 3 6 2 3 1 2 1

3 2 0 0

1 1 1 0 1 1 ; d) 2 1 1 3 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

I.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1. KHÁI NIỆM Định nghĩa: Cho A   aij  là ma trận vuông cấp n n

n . Ma trận B thỏa mãn điều

kiện AB  BA  In được gọi là ma trận nghịch đảo của 1 2  3 2 ;B   Ví dụ 1. A    . 1 3  1 1  Khi đó ta có AB  BA  I2 nên B  A  1 . 1

A

và kí hiệu là B  A1 .

1

Chú ý: Nếu B  A thì A  B . Do đó ta còn nói A và B là các ma trận nghịch đảo của nhau. Định nghĩa: Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo A 1 thì ta nói A là ma trận khả nghịch, hay khả đảo. 2. ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH

Định lý: Để ma trận vuông A khả nghịch, cần và đủ là det A  0. 1 2 

Ví dụ 2. Ma trận A    khả nghịch (theo ví dụ 1) và ta thấy det A  1  0 . 1 3  Ví dụ 3. Các ma trận sau đây có khả nghịch không? 7

 2  3 2 a) ; b )  4   1 4   2 1 1  Ví dụ 4. Tìm a để ma trận A  1 a 0 2

3 1  1 2 3  1 2  ; c ) 2 1 0 .  3 2 4  4 1  0 1  khả nghịch. 1 

3. PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Có hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông. a) Phương pháp định thức: (sử dụng phần bù đại số) Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A   aij  n n , ta cần: 1. Tính det A. - Nếu det A  0 thì kết luận ma trận A không có ma trận nghịch đảo. - Nếu det A  0 thì A có ma trận nghịch đảo A1 . 2. Tính phần bù đại số của tất cả các phần tử aij  A . 3. Lập ma trận phụ hợp từ các phần bù đại số thu được PA   Aij   . n n 4. Tính ma trận nghịch đảo A

1

 det1 PAt . A 1 2

Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A   . 1 3 Ta có det A  1; A11  3, A12  1, A21  2, A22  1 t

 3 1  1 1  3 1   3 2  . PA   ;A        1 2 1  2 1    1 1  1 2 1 Ví dụ 6. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A   2 3 2 . 3 1 3 

Ta có

det A   6; A11  11, A12   12, A13   7, A21   7, A22  6, A23  5, A31  1, A32  0, A33  1; t   11 7  11  12  7  11  12  7 6  6     1 1 PA   7 6 5  ; A  6   7 6 5    2 1  7 5  1 0  1  1 0  1  6 6

1 6

0  1 6  8

Ví dụ 7. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp định thức  4  2 a )A   ; 3 5 

1 1 0  b )B  1 1 1  0 2 1 

b) Các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận bất kì: Ta gọi các phép biến đổi sau đây là phép biến đổi sơ cấp dòng đối với một ma trận bất kì: 1. Đổi chỗ hai dòng tuỳ ý của ma trận. 2. Nhân tất cả các phần tử của một dòng với một số khác 0. 3. Cộng vào một dòng các phần tử tương ứng của dòng khác đã được nhân với cùng một số. Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp cột đối với một ma trận bất kì. Ví dụ 8. 1 2  2 3 1  1    2 3 4 1 2  0   A 3 2 1 0 2 3     1  1 3 3  5 0 1  1 2 2 3 1    7 0  0 1 8 0    0 0 25 21 6 0     0 0 25 21 6 0

2 1 4 3 2 1 0 0

2

1  8 7 0   7 7 6   1 0 6 2 3 1 7 0  8 25 21 6  0 0 0 3

c)Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi sơ cấp: , ta lập ma trận mở rộng Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A  a ij  n n

có dạng  A In  . Sau đó biến đổi sơ cấp dòng ma trận này thành ma trận mới có dạng

I n B  . Nếu phép biến đổi thực hiện được thì B  A  1 . 1 2 

Ví dụ 9. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A    bằng phép biến đổi sơ cấp dòng. 1 3  Lập ma trận mở rộng và biến đổi sơ cấp dòng, ta được 1 2 1 0  1 2 1 0  1 0 3 2   A I2         1 3 0 1  0 1  1 1  0 1 1 1 

Vậy

 3 2  A1   .  1 1 

1 2 2    Ví dụ 10. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A  3 1 0  bằng phép biến đổi sơ 1 1 1 

cấp dòng. 9

Lập ma trận mở rộng và biến đổi sơ cấp dòng, ta được 1 2 2 1 0 0     A I3   3 1 0 0 1 0   1 1 1 0 0 1 

1 2 2 1 0 0     0 1 1  1 0 1   0 5 6 3 1 0   

1  0 0

1 0  0 1 0 0 

2 5 1

0 0  6 3 1 0   1 1 0 1  2 1

0 1 0 2   1 1 0 1   1 2 1 5 

1 0 0 1 0 2     0 1 0 3 1  6  0 0 1 2 1 5    1 1 0    Ví dụ 11. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A  1 1 1  bằng phép biến đổi sơ 1 0 0 

cấp dòng.

I.4. HẠNG CỦA MA TRẬN 1. KHÁI NIỆM a) Định thức con: Cho ma trận bất kì A  a ij  . m n Định thức gồm các phần tử thuộc giao của định thức con cấp k của

k dòng và k cột tuỳ ý của A

được gọi là

A.

1 2 3 4    Ví dụ 1. Cho ma trận A  5 6 7 8  .  9 10 11 12

Ta xét vài định thức con của A . - Định thức con cấp một: 7  7 (giao của dòng 2 với cột 3); - Định thức con cấp hai: -

2 4   8 (giao của dòng 1,2 với cột 2,4); 6 8

1 2 3 Định thức con cấp ba: 5 6 7  0 (giao của cả ba dòng với các cột 1, 2, 3). 9 10 11

Ngoài ra ma trận A còn có 3 định thức con cấp ba khác, tất cả các định thức con cấp ba của A đều bằng 0. Các định thức con cấp cao hơn không tồn tại. b) Hạng của ma trận: Ta nói hạng của ma trận A là p nếu trong A có ít nhất một định thức con cấp p khác 0, các định thức con cấp cao hơn đều bằng 0 hoặc không tồn tại. 10

Khi đó ta viết rank( A )  p hoặc r( A )  p . 1 2 3 4  Ví dụ 2. Cho ma trận A  5 6 7 8  .  9 10 11 12

A khác 0, các định thức con cấp cao hơn đều bằng 0 hoặc không tồn tại. Do đó hạng của A là 2. Để ý rằng A cũng có định thức con cấp một khác 0, tuy nhiên hạng của nó là 2. Như Ta đã có 1 định thức con cấp hai của

vậy, hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của nó. 1 0 B Ví dụ 3. Cho ma trận bậc thang   0  0

Ta thấy ngay rằng B

5 9 . 0 10 11 12   0 0 0 0 2 6

3 7

4 8

1 2 3 có một định thức con cấp ba là 0 6 7  60 0 0 10

khác 0, mọi định thức con cấp bốn đều bằng 0 vì chứa một dòng bằng 0. Vậy hạng của B là 3, đúng bằng số dòng có phần tử khác không của nó. Ta có các tính chất sau đây đối với hạng của ma trận. 2. TÍNH CHẤT 1. Hạng của ma trận bậc thang bằng số dòng có phần tử khác 0 của nó. 2. Mọi phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. Từ hai tính chất trên, ta có phương pháp tìm hạng của ma trận: Để tìm hạng của một ma trận, ta biến đổi nó thành ma trận bậc thang và áp dụng các tính chất để kết luận. 1 2 3 4    Ví dụ 4. Tìm hạng của ma trận A  5 6 7 8  .  9 10 11 12

Ta biến đổi ma trận đã cho thành ma trận bậc thang: 1 2 3 4    A  5 6 7 8   9 10 11 12 

1 2   4 0 0 8

3 8 16

   24 

4 12

1 2   4 0 0 0

3 8 0

   A' 0 

4 12

là ma trận bậc thang. Theo tính chất 2, ta có rank( A )  rank( A ') ; Theo tính chất 1 ta lại có rank( A ')  2 . Vậy rank( A )  2 .

11

Ví dụ 5. Tìm hạng của ma trận sau theo tham số m 1 3 C 3  2

1 2 2 1

3 8 8 5

3  8  m  3  m 

Ta biến đổi C thành ma trận bậc thang:

Ta có

3  1 1 3     1  0 1 1   C 0  1  1 m  6    0  1  1 m  6   2 khi m  5 r( C)  r( C ')   3 khi m  5

3  1 1 3     1  1 1 0  C' 0 0 0 m  5    0  0 0 0

Ví dụ 6. Tìm hạng của các ma trận sau đây: 1   1 3  2  1  1 2 3  3 m 0  2 5 2 1  3 4 0   6 2m m 2   ; b)   ; c)   a)   1 1 6 13  2 1 1   9 3 m 0 m 2        7   2 6 8 10  3 1 2  15 5 m 0

I.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. KHÁI NIỆM a) Hệ phương trình tuyến tính: là hệ phương trình có dạng  a11 x1  a12 x2  ...  a1 n xn  b1   a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2  (1) ..........   am1x1  am2x2  ...  amn xn  bm trong đó aij , bi là các số cho trước, x j là các ẩn số ( i  1,2,..., m; j  1,2,..., n) . Trong (1) ta thấy có m phương trình và n ẩn số. là ma trận các hệ số của ẩn, Đặt A   aij  m n

B   bi m 1

là ma trận các hệ số tự do,

X   x j  là ma trận các ẩn số. n 1 Khi đó hệ phương trình (1) được viết ở dạng ma trận AX  B (2) b) Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: là một bộ gồm n số được sắp thứ tự ( 1, 2,..., n ) sao cho khi thay xj   j ( j  1,2,..., n) vào tất cả các phương trình trong hệ,

ta được các đẳng thức đúng.  x1  2 x2  3 x3  1  2 x1  3 x2  x3  11

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình tuyến tính 

12

Ta có

 x1   1 2 3   1   A  , B  11  , X  x 2  2 3 1     x3 

Thay x1  3, x2  1, x3  2 vào hai phương trình trên, ta được các đẳng thức đúng. Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (3,1,2) . Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính còn được viết ở dạng ma trận. Chẳng hạn, hệ 3    phương trình trên có nghiệm là 1  . 2 

Ta có thể thử lại bằng cách xét tích các ma trận tương ứng:  3 1 2 3     1  AX    .  1  ...