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Experiencia que permite trabajar con las leyes de gases, y como estas actúan en un proceso adiabático....

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Trabajo realizado en un proceso adiabático

Valeria Aceituno Amanda Carrasco Alex Fernández Francisca Sepúlveda 10/09/2018

Resumen En esta experiencia se comprobará que el trabajo de un gas comprimido adiabáticamente (∆𝑄 = 0) calculado mediante la integral 𝑊 = −∫ 𝑃𝑑𝑉 es equivalente a la energía interna del gas por la primera ley de termodinámica. Para lograr esto, es necesario obtener el área bajo de la curva del gráfico 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 , y comparar con la energía interna del gas △ 𝑈 =

5 𝑛𝑅 2

△ 𝑇.

Objetivo Observar que el trabajo realizado sobre un gas está dado por: 𝑊 = ∫ 𝑃𝑑𝑉

Es decir, el área bajo la curva de 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 .

Teoría Cuando un gas se comprime a presión constante, el trabajo se puede calcular de la siguiente forma: 𝑊 = −𝐹 △ 𝑥 = −𝑃𝐴 △ 𝑥 = −𝑃 △ 𝑉 Pero si la presión cambia cuando se realiza la compresión, el trabajo puede ser calculado por la integral: 𝑉𝑓

𝑊 = − ∫ 𝑃𝑑𝑉 𝑉𝑖

Que es equivalente al área bajo la curva del gráfico de 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 .

Si además la compresión se realiza adiabáticamente (∆𝑄 = 0), por la 1° ley de la termodinámica, es claro que el cambio de energía interna será igual al trabajo realizado por el gas: △ 𝑈 = 𝑄 + 𝑊 = 𝑊, ya que ∆𝑄 = 0

De esta forma se puede comparar el área bajo la curva de 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 con la energía interna dada por: △𝑈 = Para un gas ideal con f grados de libertad.

𝑓 𝑛𝑅 △ 𝑇 2

En el caso de las moléculas diatómicas de aire:

△𝑈 =

5

2

𝑛𝑅 △ 𝑇

Analíticamente se puede calcular el área bajo la curva de 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 mediante: 𝑉𝑓

𝑊 = − ∫ 𝑃𝑑𝑉 = −𝑘 ∫ 𝑉𝑖

𝑃𝑖 𝑉𝑖𝛾 1−𝛾 𝑑𝑉 𝑃𝑖 𝑉𝑖 𝑉 1−𝛾 𝑉𝑓 = (𝑉𝑉 − 𝑉𝑖1−𝛾 ) = = −𝑘 ( ) { (𝑟 𝛾−1 − 1) 𝛾 𝑉 𝑉 𝛾−1 1−𝛾 𝛾−1 𝑖

𝑉𝑓

𝑉𝑖

Donde 𝑟 = 𝑉𝑖⁄𝑉 , es la relación de compresión. 𝑓

Equipos y materiales necesarios

Adiabatic Gas Law Apparatus, Pasco (TD-8565)

Science Workshop, (750 Interface Pasco)

Procedimiento Para analizar el comportamiento de un gas comprimido adiabáticamente, es necesario que el pistón caiga de manera rápida y que pare de forma abrupta, lo cual se logrará soltando el pistón para que caiga de forma libre hasta que frene de golpe por la presencia de una barra de tope. Las señales de presión, volumen y temperatura serán recopiladas por el sistema de adquisición de datos Pasco, para su posterior análisis. Los pasos a seguir son los siguientes: 1.- Conectar “Adiabatic Gas Law Apparatus” a través del adaptador CA. 2.- Conectar Presión, Volumen y Temperatura en los canales A, B y C de la interfaz Science Workshop, respectivamente. Además, indicar las conexiones en Data Studio de la misma manera. 3.- Convertir los voltajes en presión, volumen y temperatura usando la calculadora de Data Studio y las ecuaciones indicadas en la etiqueta del “Adiabatic Gas Law Apparatus” 4.- Ajustar frecuencia de muestreo a 1000Hz. 5.- Con una llave de paso abierta, llevar el pistón a una altura de 10cm y luego cerrar ambas llaves. Colocar una barra de tope en el agujero inferior como parada para el movimiento del pistón. Luego llevar el pistón a la altura máxima y soltar para que caiga de manera abrupta y así el gas se comprima de manera adiabática. 6.- Construir un gráfico de 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 , y utilizando ∑ registrar el área bajo la curva, sin seleccionar los extremos de la curva. 7.- Graficar 𝑇 𝑣𝑠 𝑡, y utilizando ∑ registrar 𝑇𝑚𝑎𝑥 y 𝑇𝑚𝑖𝑛 para luego calcular el cambio de temperatura △ 𝑇.

8.- Calcular el volumen inicial del gas (en 𝑐𝑚3 ) para la altura inicial de 10 cm y utilizando la mitad del diámetro indicado en la etiqueta de “Adiabatic Gas Law Apparatus”. (𝑉𝑜 = 𝜋𝑟 2 ℎ𝑜 ). 9.- Calcular el número de moles, utilizando 𝜌 = 0,00129 𝑔 ⁄𝑐𝑚3 , 𝑀𝑎𝑖𝑟 = (0,8 × 28 + 𝜌 𝑉 0,2 × 32) 𝑔⁄ 𝑚𝑜𝑙 y 𝑉𝑜 calculado anteriormente. (𝑛 = 𝑎𝑖𝑟 𝑜 ⁄𝑀 ) 𝑎𝑖𝑟 10.- Calcular el cambio de energía interna del aire: △ 𝑈 = área bajo la curva de 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 , registrada en el paso n°6.

5 𝑛𝑅 2

△ 𝑇. Y comparar con el

11.- Además, comparar el área bajo la curva con la ecuación: 𝑉𝑓

𝑊 = − ∫ 𝑃𝑑𝑉 = −𝑘 ∫ 𝑉𝑖

𝑃𝑖 𝑉𝑖𝛾 1−𝛾 𝑃𝑖 𝑉𝑖 𝑉 1−𝛾 𝑉𝑓 𝑑𝑉 ) { (𝑟 𝛾−1 − 1) = = −𝑘 (𝑉𝑉 − 𝑉𝑖1−𝛾 ) = ( 𝛾 𝑉 1−𝛾 𝛾−1 𝑉 𝛾−1 𝑖

𝑉𝑓

𝑉𝑖

Resultados obtenidos Magnitud Área Temperatura mínima Temperatura máxima Cambio de temperatura Volumen inicial

Símbolo A 𝑇𝑚𝑖𝑛

Número de moles Cambio de energía interna % 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 Trabajo analítico % 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓

Gráficos

𝑇𝑚𝑎𝑥 △𝑇 𝑉𝑜 𝑛

△𝑈

△𝑊

Unidad 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝑐𝑚3

Valor 5,39 282,53 318,15 35,62

Gráfico T 𝑣𝑠 𝑡 𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑜 = 𝜋𝑟 2 ℎ𝑜

155,52

𝑚𝑜𝑙

6,96𝑥10−6

𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒

5,15

%

4,66

𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒

6,82

%

Observación Gráfico 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 Gráfico T 𝑣𝑠 𝑡

20,96

𝑛=

𝜌𝑎𝑖𝑟 𝑉𝑜 𝑀𝑎𝑖𝑟

5 𝑛𝑅 △ 𝑇 2 |𝐴 −△ 𝑈| % 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑥100 △𝑈 △𝑈 =

𝑊=

𝑃𝑖 𝑉𝑖

(𝑟𝛾−1 − 1) 𝛾−1 |𝐴 −△ 𝑊| 𝑥100 % 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = △𝑊

Gráfico n°1: Gráfico 𝑃 𝑣𝑠 𝑉 obtenido en la experiencia, con el cual fue posible obtener el área bajo la curva.

Gráfico n°2: Gráfico 𝑇 𝑣𝑠 𝑡 obtenido durante la experiencia, con el cual fue posible obtener 𝑇𝑚𝑎𝑥 𝑦 𝑇𝑚𝑖𝑛 .

Discusión Dado el 4,66 % de error en la comparación del área y la energía interna, es necesario establecer los factores que influyeron en este resultado tales como: • • •

Velocidad del pistón, ya que no seguía un movimiento de caída libre por lo que fue necesario realizar varios intentos. Llave de paso, debido a que esta no se cerraba de forma hermética provocando variaciones en la presión del gas. Selección de datos, esto influye en el área de la curva y la temperatura obtenida porque el valor varía en los puntos elegidos.

Dado el 20,96% de error en la comparación del área y el trabajo calculado de forma analítica, esto ocurre debido a que los puntos que se utilizan en el primer caso no abarcan en su totalidad los utilizados para el cálculo analítico ya que no corresponden los puntos extremos.

Conclusión En la realización de esta experiencia se logró calcular el trabajo mediante el área bajo de la curva de un proceso adiabático, y mediante la primera ley de termodinámica fue posible comprobar que el cambio de energía interna del gas equivale al trabajo realizado. Además, fue posible comparar el área bajo la curva con el trabajo obtenido de forma analítica, sin embargo, por las razones anteriormente mencionadas respecto al porcentaje de error, no se pudo establecer una relación con exactitud.

Referencias https://www.fisicalab.com/apartado/primer-principio-termo#contenidos http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/thermo/adiab.html https://www.pasco.com/downloads/datastudio/index.cfm...