Trabajo Y Energía. Sistema DE Partículas PDF

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Formulario del tema trabajo y energía....

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TRABAJO Y ENERGÍA TRABAJO

FUERZAS CONSERVATIVAS

El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo se define como el producto

Es la fuerza que cuando la partícula recorre una trayectoria cerrada, volviendo a su

escalar de la fuerza por el desplazamiento del punto sobre el que actúa la fuerza.

posición inicial, el trabajo que realiza sobre la partícula es cero; es decir, el trabajo

𝑾 = 𝑭󰇍󰇍󰇍󰇍· 𝒆 󰇍 = 𝑭 · 𝒆 · 𝐜𝐨𝐬 𝜽

Siendo 𝜃 el ángulo formado por la fuerza y el vector desplazamiento. Su unidad en

es independiente de la trayectoria. Se define una energía asociada a una fuerza conservativa, de tal modo que el

el S.I. es el julio (J), J = N·m.

trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de la función

Si se considera un trabajo infinitesimal 𝑑𝑊 = 𝐹 𝑑𝑟, de tal forma que si la fuerza es

energía potencial:

variable el cálculo del trabajo se realizaría mediante la expresión:

𝑾 = 𝑭 · 𝒅𝒔 = −∆𝑼 = 𝑼𝑨 − 𝑼𝑩 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒆𝒔𝒊𝒎𝒂𝒍 𝒅𝑼 = −𝑭 · 𝒅𝒔

𝑾 = ∫ 𝑭󰇍󰇍 𝒅𝒓󰇍

→ ∆𝑼 = − ∫ 𝑭 · 𝒅𝒔

El trabajo neto realizado por la resultante de las fuerzas actuantes sobre

FUERZAS CONSERVATIVAS MÁS COMUNES:

un cuerpo es igual a la variación de la energía cinética del cuerpo, siendo



𝟏

𝑬𝒄 = 𝒎𝒗 . 𝟐 𝟐

𝑾=



𝟏 𝟏 𝒎𝒗𝟐𝒇 − 𝒎𝒗𝒊𝟐 𝟐 𝟐

El peso de un cuerpo: 𝑃 = 𝑚𝑔, si tomamos el origen de energía potencial (U=0) en h=0, entonces 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ. La fuerza que ejerce un muelle: 𝐹 = −𝐾𝑥, si tomamos el origen de energía 1 potencial (U=0) en x=0, entonces en cualquier situación 𝑈 = 𝐾𝑥 2 . 2

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Si Sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, el trabajo será la disminución de la energía potencial (−∆𝑈), pero este trabajo es igual al incremento en la energía cinética, por tanto:

−∆𝑼 = ∆𝑬𝑪

→ ∆(𝑬𝑪 + 𝑼) = 𝟎 → 𝑬𝑪 + 𝑼 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 → 𝑬𝑪 + 𝑼 = 𝑬

donde E es denominada energía mecánica. La energía mecánica de una partícula, definida como suma de la energía potencial más la energía cinética, es constante en todos los puntos de la trayectoria recorrida.

FUERZAS NO CONSERVATIVAS Existen fuerzas que no son conservativas, destacando entre éstas la fuerza de rozamiento o de fricción. Esta fuerza siempre es opuesta al sentido del movimiento, dando lugar a un trabajo negativo:

POTENCIA La potencia es la variación del trabajo con respecto del tiempo:

𝑷=

𝒅𝑾 𝑭 · 𝒅𝒔 𝒅𝒔 𝒚 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒗 = = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕

Su unidad en el S.I. es el watio (W) W=J/s.

󰇍󰇍 · 𝒗 󰇍󰇍 → 𝑷=𝑭

󰇍󰇍 · 𝒆 𝑾𝑹 = 𝑭 󰇍 = −𝑭𝑹 · 𝒆 Si sobre un cuerpo que parte de una situación A actúan fuerzas conservativas y no conservativas y llega a una situación B

𝑬𝑨 + 𝑾𝑹 = 𝑬𝑩 El trabajo de la fuerza no conservativa altera la energía mecánica del cuerpo.

SISTEMA DE PARTÍCULAS MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO

CENTRO DE MASAS El centro de masas de un sistema de partículas es el punto que se mueve como si fuese una masa igual a la masa total del sistema y que está sometido a la fuerza resultante que actúa sobre el sistema. CÁLCULO DEL CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS SI EL SISTEMA ES DISCRETO

Se define como la capacidad de un cuerpo de ejercer una fuerza sobre otro que se encuentra en su camino. Se define como:

󰇍󰇍𝑷 = 𝒎 · 𝒗 󰇍󰇍

󰇍󰇍 𝒎𝒅𝒗 󰇍󰇍 𝒅𝑷 = = 𝒎 · 𝒂󰇍󰇍 = 𝑭𝒏𝒆𝒕𝒂 𝒅𝒕 𝒅𝒕

La posición del centro de masas sería:

𝒓𝑪𝑴 = 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

∑ 𝒎𝒊󰇍󰇍󰇍 𝒓𝒊 𝑴

Si la distribución de masas es continua

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝒓 𝑪𝑴 =

𝟏 ∫ 𝒓 𝒅𝒎 𝑴

siendo M la masa total del sistema.

Como ∑ 𝑚𝑖 󰇍󰇍󰇍 𝑎𝑖 = 𝐹𝑒𝑥𝑡

→

∑ 𝒎𝒊󰇍󰇍󰇍 𝒂𝒊 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝒂𝑪𝑴 = 𝑴

siendo:

𝑟𝐶𝑀 : Posición del sistema CM respecto al

󰇍󰇍 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑷

sobre un sistema o cuerpo es nula, entonces su momento lineal se mantiene constante en el tiempo.

∑ 𝒎𝒊󰇍󰇍󰇍 𝒗𝒊 𝑴

󰇍󰇍𝑷 = 𝑴 · 𝒗 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑪𝑴

→

El Momento lineal que tenía el sistema antes del choque debe conservarse inmediatamente después del choque:

𝒎𝟏 𝒗𝟏𝒊 + 𝒎𝟐 𝒗𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 𝒗𝟏𝒇 + 𝒎𝟐 𝒗𝟐𝒇

Donde 𝑣1𝑖 , 𝑣1𝑓 , 𝑣2𝑖 𝑦 𝑣2𝑓 son las velocidades de las partículas 1 y 2 antes y después del choque.  Choque elástico: Se conserva la energía cinética.

𝒗𝟐𝒇 − 𝒗𝟏𝒇 = −(𝒗𝟐𝒊 − 𝒗𝟏𝒊)

sistema OXYZ. 𝑟1 : Posición respecto del sistema OXYZ.

𝑟1𝐶𝑀 : Posición respecto del sistema CM.

𝒗𝟏𝑪𝑴 = 𝒗𝟏 − 𝒗𝑪𝑴

→

COLISIONES

SISTEMA DE REFERENCIA DEL CENTRO DE MASAS

Y la velocidad será:

=𝟎

momento lineal y que nos indica que si la resultante de las fuerzas que actúan

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝒗 𝑪𝑴 =

Podemos expresar las distintas magnitudes referidas a un sistema de referencia situado en el centro de masas;

Así:

𝒅𝒕

Este es el principio de la conservación de la cantidad de movimiento o

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭 𝒆𝒙𝒕 = 𝑴 · 𝒂 𝑪𝑴

𝒓𝟏 = 𝒓𝑪𝑴 + 𝒓𝟏𝑪𝑴

𝒅𝑷󰇍󰇍

Si la fuerza neta que actúa es nula:

󰇍 = ∑ 𝑚𝑖󰇍󰇍𝑣󰇍 𝑖 y vista la velocidad del centro de masas: Por la definición de 𝑃󰇍 , como 𝑃

La velocidad y aceleración del centro de masas serán:

∑ 𝒎𝒊󰇍󰇍󰇍 𝒗𝒊 󰇍𝒗󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑪𝑴 = 𝑴

(kg·m/s)

Si efectuamos la derivada respecto del tiempo del momento lineal y para un sistema de masa constante:

𝒓𝟏𝑪𝑴 = 𝒓𝟏 − 𝒓𝑪𝑴



Choque inelástico: No se conserva la energía cinética; si es perfectamente inelástico nos está indicando que las dos masas siguen juntas tras el choque.

𝒗𝟏𝒇 = 𝒗𝟐𝒇

IMPULSO Este impulso definido como la integral de la fuerza en el tiempo es igual al cambio en la cantidad de movimiento del sistema:

𝑰 = ∫ 𝑭󰇍󰇍 · 𝒅𝒕 = ∫

󰇍󰇍 𝒅𝑷 𝒅𝒕 = ∫ 𝒅𝑷󰇍󰇍 = 𝑷󰇍󰇍 𝒅𝒕

𝟐

󰇍 𝟏 − 󰇍𝑷

→

𝑰 = 𝑷𝟐 − 𝑷𝟏 = ∆𝑷...