Transformación Arreglo Estrella Triangulo DE Impedancias PDF

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Conversión Estrella Triángulo. Pasaje de Arreglo Estrella a Arreglo Tríángulo de Impedancias y viceversa...

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TRANSFORMACIÓN ARREGLO ESTRELLA TRIANGULO DE IMPEDANCIAS DEMOSTRACIÓN A veces, se hace necesario conocer la relación de transformación entre un arreglo de 3 impedancias que se encuentran conectadas en triángulo y otro arreglo equivalente conectado a los mismos tres puntos, pero en estrella. O sea, la transformación en ambos sentidos de las siguientes conexiones: 1

1

Z1

Z31

Z12

Z23 2

Z2

3

Z3

3 2

Vamos ahora a obtener las fórmulas que nos permitan pasar de un arreglo a otro según la conveniencia. Supongamos que en ambos arreglos desconectamos el punto 3 y lo alimentamos por los puntos 1 y 2, entonces las impedancias equivalentes deberían ser iguales. En el arreglo Triángulo la impedancia equivalente es el paralelo de que la impedancia equivalente del arreglo Estrella es la suma de impedancias equivalentes tendríamos1:

Z 1+Z 2=

Z12 con la serie Z23 + Z31, mientras Z1 + Z2, por lo tanto, si igualamos las

Z 12∗( Z 23+Z 31 ) (Z 12+ Z 23+Z 31)

Si desconectamos alternativamente los puntos 1 y 2 y evaluamos las impedancias equivalentes entre los puntos no desconectados obtenemos las siguientes 2 ecuaciones:

Z 2+Z 3=

Z 23∗(Z 12+Z 31) (Z 12+ Z 23+Z 31)

1 La impedancia equivalente a un paralelo de dos impedancias es igual al producto de las mismas dividido por la suma de ambas.

Z 1+Z 3=

Z 31∗( Z 12+Z 23) (Z 12+ Z 23+Z 31)

Si observamos nos queda un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas ( Z1, Z2 y Z3) el cual podemos resolver por diversos métodos. Por ejemplo, si sumamos la primera y la tercera y le restamos la segunda obtenemos:

Z 1=

(Z 12∗Z 31) (Z 12+ Z 23+ Z 31)

Procediendo similarmente con para obtener las 2 impedancias que quedan del arreglo Estrella llegamos a:

Z 2=

( Z 12∗Z 23) ( Z 12+ Z 23+ Z 31)

Z 3=

(Z 23∗ Z 31) (Z 12+ Z 23+Z 31)

Hasta aquí podríamos reemplazar un esquema Triángulo en algún circuito por su equivalente en Estrella obteniendo Z1, Z2 y

Z3 equivalente.

(Como regla nemotécnica podemos decir que la Impedancia Estrella equivalente conectada a un punto dado es el producto de las 2 Impedancias Triángulo conectadas a ese punto, dividido por la suma de las Impedancias del Triángulo)

Ahora vamos a obtener las impedancias del Triángulo a partir del arreglo en Estrella, a partir de las ecuaciones obtenidas: Lo más conveniente es generar la expresión de multiplicar por pares las impedancias en estrella y sumarlas, para obtener lo siguiente:

Z 1∗Z 3+ Z 2∗Z 3+ Z 1∗Z 2=

( Z 12∗Z 23∗Z 312) + ( Z 12∗Z 31∗Z 232 ) +( Z 13∗Z 23∗Z 122 ) (Z 12+Z 23+ Z 31 )

2

Observando un poco con la ecuación podemos ver que, si sacamos factor común en el numerador del segundo miembro el producto de las tres impedancias, nos queda como factor la suma de las tres impedancias lo que se cancela con uno de los factores de su denominador, quedando la siguiente expresión:

Z 1∗Z 3+ Z 2∗Z 3+Z 1∗Z 2=

( Z 12∗Z 23∗Z 31 ) ( Z 12+ Z 23+ Z 31)

Ahora, por ejemplo, si dividimos ambas expresiones por cualquiera de las ecuaciones que obtuvimos para las transformaciones que recién vimos, tomemos Z1, no quedaría:

Z 1∗Z 3+ Z 2∗Z 3+Z 1∗Z 2 =Z 23 Z1

Por lo tanto, para la conversión desde la Estrella al Triángulo las ecuaciones quedarían:

Z 12=

Z 1∗ Z 3+Z 2∗ Z 3+Z 1∗Z 2 Z3

Z 23=

Z 1∗Z 3+Z 2∗ Z 3+Z 1∗ Z 2 Z1

Z 31=

Z 1∗Z 3+Z 2∗Z 3+Z 1∗Z 2 Z2

(Como regla nemotécnica podemos decir que la Impedancia Triángulo equivalente conectada a dos puntos determinados, es igual a la suma producto de todas las Impedancias de la Estrella por pares, dividida por la Impedancia Estrella conectada al punto opuesto).

Por último, para tener claros los conceptos quiero recalcar con un ejemplo que las transformaciones nos entregan arreglos de impedancias equivalentes que no son los elementos reales. Lo único real van a ser las corrientes que lleguen a ese arreglo, pero los valores de Resistencias y Reactancias que obtengamos serán valores equivalentes que representen a la conexión transformada. Veamos esto con un ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente estrella:

Z1 = 10 W Z2 = -5j W Z3 = 10j W Aplicando las ecuaciones de transformación obtendremos las siguientes impedancias para el Triángulo:

Z12 = 5 - 5j W Z23 = 5 + 5j W

Z31 = -10 - 10j W Donde podemos apreciar que la impedancia Z31 posee una resistencia negativa lo cual, en la realidad no existe, pero sí en el modelo triángulo equivalente....