Transformadas DE Laplace Teoria PDF

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Teoria sobre transformada de laplace....

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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE INTRODUCCIÓN Cálculo Operacional, parte importante del Análisis Matemático, utilizado en la física, mecánica, electrónica y otras ciencias para la solución de diversos problemas. Utiliza la llamada Teoría de las Transformadas para la solución de problemas de modelado (aplicaciones para los ingenieros, físicos, matemáticos, etc). En particular utilizaremos las llamadas Trasformaciones de Laplace o Transformadas de Laplace. Transformadas de Laplace tiene su nombre en honor al matemático francés Pierre Simón de Laplace (1749 – 1827), quien en su obra clásica “Théorie Analytique des Probabilities” (Teoría Analítica de las Probabilidades) publicada en 1812, incluyo un trabajo en su parte teórica de las llamadas Transformadas de Laplace. Laplace se adelantó casi por un siglo a los trabajos realizados por el Ingeniero Ingles Oliver Heaviside (1850 –1925), quien desarrolló de forma práctica la resolución de problemas y su métodos se basaron más que nada en la intuición, por lo que los matemáticos de su tiempo lo criticaron y no aceptaron sus ideas por la carencia de rigor matemático en su trabajo. Esta controversia da como nacimiento al Calculo Operacional cuando se le quiso dar rigor matemático a los métodos utilizados por Heaviside y lo coronaron exitosamente a principios del siglo XX los trabajos de Bromwich, Carson, Vandeer Pool y otros. El método de Transformada de Laplace se emplea para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes y consta de tres pasos: (1)

El problema difícil se transforma en una ecuación simple (subsidiaria)

(2)

La ecuación subsidiaria se resuelve exclusivamente por manipulación algebraica;

(3)

La solución de la ecuación subsidiaria se transforma nuevamente para obtener la solución del problema dado.

La Transformada de Laplace, es un ejemplo de una clase llamada “Transformación Integral” y toma una función 𝑓(𝑡) de una variable “𝒕” (la cual nos referimos como tiempo) en una función 𝐹(𝑠) de otra variable “𝒔” (la cual llamamos frecuencia compleja). Otra transformación integral es la “Transformada de Fourier” la cual estudiaremos en el contenido 2. Algunas de las ventajas de utilizar la Transformada de Laplace: Pro Prof. f. Alejand Alejandro ro Hernández Espino - Uni Universid versid versidad ad Tecno Tecnológica lógica de Pa Panamá namá

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(a) Transforma Ecuaciones Diferenciales en el dominio del tiempo “𝑡” en ecuaciones algebraicadel en el domino de la frecuencia “𝑠”. Luego las incógnitas deseadas en el dominio tiempo pueden ser encontradas utilizando la Transformación Inversa. (b) Al utilizar la Transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales es que las condiciones iniciales juegan un papel importante en el proceso de transformación, así están automáticamente incorporadas en la solución, por lo que es una herramienta ideal para resolver problemas con valor inicial tales como lo que aparecen en la investigación de circuitos eléctricos y vibraciones mecánicas. La Transformada de Laplace encuentra una aplicación particular en el campo de las señales y el análisis de sistemas lineales. Una característica sobresaliente en un sistema es que cuando está sujeto a una excitación (entrada): 𝑢(𝑡) produce una respuesta (salida): 𝑥(𝑡) y cuando ambas dependen de una sola variable “𝑡” nos referimos a ellas como “señales”. REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA DE UN SISTEMA

La relación entre la entrada y la salida está determinada por las leyes que gobiernan el comportamiento del sistema. Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo entonces la salida está relacionada con la entrada por una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, por lo que tenemos un problema de valor inicial fácil de resolver utilizando la transformada de Laplace.

DEFINICIÓN Y NOTACIÓN: Sea 𝑓(𝑡) una función definida para toda 𝑡 ≥ 0 . La Transformada de Laplace de la función 𝑓(𝑡) y denotada ℒ{𝑓(𝑡)} se define: ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∞

NOTAS:

0

El símbolo ℒ denota el operador Transformada de Laplace, es decir, una función 𝑓(𝑡) en el dominio del tiempo, la transforma en una función 𝐹(𝑠) , en el dominio de la frecuencia. Nos referimos entonces a par de transformadas: 𝑓(𝑡) y 𝐹(𝑠).

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Adoptaremos la convención de utilizar “𝑡” (para el tiempo) como la variable independiente de una función, definida por la letra minúscula como “𝑓, 𝑔, ℎ , etc”. Las Transformadas de Laplace de estas funciones estarán denotadas por la misma letra pero en mayúscula: ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠); ℒ {𝑔(𝑡)} = 𝐺 (𝑠); ℒ {ℎ(𝑡)} = 𝐻(𝑠)

Como el límite superior de la integral es infinito, el dominio de integración es infinito, por lo que es una integral impropia: 𝑇

∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = lim ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∞

0

𝑇→∞

0

Como el límite inferior de la integral es “0”, 𝑓(𝑡) es una función causal: 𝑓(𝑡) = 0, 𝑡 < 0.

Si el comportamiento de 𝑓(𝑡), 𝑡 < 0, es de interés, entonces necesitamos la transformada bilateral: +∞

ℒ𝐵 {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 −∞

PROPIEDADES: LINEALIDAD Y EXISTENCIA

LINEALIDAD: Si 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) tienen ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠) y ℒ {𝑔(𝑡)} = 𝐺(𝑠) con 𝛼, 𝛽 constantes, entonces: ℒ {𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)} = ℒ {𝛼𝑓(𝑡)} + ℒ {𝛽𝑔(𝑡)} = 𝛼ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝛽ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝛼𝐹 (𝑠) + 𝛽𝐺 (𝑠)

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DEFINICIÓN (FUNCIÓN SECCIONALMENTE CONTINUA O CONTINUA A TRAZOS):

Se dice que una función 𝑓(𝑡) es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 si es posible partir el intervalo en un número finito de subintervalos, de tal manera que la función sea continua en cada uno de los subintervalos y tenga límite por la izquierda y por la derecha. 𝑓1 (𝑡), 𝑓 (𝑡 ), 𝑓 (𝑡 ) = 2 𝑓3 (𝑡), {𝑓4 (𝑡),

𝑎 ≤ 𝑡 < 𝑡1 𝑡1 ≤ 𝑡 < 𝑡2 𝑡2 ≤ 𝑡 < 𝑡3 𝑡3 ≤ 𝑡 < 𝑏

DEFINICIÓN (ORDEN EXPONENCIAL): una función 𝑓(𝑡) es de orden exponencial, cuando 𝑡 ∞, si existen un número real 𝜎 y constantes positivas 𝑀 𝑦 𝑇, tales que: |𝑓(𝑡)| < 𝑀𝑒 𝜎𝑡 para toda 𝑡 > 𝑇 .

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EXISTENCIA: Si 𝑓(𝑡) es una función causal, seccionalmente continua en [0, +∞) y cada intervalo finito 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 es de orden exponencial 𝜎 para todas existe la Transformada de Laplace, ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) , para toda 𝑠 > 𝜎: |𝑓(𝑡) | < 𝑀𝑒 𝜎𝑡 , con región de convergencia 𝑅𝑒(𝑠) > 𝜎𝑐 , en el dominio 𝑠, esto es: , 𝑅𝑒(𝑠) > 𝜎𝑐 ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∞

0

𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 1 1. Sea 𝑓(𝑡) = { 1, 𝑡≥1 Ejemplos:

a. b.

Dibujar la gráfica de 𝑓(𝑡) Utilizando la definición, calcular la Transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) 𝑅: 𝐹(𝑆) =

1 1 −𝑠 1 − 𝑒 −𝑠 − 𝑒 ó 𝐹(𝑆) = 𝑠2 𝑠2 𝑠2

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2. Sea 𝑓(𝑡) una función definida por la gráfica:

a. b.

Obtener la ecuación que define a 𝑓(𝑡) Utilizando la definición, calcular la Transformada de Laplace de 𝑓(𝑡)

2 0, 𝑡 < 1 𝑅: 𝑓(𝑡) { ; 𝐹(𝑆) = 2 𝑒 −𝑠 2𝑡 − 2, 𝑡 ≥ 1 𝑠

RESOLVER LA ASIGNACIÓN 1: Transformadas de Laplace por definición. PROBLEMAS DE PRÁCTICA: JAMES, G. (2002). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. México. 2ª Edición. Editorial Prentice Hall. Pearson Educación. (Libro de texto, Página 114. Ejercicios 1 y 2). ZILL, D. y WRIGHT, W. (2015). Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera. México. 8ª Edición. CENGAGE Learning. (Ejercicio 7.1 Problemas del 1-18). Página 272). TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 3. Sea 𝑓(𝑡) = 𝑘 ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} ⇔ ℒ {𝑘}: 𝐹(𝑠) =

𝑘 𝑠

𝑛! 4. 𝑓(𝑡) = 𝑡 𝑛 ; 𝑛 ∈ ℤ+ ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} = ℒ {𝑡 𝑛 }: 𝐹(𝑠) =𝑛+1 ; 𝑅𝑒(𝑠) > 0 𝑠 1 𝑎. 𝑛 = 1¸ 𝑓(𝑡) = 𝑡 ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} ⇔ ℒ {𝑡}: 𝐹(𝑠) =2 𝑠 2 2 2 𝑏. 𝑛 = 2¸ 𝑓(𝑡) = 𝑡 ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} ⇔ ℒ {𝑡 }: 𝐹(𝑠) =3 𝑠 6 𝑐. 𝑛 = 3¸ 𝑓(𝑡) = 𝑡 3 ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} ⇔ ℒ {𝑡 3 }: 𝐹(𝑠) =4 𝑠 24 4 4 𝑑. 𝑛 = 4¸ 𝑓(𝑡) = 𝑡 ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} ⇔ ℒ {𝑡 }: 𝐹(𝑠) =5 𝑠

1 5. 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑘𝑡 ; 𝑘 ∈ ℤ ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} = ℒ {𝑒 𝑘𝑡 }: 𝐹(𝑠) = ; 𝑅𝑒 (𝑠) > 𝑅𝑒(𝑘) 𝑠−𝑘

𝑠 6. 𝑓(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 𝑘𝑡 ; 𝑘 ∈ ℝ ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} = ℒ {𝐶𝑜𝑠 𝑘𝑡}: 𝐹(𝑠) =2 ; 𝑅𝑒(𝑠) > 0 𝑠 + 𝑘2

𝑘 7. 𝑓(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛 𝑘𝑡 ; 𝑘 ∈ ℝ ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} = ℒ {𝑆𝑒𝑛 𝑘𝑡}: 𝐹(𝑠) =2 ; 𝑅𝑒(𝑠) > 0 𝑠 + 𝑘2 Pro Prof. f. Alejand Alejandro ro Hernández Espino - Uni Universid versid versidad ad Tecno Tecnológica lógica de Pa Panamá namá

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𝑠 8. 𝑓(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡; 𝑘 ∈ ℝ ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} = ℒ {𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡 }: 𝐹(𝑠) 𝑠=2 − 𝑘 2 ; 𝑅𝑒(𝑠) > 𝑅𝑒(𝑘)

𝑘 9. 𝑓(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡 ; 𝑘 ∈ ℝ ⇔ ℒ {𝑓(𝑡)} = ℒ {𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡 }: 𝐹(𝑠) 𝑠=2 − 𝑘 2 ; 𝑅𝑒(𝑠) > 𝑅𝑒(𝑘) TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIÓN

𝑓 (𝑡 ) = 𝑘

En particular si 𝑘 = 1 𝑓 (𝑡 ) = 𝑡 𝑛 𝑛 ∈ ℤ+

𝑓(𝑡 ) = 𝑒 𝑘𝑡

𝑓(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛 𝑘𝑡 𝑓(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 𝑘𝑡

𝑓(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡

𝑓(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡

TRANSFORMADA DE LAPLACE 𝑘 ℒ {𝑘} = 𝑠 ℒ {1} =

ℒ {𝑡 𝑛 } =

ℒ {𝑒 𝑘𝑡 } =

1 𝑠

𝑛! 𝑠𝑛+1

1 𝑠−𝑘

ℒ {𝑆𝑒𝑛 𝑘𝑡} = ℒ {𝐶𝑜𝑠 𝑘𝑡} =

𝑠2

𝑘 + 𝑘2

𝑠 𝑠2 + 𝑘 2

ℒ {𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡} =

ℒ {𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡} =

𝑠2

𝑠2

𝑘 − 𝑘2

𝑠 − 𝑘2

REGION DE CONVERGENCIA 𝑅𝑒(𝑠) > 0

𝑅𝑒(𝑠) > 0

𝑅𝑒(𝑠) > 0

𝑅𝑒(𝑠) > 𝑅𝑒 (𝑘) 𝑅𝑒(𝑠) > 0 𝑅𝑒(𝑠) > 0

𝑅𝑒(𝑠) > 𝑅𝑒 (𝑘) 𝑅𝑒(𝑠) > 𝑅𝑒 (𝑘)

Ejemplos: en los siguientes problemas determinar la Transformada de Laplace, utilizando la Tabla 1 7. 𝑓(𝑡) = 4𝐶𝑜𝑠 3𝑡 − 8𝑆𝑒𝑛 √5𝑡 + 𝑒 7𝑡 − 3𝑡 3 + 5; 2 8√5 1 18 5 4𝑠 − 2 + − 4+ 𝑅: 𝐹(𝑠) = 2 𝑠 + 9 𝑠 + 5 2 (𝑠 − 7) 𝑠 𝑠

4 𝑠 𝐶𝑜𝑠 5 4 𝑆𝑒𝑛 5 8. 𝑓(𝑡) = 2𝑆𝑒𝑛ℎ 2𝑡 + 𝐶𝑜𝑠(4𝑡 + 5); 𝑅: 𝐹 (𝑠) = 2 + 2 − 𝑠 − 4 𝑠 + 16 𝑠 2 + 16

2 2𝑠 5√3 5𝑠 𝜋 − 2 − 2 9. 𝑓(𝑡) = 4 𝐶𝑜𝑠2 𝑡 − 10 𝑆𝑒𝑛 (𝑡 − ) ; 𝑅: 𝐹(𝑠) = + 2 6 𝑠 𝑠 +4 𝑠 +1 𝑠 +1

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RESOLVER LA ASIGNACIÓN 2: Transformadas de Laplace por Tablas PROBLEMAS DE PRÁCTICA: JAMES, G. (2002). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. México. 2ª Edición. Editorial Prentice Hall. Pearson Educación. (Libro de texto, Página 114. Ejercicios 3, a excepción de l, m y o). ZILL, D. y WRIGHT, W. (2015). Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera. México. 8ª Edición. CENGAGE Learning. (Ejercicio 7.1 Problemas del 19-40. Página 272) LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DEFINICIÓN Y NOTACIÓN: Si 𝐹(𝑠) representa la Transformada de Laplace de la función 𝑓(𝑡), es decir, ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) decimos entonces que 𝑓(𝑡) es la Transformada inversa de Laplace de 𝐹(𝑠) para toda 𝑡 ≥ 0 y la denotamos 𝑓(𝑡) = ℒ −1 {𝐹(𝑠)}, si: ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠) 𝑓(𝑡) = ℒ −1 {𝐹(𝑠)}

PROPIEDAD DE LINEALIDAD: Si 𝐹(𝑠) y 𝐺(𝑠) son las Transformadas de Laplace de ciertas funciones 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) y para constantes 𝛿, 𝛽: ℒ −1 {𝛿𝐹 (𝑠) + 𝛽𝐺 (𝑠)} = ℒ −1 {𝛿𝐹 (𝑠)} + ℒ −1 {𝛽𝐺 (𝑠)} 𝛿ℒ −1 {𝐹 (𝑠)} + 𝛽ℒ −1 {𝐺 (𝑠)} = 𝛿𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔 (𝑡)

Es aplicable a cualquier combinación lineal finita de Transformadas de Laplace.

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TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

Ejemplos: en los siguientes problemas determinar la Transformada Inversa de Laplace, utilizando la Tabla 10. 𝐹(𝑠) =

11. 𝐹(𝑠) = 12. 𝐹(𝑠) =

13. 𝐹(𝑠) =

14. 𝐹(𝑠) =

1 4 ; 𝑅: 𝑓(𝑡) = 𝑡 4 5 𝑠 6

𝑠2

2 2 𝑆𝑒𝑛√7𝑡 ; 𝑅: 𝑓(𝑡) = +7 √7

( 𝑠 + 2)2 ; 𝑅: 𝑓(𝑡) = 1 + 𝑡 + 2𝑡 2 𝑠3

2𝑠 − 6 ; 𝑅: 𝑓 (𝑡) = 2 𝐶𝑜𝑠𝑡 3𝑡 − 2 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 𝑠2 + 9 𝑠4

1 6𝑠 + 3 ; 𝑅: 𝑓(𝑡) = −2 𝐶𝑜𝑠𝑡 2𝑡 − 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 2 𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 𝑆𝑒𝑛 𝑡 2 + 5𝑠 + 4 2

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RESOLVER LA ASIGNACIÓN 3: Transformada Inversa de Laplace. PROBLEMAS DE PRÁCTICA: JAMES, G. (2002). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. México. 2ª Edición. Editorial Prentice Hall. Pearson Educación. Libro de texto, Página 118. Ejercicios 4, a-e; j; k; n; o; p. ZILL, D. y WRIGHT, W. (2015). Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera. México. 8ª Edición. CENGAGE Learning. Ejercicio 7.2 Problemas del 130. Página 280 TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA

Si 𝑦(𝑡), 𝑦 ′ (𝑡), 𝑦 ′′ (𝑡), … , 𝑦 (𝑛−1) (𝑡)son continuas en [0, +∞) y son de orden exponencial y si 𝑦 (𝑛) (𝑡)es continua por tramos en [0, +∞) y si 𝑌(𝑠) = ℒ {𝑦(𝑡)}, entonces: ℒ{𝑦 ′ (𝑡)} = 𝑠𝑌(𝑠)– 𝑦(0)

ℒ{𝑦 ′′ (𝑡)} = 𝑠 2 𝑌(𝑠)– 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0)

En general:

ℒ{𝑦 ′′′ (𝑡)} = 𝑠 3 𝑌 (𝑠)– 𝑠 2 𝑦(0) − 𝑠𝑦 ′ (0) − 𝑦′′(0)

ℒ{𝑦 (𝑛) (𝑡)} = 𝑠𝑛 𝑌(𝑠)– 𝑠 𝑛−1 𝑦(0) − 𝑠 𝑛−2 𝑦 ′ (0) − ⋯ − 𝑦 (𝑛−1) (0) = 𝑛

𝑠 𝑌 (𝑠) − ∑ 𝑠 𝑛−𝑖 𝑦 (𝑖−1) (0) 𝑛

𝑖=1

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

En el resultado general del Teorema de una Derivada tenemos que ℒ { 𝑛 } sólo 𝑑𝑡 depende de 𝑌 (𝑠) = ℒ {𝑦(𝑡)} y las 𝑛 − 1 derivadas de 𝑦(𝑡) evaluadas en 𝑡 = 0 . Esta propiedad hace que la Transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Esta ecuación diferencial es una combinación lineal de los términos 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) : 𝑑𝑛 𝑦

𝑑𝑦 𝑑2𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑛 𝑦 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎 + 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑡) 2 𝑛−1 2 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑦 donde las 𝑎𝑖 ,

𝑦(0) = 𝑦𝑜 ; 𝑦 ′ (0) = 𝑦1 ; … , 𝑦 (𝑛−1) (0) = 𝑦𝑛−1

𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛; y las 𝑦𝑜 , 𝑦1 , … , 𝑦𝑛−1 son constantes arbitrarias. Pro Prof. f. Alejand Alejandro ro Hernández Espino - Uni Universid versid versidad ad Tecno Tecnológica lógica de Pa Panamá namá

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Por la propiedad de linealidad, la Transformada de Laplace de esta combinación es una combinación lineal de Transformadas de Laplace: 𝑑𝑛 𝑦 𝑛−1 2 𝑑𝑦} + 𝑎0 ℒ {𝑦} = ℒ {𝑔(𝑡)} 𝑎𝑛 ℒ { } + 𝑎 ℒ {𝑑 𝑦} + ⋯ + 𝑎 ℒ {𝑑 𝑦} + 𝑎 ℒ {𝑑𝑡 𝑛−1 2 1 𝑛 𝑛−1 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 { ( )} ( ) { } Donde ℒ 𝑦 𝑡 = 𝑌 𝑠 y ℒ 𝑔(𝑡) = 𝐺(𝑠). Es decir que “la Transformada de Laplace de una Ecuación Diferencial lineal con Coeficientes Constantes se transforma en una Ecuación Algebraica en términos de 𝑌 (𝑠)”. DIAGRAMA DEL PROCEDIMIENTO PARA UTILIZAR LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

OBSERVACIONES: Una ventaja de utilizar la Transformada de Laplace es que nos permite reemplazar la operación de diferenciación por una operación algebraica. Al tomar cada término de la ecuación diferencial, esta es convertida en una “ecuación algebraica en la variable 𝑠”, entonces puede ser manipulada utilizando reglas algebraicas para obtener una expresión para la “𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒” de la respuesta. La respuesta en el tiempo “𝑡” deseada se obtiene tomando la “𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎”. El “método de Transformada de Laplace”, produce la solución completa de la Ecuación Diferencial Lineal con condiciones iniciales automáticamente incluidas. El “método de Transformada de Laplace”, se adapta idealmente para resolver problemas con valor inicial (ecuaciones diferenciales lineales donde están especificadas todas las condiciones iniciales 𝑦(0) = 𝑦𝑜 ; 𝑦 ′ (0) = 𝑦1 ; … , 𝑦 (𝑛−1) (0) = 𝑦𝑛−1

Y el método es menos atractivo para problemas con valores en la frontera, cuando no todas las condiciones en 𝑦(𝑡) y sus derivadas están especificadas en 𝑡 = 0 pero algunas están especificadas en otros valores de la variable independiente.

El denominador del lado derecho, al despejar 𝑌(𝑠) equivale a la ecuación auxiliar o ecuación característica del método clásico. Pro Prof. f. Alejand Alejandro ro Hernández Espino - Uni Universid versid versidad ad Tecno Tecnológica lógica de Pa Panamá namá

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Ejemplos: En los siguientes problemas, utilizando los Métodos de las Transformadas de Laplace determinar la solución de la Ecuación diferencial Ordinaria con Coeficientes constantes 15. 𝑦 ′ + 3𝑦 = 13 𝑆𝑒𝑛 2𝑡; 𝑦(0) = 6; 𝑅: 𝑓(𝑡) = 8𝑒 −3𝑡 − 2 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 3 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 4 1 16. 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 0; 𝑦(0) = 1; 𝑦 ′ (0) = 0; 𝑅: 𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −4𝑡 3 3 17. 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ = 6𝑒 3𝑡 − 3𝑒 −𝑡 ; 𝑦(0) = 1; 𝑦 ′ (0) = −1 5 3 11 4𝑡 𝑅: 𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −𝑡 − 2𝑒 3𝑡 + 𝑒 10 2 5

18. 𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 3𝑡; 𝑦(0) = 0; 𝑦 ′ (0) = 0; 𝑦 ′′ (0) = 1 13 −𝑡 16 −2𝑡 3 1 13 𝑒 + 𝑒 + 𝐶𝑜𝑠 3𝑡 + 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 𝑅: 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑡 − 65 60 20 39 130 RESOLVER LA ASIGNACIÓN 4: Transformadas de Laplace.

Solución de Ecuaciones Diferenciales por

PROBLEMAS DE PRÁCTICA: JAMES, G. (2002). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. México. 2ª Edición. Editorial Prentice Hall. Pearson Educación. Libro de texto, Página 118. Ejercicios 5: a; b; m; n. ZILL, D. y WRIGHT, W. (2015). Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera. México. 8ª Edición. CENGAGE Learning Ejercicio 7.2. Sección 7.2.2. Problemas del 31-40. Página 280. PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN PARA TRANSFORMADA Y TRANSFORMADA INVERSA (TRASLACIÓN EN EL EJE “𝒔”) TEOREMA: (PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN PARA TRANSFORMADAS): Si 𝑓1 (𝑡) es una función que tiene una Transformada de Laplace 𝐹1 (𝑠), entonces la función 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑘𝑡𝑓1 (𝑡) también tiene una transformada de Laplace: ℒ {𝑓 (𝑡)} = ℒ {𝑒 𝑘𝑡 𝑓1 (𝑡)} ⇔ 𝐹(𝑠) = [ℒ{𝑓1 (𝑡)}]𝑠→𝑠−𝑘 ⇔ 𝐹(𝑠) = [𝐹1 (𝑠)]𝑠→𝑠−𝑘 ⇔ 𝐹 (𝑠) = 𝐹1 (𝑠 – 𝑘)

⇔ ℒ {𝑒 𝑘𝑡 𝑓1 (𝑡)} = 𝐹(𝑠) = 𝐹1 (𝑠 – 𝑘); con 𝑅𝑒(𝑠) > 𝜆𝑐 + 𝑅𝑒(𝑘)

Este Teorema se le conoce como Teorema de Modulación Exponencial. Pro Prof. f. Alejand Alejandro ro Hernández Espino - Uni Universid versid versidad ad Tecno Tecnológica lógica de Pa Panamá namá

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Ejemplos: En los siguientes problemas, determinar la Transformada de Laplace determinar de la función 𝑓(𝑡):

10! 19. 𝑓(𝑡) = 𝑒 −7𝑡 𝑡 10 ; 𝑅: 𝐹(𝑆) = (𝑠 + 7)11

1 1 2 20. 𝑓(𝑡) = 𝑡(𝑒 𝑡 + 𝑒 2𝑡 )2 ; 𝑅: 𝐹(𝑆) = + + 2 2 (𝑠 − 2) ( 𝑠 − 3) (𝑠 − 4)2

21. 𝑓(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 𝐶𝑜𝑠 4𝑡 ;

𝑠+2 𝑅: 𝐹(𝑆) = (𝑠 + 2)2 + 16

PROBLEMAS DE PRÁCTICA: JAMES, G. (2002). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. México. 2ª Edición. Editorial Prentice Hall. Pearson Educación. Libro de texto, Página 114. Ejercicios 2: g, h y i. ZILL, D. y WRIGHT, W. (2015). Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera. México. 8ª Edición. CENGAGE Learning. Ejercicio 7.3. Sección 7.3.1. Problemas del 1-10. Página 289. TEOREMA: (PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN PARA TRANSFORMADAS INVERSAS): Si 𝐹1 (𝑠) es una una Transformada de Laplace de una función 𝑓1 (𝑡), entonces la Transformada Inversa de Laplace de la función 𝐹 (𝑠) = 𝐹1 (𝑠– 𝑘) viene dada por: ℒ −1 {𝐹 (𝑠)} = ℒ −1 {𝐹1 (𝑠 − 𝑘)} ⇔ ℒ −1 {𝐹 (𝑠)} = ℒ −1 {[𝐹1 (𝑠)]}𝑠→𝑠−𝑘 ⇔ ℒ −1 {𝐹 (𝑠)} = 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑘𝑡 ℒ −1 {𝐹1 (𝑠)} ⇔ 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑘𝑡 𝑓1 (𝑡)

Ejemplos: En los siguientes problemas, determinar la Transformada Inversa de Laplace de la función 𝐹(𝑠):

22. 𝐹(𝑠) =

1 1 ; 𝑅: 𝑓(𝑡) = 𝑡 3 𝑒 −2𝑡 ; 4 ( 𝑠 + 2) 6

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23. 𝐹(𝑠) =

2𝑠 + 5

1𝑒 −3𝑡 𝑆𝑒𝑛 5𝑡 ; 𝑅: 𝑓(𝑡) = 2𝑒 −3𝑡 𝐶𝑜𝑠 5𝑡 − 5

𝑠 2 + 6𝑠 + 34 2𝑠 − 1 3𝑡 2 𝑒 −𝑡 24. 𝐹(𝑠) = −𝑡 −𝑡 2 ( ) ; 𝑅: 𝑓 𝑡 = 5 − 𝑡 − 5𝑒 − 4𝑡𝑒 − 𝑠 2 (𝑠 + 1)3 Utilizar la Transformada de Laplace para resolver el problema de Valor Inicial: 25. 𝑦 ′ + 4𝑦 = 𝑒 −4𝑡 ; 𝑦(0) = 2; 𝑅: 𝑦(𝑡) = 2𝑒 −4𝑡 + 𝑡𝑒 −4𝑡

26. 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 0; 𝑦(0) = 2; 𝑦 ′ (0) = 17; 𝑅: 𝑦(𝑡) = 2𝑒 3𝑡 + 11𝑡𝑒 3𝑡 RESOLVER...