Trigonometría 1° de secundaria nivel preuniversitario PDF

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TrigonometríaE D U C A C I Ó N S E C U N D A R I A1TRIGONOMETRÍA 1El libro de TRIGONOMETRÍA 1 , para el primer año de educación secundaria, se complementa con el CUADERNO DE TRABAJO TRIGONOMETRÍA 1 y ha sido elaborado por el Departamento Acadé- mico de la Editorial Ingenio & YHO S.A. ubicado en ...

Description

Trigonometría

1

EDUCACIÓN SECUNDARIA

TRIGONOMETRÍA

1

El libro de TRIGONOMETRÍA 1, para el primer año de educación secundaria, se complementa con el

CUADERNO DE TRABAJO TRIGONOMETRÍA 1 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.

Título de la obra:

Trigonometría 1

Título de la colección:

Geniomatic Educación Secundaria

Director Académico:

Hernán Hernández Bautista

Editores Responsables:

Hernán Hernández Bautista Angel Aponte Espinoza

Asesor Académico:

Angel Aponte Espinoza

Diseño y Diagramación: Marco Antonio Lizárraga Podestá Eduardo Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Katherine Karen Rivera Escuel

Corrección de Estilo:

Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición: Tiraje:

Setiembre 2015 4000 ejemplares

Editado e impreso en talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426–4853 www.editorialingenio.pe E-mail:[email protected]

Impreso en Octubre 2015

Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de

GENIOMÁTIC Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14396 ISBN: 978-612-4302-09-1

AL MAESTRO:

PRESENTACIÓN

El Estado peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo, la tarea educativa es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los profesores, los alumnos, las autoridades docentes y los padres de familia. El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, formulado por el Ministerio de Educación, fija el marco de nuestro trabajo educativo, labor que desarrollamos con los textos escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria. Compartimos la propuesta de “ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos en cuenta las características, las necesidades y los derechos de los púberes y adolescentes“. La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que aligere el trabajo con sus estudiantes.

AL ESTUDIANTE: ¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante para tu aprendizaje. Algunos piensan que la Matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil de comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje. La Matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5 más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora y frena en 50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario, debo bajar la velocidad. Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación, como calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de producción de un artefacto, etc. Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas matemáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, imaginar, cuestionar, verificar, proponer, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquietudes y trabajar en equipo. En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación práctica que te servirá de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la actividad. Además, cuentas con alcances en la columna derecha, que te reforzarán, ayudarán e informarán sobre del tema principal. Los cuatro textos van acompañados por un cuaderno de trabajo que contiene ejercicios similares a los de la actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar, reforzar y profundizar tus conocimientos.

1

3

ESTRUCTURA DEL TEXTO Sección inicial de la unidad

Imagen motivadora

Unidad

01 Número de la unidad

Fotografía ilustrada que conecta una situación real con el tema de aprendizaje. Geniomátic

Título de la unidad Coordillera Blanca

Imagen secundaria

ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS Y DE SECTOR CIRCULAR M OR F OL OGÍA AN D IN A

Geniomátic

Imagen que muestra un detalle relacio-

El re l i e ve de l a C ordi l l e ra de l os A nde s e s pare ci do a un pape l arrugado, con val l e s profundos , l agos , cañone s , pi cos e l e vados y ne vados . El hom bre andi no, de s de ti e m pos m uy re m otos , ha s abi do s acar prove cho a l a di ve rs i dad de pi s os e col ógi cos y m i crocl i m as de e s te re l i e ve . C on e s te m i s m o fi n, e n l a actual i dad s e e l aboran pl anos topográfi cos a di fe re nte s e s cal as .

nado con el tema de la lectura.

-

¿C re e s que s e pue de cons trui r bue nas carre te ras s i n pl anos

Lectura motivadora Explica la relación entre la Matemática y

topográfi cos ? www.s l i de s hare .ne t

Alcas - Huánuco

una situación objetiva. Además formula

APRENDIZAJES ESPERADOS

Aprendizajes esperados y actividades

Matematiza

Comunica y

situaciones

argumenta

• Re sue lv e e je rci ci os y

preguntas que propician el análisis y

E x plica porque s e

gul o tri gonom é tri co e n

nom é tri cos .

probl e m as s obre ángu-

cam bi an de s e nti do l os

• E x pr e sa ángul os e n

l os tri gonom é tri cos .

ángul os tri gonom é tri cos .

di fe re nte s s i s te m as de

• E la bor a di ve rs as e s -

de l os s i s te m as de

trate gi as para re s ol ve r

m e di ci ón angul ar.

m e di ci ón angul ar.

probl e m as con s i s te m as

• Re pr e se nt a e n form a

de m e di ci ón angul ar,

V a lor a e l us o de l a l ongi - gráfi ca l a l ongi tud de tud de arco y e l áre a de l

l ongi tud de arco y áre a

arco y e l áre a de l

s e ctor ci rcul ar e n probl e -

de l s e ctor ci rcul ar.

6

• Pr opone conje turas s obre s i s te m as de m e di ci ón angul ar. • E la bor a concl us i one s

reflexión sobre el tema.

que di fe re nci an l a l ongi tud de arco y e l áre a

m as de l a vi da re al .

que desarrollarás en la unidad.

•

s i tuaci one s coti di anas . • C ont r a st a l a uti l i dad

•

Razona y

estrategias

Re conoce e l us o de l án- • Dibuja ángul os tri go-

•

Contienen el listado de las capacidades

Elabora y usa

representa

de l s e ctor ci rcul ar.

1

Sección central

CAPÍTULO

Número de capítulo Título del capítulo

19

ÁNGULOS VERTICALES II

Generación del conflicto cognitivo

ÁNGULOS DE DEPRESIÓN ¿ E l án gu lo d e d ep res ión s e mid e res p ec to a

Recuperación de saberes previos

Es una pregunta que tendrás que responder

u n a lín ea h orizon tal o vertic al?

con el desarrollo o al terminar el capítulo. Plantea situaciones que te servirán de

Matemática en la vid a

125304

lín ea h orizon tal

base para iniciar el tema nuevo. Es algo

El

á ngulo

de

de pr e sión

á ngulo

co ntenido

en

ver tica l

fo r ma do

po r

que

un

pla no

una

pa sa

po r

E l A bn ey s e c arac teriza p or s u

án gu lo d e

línea el

d ep res ión

ojo

man ejo s en c illo y la rap id ez c on qu e s e p u ed en d etermin ar

u

s

que a punta

a

un punto

los án gu los d e elevac ión y d e

la

del o bser va do r y una línea visua l

que conoces o has tratado en los capítulos

Información complementaria

AB N EY

un

iv

ho r iz o nta l

es

ubica do

d ep res ión .

Lecturas, notas, observación, historias,

po r deba j o de la línea ho r iz o nta l. E l in s tru men t

s e u tiliza es -

p ec ialmen te p ara med ic ion es p relimin ares , c on s tru c c ion es

P r ob lem a 1

anteriores.

d e c arreteras y lín eas ferroc a-

P r ob lem a 2

Q uiniento s metr o s a ntes de pa sa r

recursos tecnológicos, que contribuyen a

rriles , s ec c ion es tran s vers ales ,

Desde el o bser va to r io de un fa r o

grad ien tes e exp lorac ion es d e

po r encima de la ciuda d de Ica , el pilo to de un a vió n o bser va la ciuda d co n un á ngulo de depr esió n de 4 5 º. Ca lcula a qué a ltur a de la

se divisa un ba r co co n un á ngulo

p en d ien tes , p ara med ic ion es

de depr esió n de 3 7 º. La co ta del o bser va to r io

es

240

m.

¿A

geológic as y fores tales .

qué

dista ncia del fa r o se encuentr a el

ciuda d pa sa r á el a vió n.

ba r co ?

Solución:

Solución:

reforzar y recrear el tema.

500

IV BIMESTRE

45°

Formalización

Continúa las definiciones y conceptos de

37°

h

d

240

37°

d

h

500

= ta n4 5 °

h

500

= csc3 7 °

240 d



= 1

h = 500

240

5 =

3



d = 400

Rpt a. : 5 0 0 m

56

los términos matemáticos.

Rpt a. : 4 0 0 m

1

CAP ÍTULO 2 1

ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

P r ob lem a

7

P r ob lem a

8

Desde lo a lto de un fa r o se ve un ba r co , a 3 6 m de

A 2 0 m del pie de un po ste la eleva ció n a ngula r

su ba se, co n un á ngulo de depr esió n de 5 3 ° . ¿Cuá l

pa r a la cima del mismo es de 3 7 ° . ¿Cuá l es la a ltu-

es la a ltur a del fa r o ?

4

Solución:

⇒

53°

ta n5 3 °

h

H

⇒ ⇒h

53°

36

4

20

=

h

h

3 =

37°

×3 6 3

⇒

h

4

∴h

20 m

3

=

20

⇒h

36 4

∴h

Plantea una aplicación desarrollada del

= ta n3 7 °

=

36

Actividad

=

60

tema.

4 = 15

= 48 Rpt a. : 1 5 m

Rpt a. : 4 8 m

Es un conjunto de preguntas de análisis,

Actividad 21

reflexión, de valoración, demostración,

1

7

Una niña de 1 ,6 cm de esta tur a o bser va un r a tó n co n un á ngulo de depr esió n de 3 0 ° .

Determina

cálculo, búsqueda de relaciones, para que desarrolles, individual o colectivamente, con

3

va

do s a vio nes, co n á ngulo s de eleva ció n de

ma línea . ¿A qué dista ncia de la to r r e vuela n si

3 = 1 , 7 ).

está n sepa r a do s 4 2 0 m?

Desde el suelo

una

per so na

o bser va ,

co n un

8

á ngulo de eleva ció n de 5 3 ° , un a vió n a 2 0 0 m vo la ndo

Desde lo a lto de una to r r e de co ntr o l se o bser -

3 7 ° y 5 3 ° , vo la ndo ho r iz o nta lmente en la mis-

a qué dista ncia se encuentr a r especto del r a tó n (

2

en

fo r ma

ho r iz o nta l.

¿A qué a ltur a

pa sa a vió n?

El ho mbr e má s pequeño del mundo o bser va , co n á ngulo

de eleva ció n de 5 3 °

depr esió n de 3 7 ° , lo s pies y la

y

á ngulo

de

pa r te super io r

de la ca bez a del ho mbr e má s a lto del mundo . Una

per so na

de 2

m

de esta tur a

o bser va

¿Q ué a ltur a tiene ca da uno si está n sepa r a do s

la

pa r te super io r de una to r r e de a lta tensió n co n

1 0 8 m?

un á ngulo de eleva ció n de 3 7 ° . S i la per so na se encuentr a a 6 m de la to r r e,

ha lla

su a ltur a .

9

Desde lo a lto de una to r r e de vigila ncia se o bser va ,

apoyo de tu profesor o tus compañeros.

4

co n un á ngulo

de depr esió n de 6 0 ° ,

a

una per so na de 1 , 8 m de esta tur a que se a cer Desde un helicó pter o se o bser va una isla co n

ca . S i cua ndo la per so na se ha a cer ca do 3 0 me-

un á ngulo de depr esió n de 5 3 ° . S i el a ltímetr o indica 2 0 0 0 m, ¿cuá nto s metr o s debe r eco r r er ho r iz o nta lmente pa r a

pa sa r po r encima

de la

tr o s, se le o bser va co n un á ngulo de depr esió n de 3 0 ° .

Ha lla

la a ltur a de la to r r e. (

3 = 1 ,7 )

IV BIMESTRE

isla ?

10 5

Ca lcula la a ltura de un edificio (en m), si una

6

Desde lo alto de un edificio de 6 m se observa

eleva ció n de 3 7 ° y 5 3 ° , ¿qué dista ncia

3 6 m del edificio, observa la pa rte má s a lta del

lo s po stes?

edificio con un á ngulo de eleva ción de 5 3 °.

en la misma línea do s a uto s co n á ngulo s de depr esió n de 4 5 ° y 3 7 °. ¿Q ué dista ncia lo s sepa r a ?

4

1

Una pa lo ma se encuentr a entr e do s po stes de 4 8 m de a ltur a . S i lo s o bser va co n un á ngulo de

per so na de 2 m de esta tur a que se encuentr a a

64

Problemas

r a del po ste?

Solución:

1

sepa r a

ÍNDICE SECCIÓN INICIAL

SECCIÓN CENTRAL Capítulo 01:

01

Ángulo trigonométrico

ACTIVIDAD 7

Actividad 01

9

10

Actividad 02

11

12

Actividad 03

13

14

Actividad 04

15

16

Actividad 05

18

19

Actividad 06

20

22

Actividad 07

23

24

Actividad 08

26

27

Actividad 09

28

29

Actividad 10

31

32

Actividad 11

34

35

Actividad 12

37

39

Actividad 13

41

42

Actividad 14

43

44

Actividad 15

45

46

Actividad 16

48

49

Actividad 17

51

52

Actividad 18

53

56

Actividad 19

57

59

Actividad 20

61

62

Actividad 21

64

65

Actividad 22

67

68

Actividad 23

70

71

Actividad 24

72

Propiedades del ángulo trigonométrico. Cambio de sentido. Capítulo 02:

Sistemas de medición angular Sistema sexagesimal. Conversión de unidades.

Capítulo 03:

Capítulo 04:

ÁNGULOS

Sistema sexagesimal y radial en figuras geométricas Arco de circunferencia La circunferencia. Cálculo de la longitud de arco

TRIGONOMÉTRICOS Y

Capítulo 05:

DE SECTOR CIRCULAR

6

Áreas de regiones circulares Área del círculo. Área del semicírculo. Área del cuadrante.

Capítulo 06:

Sector circular I Área del sector circular.

Capítulo 07:

02

Sector circular II Área del sector circular - fórmula general.

Capítulo 08:

Relación de lados en el triángulo rectángulo I Triángulo rectángulo. Elementos del triángulo rectángulo. Posiciones relativas de los catetos.

Capítulo 09:

Relación de lados en el triángulo rectángulo II Teorema de Pitágoras.

Capítulo 10:

Relación de lados en el triángulo rectángulo III Razones entre los lados de un triángulo rectángulo.

SECTOR CIRCULAR Y RAZONES

Razones entre los lados. Capítulo 11:

UN ÁNGULO AGUDO

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I Razón trigonométrica seno.

TRIGONOMÉTRICAS DE

Razón trigonométrica coseno. Capítulo 12:

21

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II Razón trigonométrica tangente. Razón trigonométrica cotangente.

Capítulo 13:

03

Razones trigonométricas de un ángulo agudo III Razón trigonométrica secante. Razón trigonométrica cosecante.

Capítulo 14:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo IV Problemas de razones trigonométricas.

Capítulo 15:

Razones trigonométricas de ángulos notables I Razón trigonométricas de ángulos de 45°, 30° y 60°.

RAZONES

Capítulo 16:

TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO