Trigonometrie clasa a IX-a PDF

Preview

Summary

Trigonometrie Funcţia sinus sin :  → [− 1,1] este periodică (perioada principală T*=2 π ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus  π π arcsin : [ −1,1] →  − ,  este impară, mărginită, bijectivă.  2 2 N Funcţia cosinus cos :  → [− 1,1] este periodică (perioada principală T*=2 π ), pară, mărginit...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Trigonometrie clasa a IX-a Viorel Danila

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Trigonometrie

IA

N

Funcţia sinus sin :  → [− 1,1] este periodică (perioada principală T*=2 π ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus  π π arcsin : [ −1,1] →  − ,  este impară, mărginită, bijectivă.  2 2 Funcţia cosinus cos :  → [− 1,1] este periodică (perioada principală T*=2 π ), pară, mărginită. Funcţia arccosinus arccos : [ −1,1] → [ 0, π ] mărginită, bijectivă. Funcţia tangentă π  tg:  \  + kπ ; k ∈   →  este periodică (perioada principală T*= π ), impară, nemărginită. 2  Funcţia arctangentă  π π arctg :  →  − ,  este impară, mărginită, bijectivă.  2 2 Funcţia cotangentă ctg:  \ {kπ ; k ∈ } → . este periodică (perioada principală T*= π ), impară, nemărginită. Funcţia arccotangentă arcctg :  → ( 0, π ) mărginită, bijectivă.

A

TEORIE PERIODICITATE ŞI PARITATE O funcţie f:  →  se numeşte periodică dacă există T∈  * astfel încât f ( x + T ) = f ( x ) , ∀ x∈  . Dacă printre numerele T>0 există un cel mai mic T*>0 atunci acesta se numeşte perioada principală a funcţiei f. O funcţie f:  →  se numeşte impară dacă f ( − x ) = − f ( x ) , ∀ x∈  . O funcţie f:  →  se numeşte pară dacă f ( − x ) = f ( x ) , ∀ x∈  .

R

Valorile funcţiilor trigonometrice în primul cadran :

x

0

sinx

0

cosx

π

π

π

π

6

4

3

2

1 2

2 2 2 2

3 2 1 2

1

3 1 3

/

3

T 0

3 2 1 3

1

tgx

ctgx

1

1

0

/ 0

1

Semnele functiilor trigonometrice şi monotonia pe cadrane: I

II

sinx cosx tgx

+ + +

+

ctgx

+

III

− −

− − −

x

IV

−

+

− −

+ +

II

sinx cosx tgx

  

  

ctgx





III

IV

  

  





IA

Identităţi fundamentale

I

N

x

π  sin  -x  =cosx 2  π  tg  -x  =ctgx 2 

π  cos  -x  =sinx 2  π  ctg  -x  =tgx 2  tgx ⋅ ctgx=1

sin ( arcsinx ) =x

arcsin ( sinx ) =x

sin 2 x+cos 2 x=1

cos ( arccosx ) =x

arccos ( cosx ) =x

tg ( arctgx ) =x

π 2

arctgx+arcctgx=

A

arcsinx+arccosx=

arctg ( tgx ) =x

π 2

Reducerea la primul cadran

II → I

sin x = sin (π − x ) , cos cos − x= − (π

x),

x), −

sin − sin ( x −π ) = , x= −sin x

ctgx ctg − = − (π

x),

Formule paritate − sin x sin ( − x ) =

cos ( − x ) = cos x

T

−tgx tg ( − x ) =

−ctgx ctg ( − x ) =

IV → I

cos−x cos ( x π )= , cos x =

tgx tg = − ( x π ), −

R

tgx tg − = − (π

−

III → I

ctgx ctg = − (x π − ),

sin ( 2π

x)

cos ( 2π -x )

tg ( 2π = −tgx

ctgx ctg ( 2π −=

x)

x)

arcsin ( − x ) = −arcsinx

arccos ( − x ) = π − arccos x arctg ( − x ) = −arctgx

arcctg ( − x ) = π − arcctgx

Formule periodicitate 2

sin ( 2kπ + x ) = sin x

tg ( kπ + x ) = tgx

+ x ) ctgx , k ∈  ctg ( kπ =

N

cos ( 2kπ + x ) = cos x

Formule pentru sume şi diferenţe de unghiuri

tgx + tgy tg ( x + y ) = 1 − tgx ⋅ tgy tgx − tgy tg ( x − y ) = 1 + tgx ⋅ tgy ctgx ⋅ ctgy − 1 ctg ( x + y ) = ctgy + ctgx ctgx ⋅ ctgy + 1 ctg ( x − y ) = ctgy − ctgx

sin( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x

sin( x − y ) = sin x cos y − sin y cos x

Formule pentru unghiuri duble sin 2 x = 2sin x cos x

tg 2 x = =

2tgx 1 − tg 2 x Formule pentru unghiuri triple

cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x ctg 2 x

sin 3 x = 3sin x 4sin 3 x

sin

− cos 3 x

4 cos3 x 3cos x

ctg 3 x

ctg 3 x − 3ctgx 3ctgx − 1

1 − cos x x x cos ± = 2 2 2

x 1 − cos x sin x 1 − cos x x ctg = = ± = = = = 2 1 + cos x 1 + cos x sin x 2

R

± tg

ctg 2 x − 1 2ctgx

A

3tgx − tg 3 x 1 − 3tg 2 x Formule pentru jumătăţi de unghiuri tg 3 x

IA

cos( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y cos( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y

1 + cos x 2

1 + cos x 1 − cos x

sin x 1 − cos

1 + cos x sin x

−

=

x 2

T

Formule pentru substituţia cu t = tg

=

3

x 2 2 = 1− t cosx x 1+ t2 1 + tg 2 2 x 1-tg 2 1− t2 2 ctgx= = x 2t 2tg 2

x 2tg 2 = 2t = sin x x 1+ t2 1 + tg 2 2 x 2tg 2 = 2t tgx = x 1− t2 1-tg 2 2

1-tg 2

tg

x 2

N

unde t

1 sin ( x + y ) + sin ( x − y )  2 1 cos x ⋅ cos y = cos ( x − y ) + cos ( x + y )  2 1 sin x ⋅ sin y = cos ( x − y ) − cos ( x + y )  2 = y sin x ⋅ cos

A

π

IA

Formule pentru trasformarea sumelor în produse x+ y x− y x− y x+ y = sin= x + sin y 2sin − cos sin x sin y 2sin cos 2 2 2 2 x+ y x− y x+ y x− y = sin cos x + cos y = 2 cos cos cos x cos− −y 2sin 2 2 2 2 π π   sin x + cos x= sin x + sin  − x = 2 cos  x −  4 2   Formule pentru trasformarea produselor în sume

Ecuatii trigonometrice fundamentale:

sin x =−1 ⇒ x =− sin x = 0 ⇒ x = kπ

2

+ 2 kπ

π

sin x =1 ⇒ x = + 2kπ 2 cos x =−1 ⇒ x =π + 2kπ

π

+ kπ 2 cos x =1 ⇒ x =2kπ

R

cos x = 0 ⇒ x =

sin x = a ∈ [ −1,1] ⇒ S =

{( −1) arcsin a + kπ / k ∈ } k

cos x = a ∈ [ −1,1] ⇒ S = {± arccos a + 2kπ / k ∈ }

tgx = a ⇒ S = {arctga + kπ / k ∈ }

T

ctgx = a⇒ S = {arcctga + kπ / k ∈ }

4

sin x = sin y ⇒ x = y + 2k1π sau x + y = ( 2k2 + 1) π cos x = cos y ⇒ x = y + 2k1π sau x + y = 2k2π

tgx = tgy ⇒ x = y + kπ ctgx = ctgy ⇒ x = y + kπ

Pentru ecuaţiile de tipul a sin x + b cos x = c înmulţim egalitatea cu

1

a + b2 numerele obţinute cu sin respectiv cos, transformând apoi în formula sin (α ± β ) .

şi înlocuim

N

2

IA

EXERCIŢII FORMULE 1. Să se calculeze sin 1350 . 2. Să se calculeze sin 2 100 0 + cos 2 80 0 . 3. Să se calculeze sin 2 130 0 + cos 2 50 0 . 4. Să se calculeze sin 2 1350 + cos 2 450 . 5. Să se calculeze sin 120 0 . 6. Să se calculeze sin 170 0 − sin 10 0 . 7. Să se calculeze cos 0 0 + cos10 + cos 2 0 + ... + cos180 0. 8. Să se calculeze sin 60 0 − cos 30 0 . 9. Să se calculeze sin(−10 0 ) ⋅ sin(−9 0 ) ⋅ ... ⋅ sin 9 0 ⋅ sin 10 0 . 10.Să se calculeze sin 30 0 − cos 450 + sin 60 0 . 11.Să se calculeze cos 80 0 + cos100 0 . 12.Să se calculeze sin 2 80 0 + sin 2 10 0 .

sin 1350 . cos 450 14.Să se calculeze tg 2 30 0 + ctg 2 450 . 15.Să se calculeze cos 10 0 + cos 20 0 + cos 160 0 + cos 170 0 . 3 16.Să se calculeze cos x, ştiind că sin x = şi x ∈ (0 0 ;90 0 ) . 5 2 0 2 0 17.Să se calculeze sin 150 + cos 30 . 18.Să se calculeze sin 2 120 0 + cos 2 60 0 . 19.Să se demonstreze că expresia (sin x + cos x) 2 − 2 sin x ⋅ cos x este constantă, pentru oricare ar

A

13.Să se calculeze

R

fi numărul real x. 20.Să se arate că sin 10 0 − cos 80 0 = 0 .

21.Să se determine cos(180 0 − x), ştiind că x ∈ (0 0 ;90 0 ) şi cos x = . 1 2

T

22.Să se calculeze sin 2 30 0 + cos 2 60 0 . 23.Să se calculeze sin 2 1350 + cos 2 450 . 24.Să se arate că pentru x ∈ (0 0 ;90 0 ) este adevărată egalitatea sin x ⋅ cos(90 0 − x) + cos 2 (180 0 − x) = 1 . 25.Ştiind că sin 80 0 − cos 80 0 = a, să se calculeze sin 100 0 + cos100 0 − a. 26.Să se calculeze sin 1350 + tg 450 − cos 450 . 5

27.Să se calculeze sin(180 0 − x) ştiind că sin x = . 28.Să se calculeze

4 5 1 cos(180 0 − x) ştiind că cos x = . 3 2 0 2 sin 135 . sin 2 250 + sin 2 650 . lg(tg 40 0 ) ⋅ lg(tg 410 ) ⋅ ... ⋅ lg(tg 450 ).

N

29.Să se calculeze 30.Să se calculeze 31.Să se calculeze 32.Să se calculeze produsul (cos10 − cos 9 0 ) ⋅ (cos 2 0 − cos 80 ) ⋅ ... ⋅ (cos 9 0 − cos10 ).

23π . 12 23π π 34.Să se calculeze cos ⋅ sin . V1 12 12 1 35.Ştiind că sin α = să se calculeze cos 2α . V3 3 91 36.Să se arate că sin 2 1o + sin 2 2o + ... + sin 2 90o = . V9 2 37.Ştiind că ctgx = 3 , să se calculeze ctg 2 x . V12 5 3π 38.Fie α ∈  π ,  astfel încât cos α = − . Să se calculeze sin α . V15 13 2   3 π 39.Fie α ∈  , π  astfel încât sin α = . Să se calculeze sin 2α . V16 5 2  ctg1 − tg1 40.Să se arate că ctg 2 = . V19 2 1 41.Ştiind că sin x = , să se calculeze cos 2x . V21 3 42.Să se calculeze sin 75o + sin15o . V22 π 1 43.Să se calculeze tg  − arctg  . V23 2 2 44.Ştiind că tgα = 2 , să se calculeze sin 4α . V23

A

IA

33.Să se calculeze cos

π

π

π

π

45.Să se calculeze sin  +  + sin  −  . V25 6 4 6 4 π

R

46.Fie α ∈  , π  astfel încât sin α = . Să se calculeze tgα . V26 3 2  1

, să se calculeze sin 2α . V27 47.Ştiind că α ∈  şi că sin α + cos α = π

1 3

48.Ştiind că α ∈  , π  şi că sin α = , să se calculeze tgα . V28 3 5

T

2  π 49.Ştiind că α ∈  0,  şi că tgα + ctgα = 2 , să se calculeze sin 2α . V29  2

50.Să se arate că sin

π

=

2− 2 . V30 2

8 51.Să se arate că sin 6 < 0 . V31

6

π

52.Ştiind că x ∈  , π  şi că sin x = , să se calculeze sin . V32 5 2 2  3

x

π

53.Ştiind că x ∈  şi că tgx = , să se calculeze tg  x +  . V33 Se consideră triunghiul ascuţit 2 3 1

N

  unghic ABC în care are loc relaţia sin B + cos B = sin C + cos C .  1 3 54.Să se arate că numărul sin  arcsin  + sin  arccos  este natural. V37 2 2   

6+ 2 . V37 4 6− 2 . V39 56.Să se arate că sin15o = 4 57.Să se demonstreze egalitatea sin ( a + b ) ⋅ sin ( a − b=) sin 2 a − sin 2 b, ∀a, b ∈  . V40

55.Să se arate că sin105o =

. Să se calculeze 58.Fie a şi b numere reale astfel încât sin a + sin b = 1 şi cos a + cos b = 1 2

IA

cos ( a − b ) . V41

6+ 2 2 3 π 60.Ştiind că α ∈  , π  şi că sin α = , să se calculeze ctgα . V44 5 2 

59.Să se arate că sin105o + sin 75o = . V43 61.Să se arate că 2 ( sin 75o − sin15o ) = 2 . V45

62.Să se verifice egalitatea 2 ( cos 75o + cos15o ) = 6 . V47 π

63.Ştiind că x ∈  0,  şi că tgx = 3 , să se calculeze sin 2x . V49  2

A

12 π 64.Să se calculeze tg 2α , ştiind că α ∈  0,  şi sin α = . V50

13  2 65.Să se calculeze tg ( a + b ) , ştiind că ctga = 2 şi ctgb = 5 . V51

66.Să se calculeze tg 2 x , ştiind că ctgx = 3 . V55 67.Să se calculeze sin 2 x , ştiind că ctgx = 6 . V59 68.Fie ABC un triunghi cu= tgA 2,= tgB 3. Să se determine măsura unghiului C. V64 α

R

69.Ştiind că tg

2

=

70.Să se calculeze

71.Să se calculeze

T

72.Să se calculeze

1 , să se calculeze sin α . V65 3 cos 2 x , ştiind că tgx = 4 . V66 π 2π 3π 4π . V67 sin + sin + sin + sin 3 3 3 3 1 cos 2α , ştiind că cos α = . V67 3 11π . V68 sin 12 7π . V69 cos 12

73.Să se calculeze

74.Să se calculeze

7

75.Să se calculeze cos 75o − cos15o . V70 76.Să se calculeze sin 75o ⋅ cos15o . V72 π

77.Fie α ∈  , π  astfel încât cos 2α = . Să se calculeze cos α . V73 2 2  1

π

78.Fie α ∈  , π  astfel încât cos 2α = − . Să se calculeze sin α . V74 2 2  π

α

79.Fie α ∈  , π  astfel încât sin α = . Să se calculeze tg . V76 5 2 2  3

π

80.Fie α ∈  0,  astfel încât sin α = . Să se calculeze tgα . V77 4  2 3

π π

π

N

1

81.Fie a, b ∈  − ,  , astfel încât a + b = . Să se arate că tga ⋅ tgb + tga + tgb = 1 . V78 4 2 2 



82.Fie x ∈  , astfel încât tg 2 x = 6 . Să se calculeze cos 2 x . V79

1 + cos x . Să se calculeze sin 2x . V80 2

IA

83.Fie x ∈  , astfel încât sin x=

π

84.Fie a, b ∈  , astfel încât a + b = . Să se arate că sin 2a + sin 2b = 2 cos ( a − b ) . V81 2

85.Fie a ∈  , astfel încât sin a = . Să se arate că sin 3a . V82

1 4 o o o 86.Să se arate că tg1 ⋅ tg 2 ⋅ tg 3 ⋅ ... ⋅ tg 89o = 1 . V83

87.Fie a, b ∈  , astfel încât a − b = π . Să se arate că are loc relaţia cos a ⋅ cos b ≤ 0 . V84

3π 2 0 89.Să se calculeze suma cos1 + cos 20 + ... + cos1790. V86

88.Fie a, b ∈  , astfel încât a + b = . Să se arate că sin 2a − sin 2b = 0 . V85 π

A

. Să se arate că x ⋅ y = 90.Numerele reale x şi y verifică egalitatea arctgx + arctgy = 1 . V88 3π

91.Să se calculeze tgx , ştiind că x ∈  , π  şi sin 2 x = − . V88 5  4  2

3

π

92.Fie a, b ∈  , astfel încât a + b = . Să se arate că sin 2a − sin 2b − sin ( a − b ) = 0 . V89

3 93.Să se arate că sin 40 ⋅ sin140 = cos 2 1300 . V91 1 3π 94.Fie α ∈  π ,  astfel încât cos α = − . Să se calculeze sin 2α . V92 3 2   95.Fie α ∈  , astfel încât sin α + cos α = 1 . Să se calculeze tg 2α . V94 o

R

o

96.Să se arate că sin x + sin 3x + sin 5 x = + (1 2 cos ⋅2 x ) sin 3 x . V95 π

T

97.Ştiind că a ∈  , π  şi că sin a = , să se calculeze tga . V98 5 2  98.Să se determine cel mai mare element al mulţimii {cos1, cos 2, cos 3} . V99 3

99.Fie a ∈  cu tga = . Să se calculeze sin a . V100 2 5

8

π

100. Ştiind că x ∈  , π  şi sin x = , calculaţi cos x . Bac2011 3 2  ECUAŢII 101. Să se rezolve în mulţimea ( 0, π ) ecuaţia sin 3x = sin x . V6 2 2

102. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia sin x = − . V7

1 2 103. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia tg ( − x ) =1 − 2tgx . V11

N

104. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia cos 2 x = . V12

1 2 105. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia sin x + cos x = 0 . V15

1 π 2 3 1 π 107. Să se rezolve în intervalul [ −1,1] ecuaţia arccos + arcsin x = . V18 2 2 108. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia sin x + cos− x = 1 . V20

IA

106. Să se rezolve în intervalul [ −1,1] ecuaţia arcsin + arcsin x = . V16

109. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x = 1 + cos 2 x . V32 110. Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei sin x = sin 2 x din intervalul [ 0, 2π ) . V34 111. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x + cos ( − x ) = 1 . V38 π

112. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctgx + arcctg = . V42 1 3

2

113. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arc sin 2 x = − . V44

A

1 2 114. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos 2 x + sin x = 0 . V48 115. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia 2sin x + 1 =0 . V61

π

π

116. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos  2 x + = cos  x −  . V62 2 2

R

    π π  117. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin  x − =  sin  3 x +  . V63 4 4   π π 118. Să se rezolve în ( 0, π ) ecuaţia tg  x + = tg  − x  . V64 3  2  119. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3sin x + 3 cos x = 0 . V65

120. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ] ecuaţia 3 sin x − cos x = 1 . V66

121. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg + arctg x 3

1 π . V68 = 3 3

π

122. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg 3 + arctgx = . V76

T

123. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia . V83

2

π

π

124. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin  x + = cos  x −  . V86 3 6 







9

π

125. Să se rezolve în intervalul ( 0,5 ) ecuaţia sin  2 x + − = . V92 6 2   126. Să se determine α ∈ ( 0, 2π ) astfel ca tgα = sin α . V93

1

127. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin 2 x = cos x . V97

3π   . Care este probabilitatea ca, alegând un element 2   6 2 din mulţimea A, acesta să fie soluţie a ecuaţiei sin 3 x + cos3 x = 1 ? Bac2010

π π

R

A

IA

N

Fie mulţimea A = 0, , , π ,

T

128.

10...