U2 Matematicas-Geometria,tridimencional PDF

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geometría tridimensional...

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1. INTRODUCCIÓN Se iniciará la unidad con el estudio de la geometría tridimensional, la cual su principal objetivo es representar en proyecciones planas las figuras del espacio a manera de poder resolver con la ayuda de la geometría plana, los problemas en que intervienen tres dimensiones es decir representar en él las figuras de los sólidos. Es importante que el estudiante conozca conceptos de proyección, además de percibir el espacio tridimensional y subdivisión de cuadrantes, además el estudiante debe desarrollar las capacidades para la solución de problemas geométricos, en cuanto a formas y dimensiones que se presentan en la ingeniería.

2. ESTRUCTURA DE CONTENIDOS Unidad 2: Geometría tridimensional 2.1 Concepto de proyección 2.2 Tipos de proyección 2.3 Montea 2.4 Isométricas 2.5 Espacio tridimensional y espacio de cuadrantes 2.6 Axonometría

3. DESARROLLO DE CONTENIDOS ¿Quién alguna vez, no ha escuchado hablar de los diferentes espacios o dimensiones en geometría?, lo más común es un espacio en dos dimensiones además del espacio donde vivimos que es el de tres dimensiones o espacio tridimensional, por lo que el espacio tridimensional es el más obvio y observable para nosotros pues como ya se mencionó antes es en el que vivimos y somos parte integral de dicho espacio. Todo lo que nos rodea está en un espacio de tres dimensiones. En cada uno de los espacios que se mencionado existen formas, objetos y figuras que determinan las características de los elementos que existen en dicho espacio El espacio tridimensional es donde existen todos los objetos sólidos que se conocen, incluyendo a los seres vivos.

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2.1 Concepto de proyección Se define como proyección a la acción de proyectar, es decir el hacer pasar por un punto una recta imaginaria (proyectante) cuya intersección con el plano da como resultado un punto llamado proyección.

Figura 1. Proyección. 2.2 Tipos de proyección En esta sección se definen algunos tipos de proyección, como son proyecciones cilíndricas oblicuas, proyección cilíndrica ortogonal y la proyección cónica. Proyección cilíndrica oblicua, es aquella en la que el centro de proyección de donde provienen todos los rayos proyectantes se encuentran en el infinito el cual es llamado punto impropio, es decir, los rayos de proyección son paralelos, los cuales forman un ángulo que no va a ser recto respecto del plano de proyección. Proyección cilíndrica recta ortogonal es cuando las líneas rectas proyectantes son paralelas entre si y se trazan de forma perpendicular a los planos de proyección. Estos son los principios del sistema dédrico, sistema que utilizaremos para la representación de piezas de carácter técnico. La proyección de la figura ABCD, nos muestra la Representación Cilíndrica Ortogonal sobre un Plano de Proyección. Como se puede observar las líneas rectas proyectantes, que pasan por todos los puntos de la figura, son paralelas entre sí y perpendiculares al Plano de Proyección.

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Figura 2. Proyección cilíndrica recta ortogonal

Proyección cónica es cuando se considera que el punto de proyección (v) está situado en un punto cercano al elemento a proyectar y las líneas proyectantes forman un cono cuyo vértice es el punto de proyección.

Figura 3. Proyección cónica

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2.3 Montea El sistema usual de proyección es el cilíndrico recto llamado también ortogonal. Para hacer referencia a este se define a él espacio geométrico. en tres sentidos: alto, ancho y alejamiento mediante tres ejes rectos OX, OY, OZ. Perpendiculares entre sí que pasan por un punto común “O” llamado origen, Estos tres ejes determinan tres planos que forman entre sí ángulos rectos. Estos tres planos se reconocen con los siguientes nombres: Plano Vertical (PV) XOZ, Plano Horizontal (PH) XOY, Plano Lateral (PL) ZOY. La línea OX en que se unen el vertical y el horizontal se denomina LÍNEA DE TIERRA (LT). La montea se representa en tres proyecciones o planos y prescinde del objeto en espacio y haciendo abstracción de él, se extienden los tres planos para verlos en dos dimensiones. Se conserva el plano vertical en su lugar, en seguida se separa el horizontal del lateral por la línea OY, se girar el primero sobre OX y el segundo sobre OZ hasta que se conviertan en coplanares con el vertical, entonces se hace una representación de los tres planos en uno solo. Se obtiene de esta manera la montea, que representa el espacio. Así la montea representa al objeto de estudio por sus proyecciones: vertical ubicada en plano vertical mediante alto y ancho; horizontal en el plano horizontal por ancho y alejamiento y lateral en el lateral por alejamiento y alto. La intersección de los dos planos se llama línea de tierra (LT).

2.4 Isométricas En significado de Isométrica es “de medidas iguales”, se necesita situar el objeto de manera que sus aristas principales o ejes formen ángulos iguales con el plano de proyección. Se denomina isométrica a las proyecciones cilíndricas rectas u ortogonales que permiten obtener el aspecto tridimensional del objeto en el espacio. Se representará con un eje vertical que indica las alturas y dos ejes laterales a partir del punto de origen.

2.5 Espacio tridimensional y espacio de cuadrantes Se puede definir un espacio tridimensional en el cual tenemos tres grados de libertad de movimiento. El espacio tridimensional se conoce comúnmente como el espacio. Para

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poder ubicar un punto en el espacio necesitamos tres movimientos en tres direcciones con relación a un punto de referencia. Imagine su habitación, si se ubica en una esquina como punto de referencia entonces cualquier forma para llegar hasta una televisión (punto) se puede descomponer en tres movimientos con relación a las paredes, un largo, un ancho y una altura.

Supuesto el espacio geométrico, definido por tres ejes ilimitados los planos que estos determinan también lo serán. Se ha eliminado el plano lateral de proyección, conservando solo el vertical y el horizontal, que se cortan en la línea de tierra y que extendiéndose en sus respectivos sentidos se divide el espacio en cuatro zonas o cuadrantes. La línea de tierra será en lo sucesivo origen y referencia para los planos, los cuadrantes y los datos en ellos contenidos, es para nosotros el centro del espacio. A partir de la línea de tierra el plano horizontal tendrá parte delante de ella horizontal anterior y parte detrás horizontal posterior; en tanto el vertical tendrá parte arriba vertical superior y parte abajo vertical inferior. Los cuadrantes que numeramos en sentido contrario a las manecillas del reloj se definen como sigue: I. Cuadrante, entre horizontal anterior y vertical superior. II. Cuadrante, entre vertical superior y horizontal posterior. III. Cuadrante, entre horizontal posterior y vertical inferior. IV. Cuadrante, entre vertical inferior y horizontal anterior.

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Figura 4. Plano tridimensional. 2.6 Axonometría En la representación de cuerpos mediante sus vistas se procura que los planos de proyección sean paralelos o perpendiculares a las direcciones principales de la pieza, con lo cual las vistas constituyen representaciones del cuerpo que solo se muestran dos dimensiones del mismo. El objeto por medio de sus vistas queda representado realmente como es en forma y dimensiones con proyecciones que pueden obtenerse fácilmente pero que no son siempre suficientemente intuitivas, lo que requiere una imaginación preparada para formarse idea de la pieza a partir de sus vistas. El método axonométrico consiste en la representación de los cuerpos sobre un plano de dibujo por medio de una sola proyección, dispuestos de cualquier manera, sin ninguna condición de paralelismo o perpendicularidad respecto del citado del plano. Es decir, que en dicha proyección se aprecian las tres direcciones principales del cuerpo, lo cual da una idea de la forma y magnitudes del mismo. Para representar las tres dimensiones que definen un cuerpo en el espacio, partiendo que cada dimensión estará representada por un eje; lo que da originen el nombre de axonométrica, cuyo significado es representar un cuerpo en el espacio tomando como base tres ejes.

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Los tipos de proyección axonométrica son: 

Proyección isométrica: ángulos y proyecciones iguales. Se denomina proyección axonométrica isométrica cuando los tres ejes coordenados de referencia forman el mismo ángulo con el plano de proyección π.

Figura 5. Proyección axonométrica isométrica de un cubo de 25 mm de lado. Todas las aristas del cubo pertenecientes o paralelas al eje coordenado X, deben multiplicarse por el coeficiente de reducción CX antes de dibujarlas en la proyección axonométrica isométrica. Es decir 25 mm x CX = 25 mm x 0,816... = 20,41... mm. De igual manera para las aristas pertenecientes o paralelas a los ejes coordenados Y y Z. Todas las aristas que sean paralelas a algún eje coordenado, en la proyección axonométrica deberán dibujarse paralelas al correspondiente eje axonométrico.

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Proyección dimétrica: dos ángulos y dos proyecciones iguales. Cuando dos ejes coordenados de referencia forman el mismo ángulo con el plano de proyección π y el tercer eje un ángulo distinto, se obtiene una proyección axonométrica dimétrica. Es decir que existen infinitas posiciones de los ejes coordenados en el espacio que satisfagan con esta condición. Dentro de los infinitos casos de proyección axonométrica dimétrica solo utilizaremos la denominada “Proyección axonométrica dimétrica normalizada” o lo que es lo mismo “Proyección axonométrica dimétrica” conocidas así por los ingenieros.

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Figura 6. Proyección axonométrica dimétrica normalizada de un cubo de 25 mm de lado Todas las aristas del cubo pertenecientes o paralelas al eje coordenado X, deben multiplicarse por el coeficiente de reducción CX antes de dibujarlas en la proyección axonométrica dimétrica normalizada. Es decir 25 mm x CX = 25 mm x 0.471... = 11,79 mm. De igual manera para las aristas pertenecientes o paralelas a los ejes coordenados Y y Z se debe multiplicar por los coeficientes CY y CZ respectivamente, es decir 25 mm x ( CY ó CZ ) = 25 mm x .,942... = 23.57 mm. 

Proyección trimétrica: ángulos y proyecciones desiguales. Es aquella en la cual los tres ejes coordenados de referencia forman distintos ángulos con el plano de proyección π. Existen infinitas posiciones de los ejes coordenados en el espacio para obtener una proyección axonométrica trimétrica. Para una proyección de este tipo, los ángulos centrales entre los ejes axonométricos son todos distintos.

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4. GLOSARIO Curva: Es aquella línea que no tiene partes rectas. Figura geométrica: Extensión limitada por puntos, líneas y superficies. Cuerpo sólido: Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee longitud, anchura y altura. Segmento: Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes. Arco: Porción de curva limitada por 2 puntos no coincidentes. Proyección: Proyectar es hacer pasar por un punto una recta imaginaria cuya intersección con el plano da como resultado un punto llamado proyección.

5. RECURSOS BIBLIOGRÁFICOS Álvarez, C. J. (2015). Introducción a la geometría. México: Universidad del Norte. CONAMAT. (2015). Matemáticas simplificadas. México: Pearson. Rafael García Sánchez, a. J. (2016). Fundamentos de sistema diédrico y geometría descriptiva. México: Universidad Politécnica de Cartagena. Vigil, E. C. (2016). Geometría analítica . México: Grupo Editorial Patria.

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