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Temas completos unidad 3...

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Instituto Tecnológico De Chilpancingo Sistemas Computacionales Calculo Vectorial Gabriel Ramírez Arena Unidad 3 3.1 Definición de Función Vectorial de una Variable Real Curvas en el espacio y sus tangentes Cuando una partícula se mueve en el espacio durante un intervalo de tiempo I, visualizamos las coordenadas de la partícula como funciones definidas de I:

Los puntos (x, y, z) 5 ( f(t), g(t), h(t)), t H I, forman la curva en el espacio que llamamos la trayectoria de la partícula. Las ecuaciones y el intervalo de la ecuación (1) paramétrica a la curva Una curva en el espacio también se representa en forma vectorial. El vector

del origen a la posición de la partícula P( f(t), g(t), h(t)) en el tiempo t es el vector de posición de la partícula (figura 13.1). Las funciones f, g y h son las funciones componentes (los componentes) del vector de posición. Consideramos la trayectoria de la partícula como la curva trazada por r durante el intervalo de tiempo I. La figura 13.2 muestra varias curvas en el espacio generadas por un programa de graficación por computadora. No sería fácil dibujar estas curvas a mano.

La ecuación (2) define a r como una función vectorial de la variable real t en el intervalo I. Generalmente, una función con valores vectoriales o función vectorial sobre un dominio D es una regla que asigna un vector en el espacio a cada elemento de D. Por ahora, los dominios serán intervalos de números reales que producirán una curva en el espacio. Posteriormente, en el capítulo 16, los dominios serán regiones en el plano. Las funciones vectoriales representarán entonces superficies en el espacio. Las funciones vectoriales en un dominio del plano o del espacio también dan lugar a “campos vectoriales”, los cuales son importantes en el estudio del flujo de un fluido, los campos gravitacionales y los fenómenos electromagnéticos. En el capítulo 16 investigaremos los campos vectoriales y sus aplicaciones. Las funciones con valores reales se llaman funciones escalares, para distinguirlas de las funciones vectoriales. Los componentes de r en la ecuación (2) son funciones escalares de t. El dominio de una función con valores vectoriales es el dominio común de sus funciones componentes.

Longitud de arco en el espacio Longitud de arco a lo largo de una curva en el espacio Una de las características de las curvas suaves en el espacio y en el plano es que se puede medir su longitud. Esto nos permite localizar puntos en estas curvas por medio de su distancia dirigida, s, a lo largo de la curva y desde un punto base, de la misma forma en que localizamos puntos en los ejes coordenados al dar su distancias dirigidas al origen (figura 13.12). Esto es lo que hicimos para curvas en el plano en la sección 11.2. Para medir la distancia a lo largo de una curva suave en el espacio, agregamos el término z a la fórmula que usamos para las curvas en el plano.

Al igual que con las curvas planas, podemos calcular la longitud de una curva en el espacio a partir de cualquier parametrización conveniente que satisfaga las condiciones requeridas. Omitiremos la prueba. La raíz cuadrada en la ecuación (1) es uvu, la longitud del vector velocidad. Esto nos permite escribir la fórmula de la longitud en forma simplificada.

EJEMPLO 1 Un planeador se eleva a lo largo de la hélice r(t) = (cos t)i + (sen t)j + tk. ¿Cuál es la longitud de la trayectoria del planeador, desde t = 0 hasta t = 2pi? Solución El segmento de la trayectoria durante este tiempo corresponde a una vuelta completa de la hélice (figura 13.13). La longitud de esta parte de la curva es

e Esto es veces la longitud de la circunferencia en el plano xy sobre el cual se eleva la hélice. Si seleccionamos un punto base P(t0) en una curva suave C parame trizada por t, cada valor de t determina un punto P(t) = (x(t), y(t), z(t)) en C y una “distancia dirigida”

Medida a lo largo de C desde el punto base (figura 13.14). Ésta es la función de longitud de arco que definimos en la sección 11.2 para curvas planas que no tienen un componente z. Si t > t0, s(t) es la distancia a lo largo de la curva de P(t0) hasta P(t). Si t < t0, s(t) es el negativo de la distancia. Cada valor de s determina un punto en C, y esto paramétrica a C con respecto a s. Llamamos a s un parámetro de longitud de arco de la curva. El valor del parámetro se incrementa en la dirección en la que crece t. Veremos que el parámetro de longitud de arco es particularmente útil al estudiar los giros y las torsiones naturales a una curva en el espacio.

Rapidez en una curva suave Puesto que las derivadas dentro del radical de la ecuación (3) son continuas (la curva es suave), el teorema fundamental del cálculo nos dice que s es una función derivable de t con derivada

La ecuación (4) dice que la rapidez con la cual se mueve una partícula a lo largo de su trayectoria es la magnitud de v, lo cual es consistente con lo que ya sabemos. Si bien el punto base P(t0) tiene que ver con la definición de s en la ecuación (3), éste no desempeña ningún papel en la ecuación (4). La tasa a la que una partícula en movimiento recorre distancia a lo largo de su trayectoria, es independiente de lo lejos que se encuentre del punto base. Observe que ds/dt . 0 puesto que, por definición, uvu nunca se anula para una curva suave. Vemos otra vez que s es una función creciente de t.

Vector tangente unitario T

Ya sabemos que el vector velocidad v = dr/dt es tangente a la curva r(t) y que el vector Es, por lo tanto, un vector tangente unitario a la curva (suave), llamado vector tangente unitario

(figura 13.15). El vector tangente unitario T es una función derivable de t siempre que v sea una función derivable de t. Como veremos en la sección 13.5, T es uno de tres vectores unitarios en un sistema de referencia móvil que se usa para describir el movimiento de objetos que viajan en tres dimensiones.

Curvatura de una curva plana Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva suave en el plano, T = dr/ds gira conforme la curva se va doblando. Puesto que T es un vector unitario, su longitud es constante y sólo cambia su dirección cuando la partícula se desplaza a lo largo de la curva. La razón a la que T gira por unidad de longitud a lo largo de la curva se llama curvatura (figura 13.17). El símbolo tradicional para la función de curvatura es la letra griega k (“kappa”).

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3.2 Límites y Continuidad de una Función Vectorial Límites

Es más complicado calcular el límite de una función de dos variables que la de una variable. En una función de una sola variable tan solo debemos aproximarnos al límite por la izquierda y por la derecha, si estos dos caminos llegan al mismo límite entonces este existe.

Ejemplos de cuando un límite no existe: Continuidad Una función z=f(x,y) es continua en (a,b) si f(a,b) esta definida, el límite existe y aparte es el mismo valor de la función f(a,b). Cuando no se cumplen estas condiciones se dice que la función es "discontinua". La gráfica de una función continua es una superficie sin quiebres.

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3.3 Derivada de una Función Vectorial En el cálculo existen diferentes tipos de funciones. Las más comunes son las funciones cartesianas, de la forma y = f(x). Por otro lado hay funciones polares, en las que la variable dependiente es un radio y la independiente, un ángulo. Pero existe otra familia de funciones, llamadas funciones vectoriales. Las funciones vectoriales son vectores en los que cada uno de sus componentes depende de un parámetro t como variable independiente. La forma de las funciones vectoriales es la siguiente:

Las funciones vectoriales describen una figura mediante vectores. Una curva en el espacio o en el plano está formada por una sucesión de puntos. Cada punto es el extremo de cada vector que proviene del origen. Hay un número infinito de vectores.

Al igual que cualquier función, las funciones vectoriales tienen su cálculo diferencial e integral. Límites El concepto de límite es aplicable a las funciones vectoriales. La idea es igual al límite en funciones vectoriales; cuando el parámetro t se aproxima a un valor a, la función vectorial tiende a tomar un valor también. El cálculo de límites se denota de la siguiente forma:

Por ejemplo, el límite de la siguiente función vectorial cuando t tiende a 0:

El límite se expresa y se calcula:

La dificultad del límite dependerá de las funciones x, y y z que se encuentren en las componentes.

Cálculo vectorial diferencial Derivar una función vectorial es simple. Es similar a derivar una función de una variable. La diferencia es que se deriva cada componente del vector de la función. Sin embargo, cada derivada se hace respecto al parámetro t.

Por ejemplo, derivar la siguiente función:

Para derivar la función, se deriva cada componente:

Una aplicación del cálculo vectorial diferencial es en la física, específicamente en la dinámica. Una función vectorial puede representar la posición de una partícula o un objeto. La derivada de una función vectorial representa la velocidad de la partícula. La segunda derivada de la función es la función aceleración. Todas estas tres funciones dependen del parámetro t, que para este caso, es el tiempo. Como vectores, tienen magnitud, dirección y sentido. Para conocer su magnitud es necesario calcularla mediante la siguiente fórmula:

La magnitud de la velocidad se conoce como rapidez. Por ejemplo, se tiene que una partícula se mueve en el plano y su trayectoria está descrita con la siguiente función vectorial:

Para encontrar la velocidad hay que derivar la función:

Si se pide la velocidad en el tiempo t=1, basta con evaluar la función vectorial:

Se puede encontrar también la magnitud de la velocidad, que es la rapidez, utilizando la fórmula y evaluando en el tiempo t=1:

Finalmente, el vector aceleración es la derivada del vector velocidad:

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3.4 Integración de Funciones Vectoriales Una función vectorial es simplemente una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. Se usa la letra t para denotar la variable independiente porque representa el tiempo en la mayor parte de las aplicaciones de funciones vectoriales. Límites El límite de una función vectorial r se define obteniendo los límites de sus funciones componentes como se señala a continuación.

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3.5 Longitud de Arco La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Formula General

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor sería el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2. Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

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3.6 Vector tangente, normal y Binormal Vector tangente unitario y vector normal unitario principal: sea C una curva en el espacio descrita por r (t) = f (t) + g (t) +H (t) k, en donde f g y h tienen segundas derivadas. Vector tangente unitario ½r´ (t)½T = r’ (t) / Vector binormal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X N Los tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha, llamado triedo móvil Radio de curvatura.-El reciproco de la curvatura, p = 1/k se llama radio de curvatura. El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejor que cualquier otra. Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia. Definición del Vector Tangente Unitario: Sea c : [a , b] → R3 una trayectoria infinitamente diferenciable (es decir, existen derivadas de todos los órdenes). Supongamos que c’(t) ≠ 0 para todo t. El vector Es tangente a c en el punto c(t) y puesto que │T(t) )│ = 1, T se denomina vector tangente unitario de c Los tres juntos, T, N y B, forman un sistema ortogonal orientado positivamente, que podemos interpretar en movimiento a lo largo de la trayectoria Vector tangente unitario La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t). Vector normal unitario Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N,

siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura r = 1/k se llama radio de curvatura. Vector binormal unitario El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de C.

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3.7 Curvatura

El radio de curvatura en un punto en la curva es, a grandes rasgos, el radio



del círculo que mejor se ajusta la curva es ese punto. La curvatura, denotada como \kappaκ\kappa, es uno dividido entre el radio



de la curvatura . En las fórmulas, la curvatura se define como la magnitud de la derivada con



respecto a la longitud de arco de una función vectorial tangente unitaria:

| |

K=

dT dS

No te preocupes, más adelante revisaremos con cuidado cómo es que se calcula este valor. 

La intuición de este concepto es que el vector tangente unitario te dice en qué dirección te estás moviendo, y la razón a la que este vector cambia con respecto a pequeños pasos, dsdsd, s, sobre la curva es una buena indicación de qué tan rápido estás girando.

Moverse a lo largo de la curva Imagina alguna curva en el plano x.y Después haremos todo con fórmulas, pero por ahora, solo piensa en la imagen:

Imagina que vas conduciendo un coche a lo largo de esta curva y piensa qué tanto estarás girando el volante en cada punto. En algunos puntos, la carretera casi no se curva, por lo que vas manejando casi en línea recta, pero en otros puntos sí tendrás que girar más el volante. Ahora imagina que en algún momento mientras estás conduciendo, el volante se bloquea. Si siguieras conduciendo este volante bloqueado, además de que te vas a salir del camino, el coche va a trazar un círculo, como el verde que se muestra en la figura:

Si el volante estaba demasiado girado cuando se bloqueó, el círculo que el coche va a trazar tendrá un radio muy pequeño. Si apenas estabas girando el volante cuando se bloqueó, el radio del círculo que trazará el coche será muy grande. La siguiente animación muestra varios círculos (coloreados de verde), que trazará el coche en diferentes puntos de la curva. El radio de cada uno de estos círculos está coloreado de rojo. El radio del círculo asociado a cada punto de la curva se llama radio de curvatura en ese punto. El radio es un buen indicador de saber qué tanto la curva se curvea en cada punto. Otra forma de pensar en estos círculos es que estos abrazan a la curva más cerca que cualquier otro círculo. Otro término importante es el de curvatura, que es simplemente uno dividido entre el radio de curvatura. Por lo general se denota con \kappaκ\kappa, un símbolo pequeño y con estilo: K=

1 R

Verificación de conceptos: Cuando una curva está muy cerca de ser una línea recta, la curvatura será

Calcular la curvatura Supongamos que tienes una función que define una curva en el plano xy. Por ejemplo, la curva que usamos en la sección anterior está definida por la siguiente función vectorial: →

s ( t )= [ t=−sin ( t ) 1−cos ( t ) ] Esto es lo mismo que decir que está definida por las siguientes ecuaciones paramétricas: x ( t )=t −sin (t) y ( t )=1 −cos (t)

Calcular la curvatura implica los siguientes dos pasos:

Paso 1: encuentra un vector unitario tangente Un "vector unitario tangente" a la curva en un punto es, como es lógico esperar, un vector tangente de longitud 111. En el contexto de una curva paramé trizada definida como \vec{\textbf{s}}(t)s(t)start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, "obtener un vector unitario tangente" casi siempre significa obtener todos los vectores unitarios tangentes. Es decir, lo que se hace es definir una función vectorial T(t)T(t)T, left parenthesis, t, right parenthesis, que toma el mismo parámetro de entrada y arroja un vector unitario que es tangente a la curva en el punto \vec{\textbf{s}}(t)s(t)start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

Paso 2: encuentra

dT dS

Mientras viajas a lo largo de la curva según \vec{\textbf{s}}(t)s(t)start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, el vector unitario va cambiando de dirección mientras haces el recorrido. En vueltas cerradas el vector unitario cambia muy bruscamente, mientras que en partes relativamente

rectas,

apenas

cambia

en

absoluto.

De

hecho,

la

curvatura, \kappaκ\kappa, está definida como la derivada de la función del vector unitario tangente. Sin embargo, no es la derivada con respecto al parámetro ttt, ya que podría depender en qué tan rápido te mueves a lo largo de la curva. La derivada se tiene que tomar con respecto a pequeños cambios en la longitud de arco, que generalmente se representa con la letra sss.

K=¿∨

dT dS

Por lo general, para calcular la curvatura se aplican dos pasos, primero se toma la ds derivada de TTT con respecto a ttt, y luego se divide entre ¿∨ ∨¿ dt

|| | | || | | dT dt

dT = ds dS ds

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3.8 Aplicaciones Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contra dominio es un conjunto de vectores. x= f (t) x=g (t) x=h (t) A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en: * Geometría * Física * Ingeniería Las aplicaciones geométricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes, normales a una curva y curvatura. En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo. DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL: Sean f, g y h, funciones reales de la variable real t. Entonces se define la función vectorial R mediante: R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k Donde t es un número real del dominio común de f, g y h. En ...