MA262 Problemas unidad 3 PDF

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Cálculo I - MAProblemas unidad 31. Calcule los siguientes límites:2. Cada lado de un cuadrado se incrementa a razón de 6 cm/s. ¿Con qué rapidez se incrementael área del cuadrado cuando su área es de 16 cm2?3. Un tanque cilíndrico con 5 m de radio se está llenando con agua a razón de 3 m3/min. ¿Conqu...

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Cálculo I - MA262 Problemas unidad 3 1. Calcule los siguientes límites: a.

𝐥𝐢𝐦

𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙→𝟏 𝐬𝐞𝐧(𝝅𝒙)

e.

𝐥𝐢𝐦

𝒙 − 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒙𝟑

b.

lim

f.

lim

1 − 𝑥 + ln 𝑥 1 + cos(𝜋𝑥)

c.

lim

g.

lim

d.

𝑥→0

𝑥→∞

tan 𝑥 − 𝑥 𝑒 𝑥 − 1 − sen 𝑥 ln 𝑥 √𝑥

𝑥3 2 𝑥→∞ 𝑒 𝑥 lim

h.

𝒙→𝟎

𝑥→1

𝑥→∞

lim

𝑥→0

ln 𝑥 √𝑥

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 − 2𝑥 𝑥 − sen 𝑥

2. Cada lado de un cuadrado se incrementa a razón de 6 cm/s. ¿Con qué rapidez se incrementa el área del cuadrado cuando su área es de 16 cm2? 3. Un tanque cilíndrico con 5 m de radio se está llenando con agua a razón de 3 m3/min. ¿Con qué velocidad se incrementa la altura del agua? 4. A mediodía, un automóvil A está 200 km al oeste de un automóvil B. El automóvil A se dirige hacia el sur a 40 km/h y el automóvil B va hacia el norte a 30 km/h ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los automóviles a las 15:00? 5. Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. La longitud de un lado aumenta a razón constante de 2 cm/h. ¿A qué razón crece el área cuando un lado mide 8 cm? 5

6. Dentro de un tanque cónico está entrando agua a razón constante de 4 m3/seg. El radio del cono mide 5 metros y su altura mide 4 metros. Calcule la velocidad con que asciende la superficie libre del agua cuando la profundidad del agua es de 3 metros. (considere el vértice del cono hacia abajo como en la figura).

7. Se produce una onda circular en el agua al dejar caer una piedra desde cierta altura, esta onda viaja hacia afuera con una rapidez de 60 cm/s, determine la rapidez a la que aumenta el área del círculo después de 4 segundos.

4 r h

8. Dada la función 𝑓 y sus derivadas: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 15𝑥 + 40 a. Utilice límites para determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de 𝑓. b. Determine los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los puntos extremos locales de 𝑓. c. Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓. d. Trace la gráfica de la función 𝑓 y señale los puntos notables a partir de la información obtenida en los ítems anteriores. 9. Dada la función 𝑓 y sus derivadas: 𝒇(𝒙) =

𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟒 𝟔(𝒙 − 𝟏)𝟐

𝒇´(𝒙) =

−𝟑𝒙 + 𝟏 𝟔(𝒙 − 𝟏)𝟑

𝒇´´(𝒙) =

𝒙 (𝒙 − 𝟏)𝟒

a. Utilice límites para determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de 𝑓 . b. Determine los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los puntos extremos locales de 𝑓. c. Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓. d. Trace la gráfica de la función 𝑓 y señale los puntos notables a partir de la información obtenida en los ítems anteriores. 10. Dada la función 𝑓 y sus derivadas: 𝑓(𝑥) =

4𝑥 2 −16𝑥 ; ; 𝑓 ′(𝑥) = (𝑥 − 2)3 𝑥 2 − 4𝑥 + 4

𝑓′′(𝑥) =

32𝑥 + 32 (𝑥 − 2)4

Realice lo siguiente: a. Utilice límites para determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales (si es que existen) de 𝑓. b. Determine los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los puntos extremos locales de 𝑓, sí existen. c. Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓, sí existen. d. Trace la gráfica de la función 𝑓 y señale los puntos notables a partir de la información obtenida en los ítems anteriores. 11. Dada la función 𝑓 y sus derivadas: 𝑓(𝑥) =

4(3𝑥 − 4) 3𝑥 2 − 8 ; ; 𝑓 ′(𝑥) = − 2 (𝑥 − 2)3 𝑥 − 4𝑥 + 4

𝑓′′(𝑥) =

24(𝑥 − 1) (𝑥 − 2)4

Realice lo siguiente: a. Utilice límites para determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales (si es que existen) de 𝑓.

b. Determine los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los puntos extremos locales de 𝑓, sí existen. c. Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓, sí existen. d. Trace la gráfica de la función 𝑓 y señale los puntos notables a partir de la información obtenida en los ítems anteriores. 12. Debemos construir un contenedor rectangular (con tapa) de manera tal que el largo del contenedor sea igual al doble del ancho y su volumen sea 36 metros cúbicos. Si el material para la base y la tapa cuesta S/. 15 el metro cuadrado y el material para los lados cuesta S/.7, determine el costo total en materiales al construir el contenedor donde dicho costo sea mínimo. 13. Se desea construir un silo con la forma de un cono circular recto que tenga la generatriz igual a 15 m. ¿Cuál debe ser la altura del silo para que su volumen sea el mayor posible?

14. Se tiene un cartón cuadrado cuyo lado mide 12 cm. De sus esquinas se cortan cuadrados iguales para construir con el cartón restante una caja sin tapa cuyo volumen se desea que sea máximo. Calcule las dimensiones de la caja que verifiquen dichas condiciones.

15. Se dispone de un hilo metálico de 280 m de longitud. Se quiere cortar dicho hilo en tres tramos de tal forma que la longitud de uno de ellos sea el doble del otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Calcule la longitud de cada tramo. 16. Un terreno rectangular ha de cercarse en tres porciones iguales a dividir cercas paralelas a dos lados, como se muestra en la figura.

y

x 4500𝑚2 ,

Si el área a cercar es de cantidad mínima de cerca.

determine las dimensiones del terreno que requiere la

17. Se desea construir un silo con la forma de un cono circular recto que tenga la generatriz igual a 15 m. ¿Cuál debe ser la altura del silo para que su volumen sea el mayor posible?

18. Se desea construir un contenedor rectangular (con tapa) de manera tal que el largo de su base sea igual al doble del ancho de la base y su volumen sea 12 metros cúbicos. Si el material para la base y la tapa cuesta S/. 10 el metro cuadrado y el material para los lados cuesta S/.8, determine las dimensiones del contenedor para que el costo sea mínimo.

19. Se quiere diseñar un envase cilíndrico cuya capacidad sea 39,73 cm3, encuentre las dimensiones del radio y la altura, que minimizan el costo total de lata a utilizar, si el costo por cm2 de lata es de 50 céntimos.

20. Se desea cercar un terreno en forma de rectángulo cuya área sea 300 m2 . También será necesario colocar un tramo de cerca que divida el terreno en dos rectángulos iguales. Determine las dimensiones del terreno para que la cantidad de cerca empleada sea mínima.

Respuestas 1. a)

2 𝜋

b) 0

c) 0

d) 0

e)

1 6

f) −

1

𝜋2

g) 0

h) 2

2.

El área del cuadrado se incrementa a una rapidez de 48 cm2/s

3.

La altura del agua se incrementa a una velocidad de 0,038 m/min aproximadamente.

4.

La distancia entre los automóviles crece a una razón de 50,69

5. El área de la placa crece a una razón de 13,856

𝑐𝑚2

ℎ

𝑘𝑚

ℎ

aproximadamente.

aproximadamente.

6. La rapidez con que está subiendo la superficie libre del agua en el depósito cónico es 0,09 𝑚/𝑠 aproximadamente. 7. El área del círculo aumenta con una rapidez de aproximadamente. 90478 cm2 /s, después de 4 segundos. 8. AV: no existe

AH: no existe

•

𝑓 es creciente en: ]−∞; −1[, ]5; ∞[.

•

𝑓 es decreciente en: ]−1; 5[.

Punto mínimo local (5; −60) y punto máximo local (−1; 48). •

𝑓 es cóncava hacia abajo en: ]2; ∞[

•

𝑓 es cóncava hacia arriba en: ]−∞; 2[

Punto de inflexión (2; −6). 9. Dom(𝑓) = 𝑅 − {1}, A.V.:𝑥 = 1 y A.H.: 𝑦 = 1 •

1

1

f crece:] ; 1[ y f decrece: ] − ∞; [ , ]1; ∞[ 3 3

1

5

Punto mínimo local ( ; 8). 3

No presenta máximo local. •

f cóncava hacia arriba: ]0; 1[ , ]1; ∞[

•

f cóncava hacia abajo: ] − ∞; 0[ 2

Punto de inflexión: (0; 3) 10. A.V. 𝑥 = 2 •

A.H. 𝑦 = 4

𝑓 es creciente en ]0; 2[ ; 𝑓 es decreciente en ]−∞; 0[ y ]2; ∞[ Punto mínimo local: (0; 0)

•

𝑓 es cóncava hacia arriba en ]−1; 2[ y ]2; ∞[; 𝑓 es cóncava hacia abajo en ]−∞; −1[ Punto de inflexión: (−1; 4/9)

11. A.V. 𝑥 = 2 •

A.H. 𝑦 = 3

𝑓 es creciente en ]1,33; 2[ ; 𝑓 es decreciente en ]−∞; 1,33[ y ]2; ∞[ Punto mínimo local: (1,33; −6)

•

𝑓 es cóncava hacia arriba en ]1; 2[ y ]2; ∞[; 𝑓 es cóncava hacia abajo en ]−∞; 1[ Punto de inflexión: (1; −5)

12. El costo total mínimo en materiales para construir el contenedor es de 613,99 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠 aproximadamente. 13. La altura del silo para que el volumen sea el mayor posible es aproximadamente igual a 8,66 m. 14. Las dimensiones de la caja son 2, 8 y 8 cm. 15. Las longitudes de los tramos son 60, 120 y 100 m. 16. Las dimensiones del terreno, para que se disponga la menor cantidad de cerca, son 94,87 m de largo y 47,43 m de ancho aproximadamente. 17. La altura del silo para que el volumen sea el mayor posible es aproximadamente igual a 8,66 m. 18. Las dimensiones del contenedor son 1,53 m x 3,06 m x 2,56 m, para que el costo sea mínimo. 19. Las dimensiones del radio y la altura, que minimizan el costo total de lata son: 𝑟 = 1,849cm y ℎ = 3,699cm aproximadamente. 20. El terreno debe tener 21,21m de ancho y 14,14m de largo aproximadamente para que la cantidad de cerca sea mínima. Bibliografía: Stewart, James (2018). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. México, D.F.: Cengage Learning. Capítulo 3, sección 3.9, páginas 245 – 251. Capítulo 4, sección 4.4, páginas 304 – 314. Capítulo 4, secciones 4.1, 4.3 y 4.5, páginas 276 – 280, 293 – 304 y 315 - 322. Capítulo 4, sección 4.7, páginas 325 – 336....