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Lista de problemas Tema 3...

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Matem´aticas II Grau en Economia Grau en Administraci´ o i Direcci´o d’Empreses

Lista de Problemas 3: Funciones en varias variables

Departament d’Economia i d’Hist` oria Econ`omica

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1. Consideramos las funciones (a) f (x, y) = x2 − sin xy

(b) g(x, y, z) = (x − y, y + ln z) Determine f (1, 0); f (a, b); g (0, −1, e); g(t, t + 1, t − 1)

2. Buscad el dominio (natural) de las funciones siguientes y describe estos conjuntos: p √ √ (a) f (x, y) = x2 − ln xy; (b) f (x, y) = x2 + y 2 − 1; (c) f (x, y ) = x + y √ (d) f (x, y) = x − y; (e) f (x, y) = ex/y x (f) f (x, y) = ln ; (g) f (x, y) = xe1/y y 3. Determinad anal´ıticamente (mediante s´ımbolos) y geom´etricamente (mediante un gr´afico) las curvas de nivel de las siguientes funciones de IR2 en IR: (a) f (x, y) = x + y;

(b) f (x, y) = x − 2y;

(c) f (x, y ) = x2 − 2y

(d) f (x, y) = x − y 2 ; (e) f (x, y) = x2 + y 2 ; (f) f (x, y) = x2 − y 2 (g) f (x, y) = min{x, y}; (h) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ); (i) f (x, y ) = x2 y 4. Dibujad las curvas de nivel para las funciones siguientes as´ı como el conjunto dado en cada caso. ¿Existe un m´aximo y/o un m´ınimo de la funci´on en este conjunto? Si es as´ı, encontradlos. (a) f (x, y) = 3x − y sobre A = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0, y ≥ 0, y + x − 5 ≤ 0} (b) f (x, y) = 2x − y sobre A = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 4} (c) f (x, y) = x + y sobre A = {(x, y) ∈ R2 |y − 3x − 9 ≥ 0}

(d) f (x, y) = min{x, y} sobre A = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0, y ≥ 0, y + 5x − 10 ≤ 0} 5. Sea f : R2 \ (0, 0) → R f (x, y) = 1/(x2 + y 2 ). Encontrad el m´ınimo y el m´aximo de la funci´on al subconjunto A = {(x, y) ∈ R2 |(x − 5)2 + y 2 ≤ 1}. 6. Utilizad las curvas de nivel para encontrar geom´ etricamente el m´ınimo y el m´aximo absolutos de las funciones siguientes en los dominios propuestos. (a) f (x, y) = xy en el dominio x + y ≤ 1, x, y > 0 (b) f (x, y) = x − y 2 en el dominio x2 + y 2 ≤ 2

(c) f (x, y) = min{x, y} en el dominio x + 2y ≤ 1, x, y > 0

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omicos. Intenta 7. Las matem´aticas pueden ayudar a pensar sistem´ aticamente en problemas econ´ expresar los problemas econ´omicos siguientes en terminos matem´aticos. (a) Una panader´ıa est´a especializada en tres tipos diferentes de pan: ciabatta, baguette de oliva y pan integral. Cada pan de ciabatta se vende por 1 C, la baguette de oliva por 2 C y cada pan integral por 1,5 C. El propietario quiere determinar la cuantidad optima ´ de producci´on para obtener el m´aximo beneficio diario. No obstante, hay limitaciones de presupuesto y tiempo. El coste de una pieza de ciabatta es de 0,25 C, una baguette de oliva de 0,75 C y un pan integral de 0,50 C. Los gastos diarios tienen que ser inferiores a 300 C. De todas formas, el tiempo de preparaci´ on y cocci´on var´ıa con el tipo de pan. Para hacer 5 barras de ciabatta es necesario 8 minutos, para hacer 3 baguettes de oliva 10 minutos y para hacer 2 panes integrales es necesario 9 minutos. El tiempo total que se puede utilizar para preparar todos los productos no tiene que superar las 4 horas. (b) Una empresa ha decidido reducir los costes de sus empleados porque lo pasa mal. En lugar de reducir los privilegios de sus empleados como las m´aquinas de caf´e o los tiques gratuitos para comer, ha decidido reducir la mano de obra. Hay tres tipos de trabajadores clasificados por nivel educativo: m´asters, bachilleratos e internos. Hay 100 bachilleratos, 150 m´asters y 50 internos. Los gastos de cada tipo son, respectivamente, de 10 C, 20 C y 15 C. Los ingresos son: 20 C para bachilleratos, 25 C para m´asters y 15 C para internos. La empresa tiene que tomar medidas para obtener beneficios de al menos 8.000 C. Esta medida no deber´ıa afectar m´as de 100 personas. ¿Quantos empleados de cada tipos tendr´ıa que despedir la empresa? 8. Consideramos una econom´ıa con dos bienes x, y. Un individuo tiene una funci´on de utilidad dada por: 1 1 U (x, y) = x 2 y 2 Suponemos que los precios de estos dos bienes son (px , py ) = (1, 2). Suponemos tambi´en, que el individuo tiene unos ingresos de w = 50 C. (a) Dibuja las curvas de nivel de la funci´ on de utilidad; Dibujad tambi´en la restricci´on presupuestaria. (b) Encontrad la cantidad (x, y) que maximiza la utilidad del individuo. Pensad en una empresa que utiliza mano de obra, l para producir un bien de consumo i. La tecnolog´ıa se describe con una funci´on de producci´on y = f (l). Suponemos que f es continua oncava. Sea w el precio de una hora de trabajo (salario). Sea p los precios y estrictamente c´ de la producci´on. Tanto p como w son ex´ogenos. El problema de la empresa es determinar las horas de trabajo para maximizar los beneficios. 9.

(a) Representad gr´aficamente el problema de la empresa. 3

de horas de trabajo a contratar. (b) Calculad anal´ ıticamente el n´umero optimo ´ 10. Una empresa utiliza dos inputs (k, l) para producir un bien de consumo. Denotamos por Y = f (k, l) la funci´on de producci´on. De acuerdo con las instrucciones recibidas en la asamblea general de accionistas, el objetivo de la empresa es producir y unidades del bien. El problema de la empresa es conseguir este objetivo con el coste m´ınimo. Denotamos por (r, w) los precios de los inputs (k, l) respectivamente. Suponemos que la empresa tiene unos costes fijos c0 . Suponemos que la funci´on de producci´on f genera isocuants (curvas de nivel) estrictamente convexos. (a) Representar gr´ aficamente el problema de l’empresa. de inputs. (b) Calcular anal´ıticamente el n´ umero optimo ´

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