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Ejercicios Resueltos

Unidad 3 Cinemática en una Dimensión: Encuentro

Prof. Ing. Natalia Montalván

UNIDAD 3: CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN Ejercicios Resueltos de Encuentro Ejercicio 17. Dos corredores se aproximan uno al otro sobre una pista recta; tienen velocidades constantes de +4,5 m/s y -3,5 m/s, respectivamente, cuando están separadas por 100 m. a) ¿Cuánto les tomará encontrarse?, b) ¿en qué posición ocurrirá? Solución. Los corredores 1 y 2 se aproximan uno al otro (corren en sentido contrario Y CON VELOCIDAD CONSTANTE: MRU) y están separados por una distancia de 100 m. Asignaremos la posición inicial cero al corredor 1, el corredor 2 se encuentra a 100 m a la derecha por lo que su posición inicial x02 será igual a 100 m: MRU v1 = 4,5 m/s

MRU v2 = - 3,5 m/s

1

x01 = 0

2

100 m

x02 = 100 m

Escribimos la ecuación de posición para ambos corredores. Corredor 1 MRU: 𝑥1 = 𝑥01 + 𝑣1 ∙ 𝑡1

𝑥1 = 0 + 4,5

𝑚 ∙𝑡 𝑠 1

Corredor 2 MRU: 𝑥2 = 𝑥02 + 𝑣2 ∙ 𝑡2

𝑥2 = 100 𝑚 − 3,5

𝑚 ∙𝑡 𝑠 2

Para que ambos corredores se encuentren, deberán estar en el mismo lugar al mismo tiempo, por lo tanto x1 = x2 = xE (posición de encuentro) y t1 = t2 = tE (tiempo de encuentro). Al igualar las ecuaciones de posición podremos despejar el tiempo de encuentro: 𝑥1 = 𝑥2

4,5 4,5

𝑚 𝑚 ∙ 𝑡 = 100 𝑚 − 3,5 ∙ 𝑡𝐸 𝑠 𝐸 𝑠

𝑚 𝑚 ∙ 𝑡𝐸 − 3,5 ∙ 𝑡𝐸 = 100 𝑚 𝑠 𝑠 8

𝑚 ∙ 𝑡 = 100 𝑚 𝑠 𝐸 𝑡𝐸 =

100 𝑚 𝑚 8 𝑠

𝑡𝐸 = 12,5 𝑠

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Para determinar la posición de encuentro, reemplazamos el tiempo de encuentro en cualquiera de las ecuaciones de posición, por ejemplo, la del corredor 1: 𝑥1 = 𝑥01 + 𝑣1 ∙ 𝑡1

𝑥1 = 0 + 4,5

𝑚 ∙ 12,5 𝑠 𝑠

𝑥1 = 56,25 𝑚 = 𝑥𝐸

Ejercicio 18. Por una señal pasa un auto a 40 m/s. Dos minutos después parte en su seguimiento una moto con una velocidad de 50 m/s. Determinar: a) el tiempo que tarda en alcanzarlo, b) la posición del encuentro, c) realizar las gráficas de la función posición y la función velocidad, asociadas a los movimientos mencionados. Solución. Llamaremos A al auto y B a la moto. Asignaremos la posición inicial cero al punto donde se encuentra la moto x0B = 0. El auto se adelanta a la moto, y durante 2 minutos (120 segundos) le habrá sacado una ventaja de: 𝑥0𝐴 = 𝑣𝐴 ∙ 𝑡 = 40

𝑚 ∙ 120 𝑠 𝑠

𝑥0𝐴 = 4800 𝑚

Moto MRU vB = 50 /

Auto MRU vA = 40 m/s

B

A x0B = 0

x0A = 4800 m (es la distancia que se adelantó el móvil A en 120 s (2 min). Cuando la moto comienza a perseguir al auto, éste ya se encuentra 4800 m por delante.

Escribimos la ecuación de posición para ambos vehículos. Auto A MRU: 𝑥𝐴 = 𝑥0𝐴 + 𝑣𝐴 ∙ 𝑡𝐴

𝑥𝐴 = 4800 𝑚 + 40

𝑚 ∙𝑡 𝑠 𝐴

Moto B MRU: 𝑥𝐵 = 𝑥0𝐵 + 𝑣𝐵 ∙ 𝑡𝐵

𝑥𝐵 = 0 + 50

𝑚 ∙𝑡 𝑠 𝐵

Para que ambos vehículos se encuentren, deberán estar en el mismo lugar al mismo tiempo, por lo tanto xA = xB = xE (posición de encuentro) y tA = tB = tE (tiempo de encuentro). Al igualar las ecuaciones de posición podremos despejar el tiempo de encuentro:

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𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 𝑚

𝑚 ∙𝑡 ∙ 𝑡 = 50 𝑠 𝐵 𝑠 𝐸 𝑚 𝑚 4800 𝑚 = 50 ∙ 𝑡𝐵 − 40 ∙𝑡 𝑠 𝑠 𝐸 4800 𝑚 + 40

𝑡𝐸 =

4800 𝑚 𝑚 10 𝑠

𝑡𝐸 = 480 𝑠

Para determinar la posición de encuentro, reemplazamos el tiempo de encuentro en xB: 𝑥𝐵 = 0 + 50

𝑥𝐵 = 0 + 50

𝑚 ∙𝑡 𝑠 𝐵

𝑚 ∙ 480 𝑠 𝑠

𝑥𝐵 = 24000 𝑚 = 𝑥𝐸

Ejercicio 19. El conductor de un vehículo que viaja a 35 m/s observa a otro automóvil que viaja delante de él en el mismo sentido desarrollando una velocidad de 10 m/s. En ese preciso instante aplica los frenos de manera que su 2 velocidad comienza a disminuir a razón de 1,5 m/s . Se pide: a) La distancia mínima que debe existir entre ambos vehículos, al momento de iniciarse el frenado, para que no se produzca la colisión. b) El tiempo que demora en llegar justo atrás del vehículo que marcha adelante. Solución. Dos móviles A y B circulan en el mismo sentido. El Móvil A va detrás del Móvil B, y debe frenar para no chocarlo, por lo tanto A se mueve con MRUV (su velocidad va a ir disminuyendo). El Móvil B se mueve a velocidad constante (MRU). Para que A no choque a B, en el encuentro:  

Opción 1: Deberá lograr frenar justo detrás de B. Opción 2: Deberá alcanzar la misma velocidad que lleva el móvil B, en este caso ambos vehículos continuarán moviéndose uno detrás del otro pero con la misma velocidad, por lo que no chocarán.

De las dos opciones analizadas, la que nos garantizará la distancia mínima es la opción 2 (pueden intentar resolver el ejercicio con la opción 1 y comparar los resultados). Entonces, antes del encuentro: Auto A MRUV v0A = 35 m/s

A

Auto B MRU vB = 10 m/s

B x0A = 0

x0B: Desconocida, debemos calcularla.

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Después del encuentro: vA = 10 m/s

vB = 10 m/s

A

B 2

Calculamos el tiempo que demora A en frenar (con una aceleración de -1,5 m/s ) hasta alcanzar la misma velocidad de B y colocarse justo detrás de él, lo suficientemente cerca como para que se produzca el encuentro pero sin llegar a chocarlo. De esta manera el tiempo de frenado de A será igual al tiempo de encuentro: 𝑣𝐴 = 𝑣0𝐴 + 𝑎𝐴 ∙ 𝑡𝐸 𝑣𝐴 − 𝑣0𝐴 = 𝑡𝐸 𝑎𝐴

𝑚 𝑚 − 35 𝑠 𝑠 = 𝑡𝐸 −1,5 𝑚/𝑠 2

10

16,67 𝑠 = 𝑡𝐸

Con el tiempo de encuentro podemos calcular el desplazamiento del móvil A, que será igual a la posición de encuentro: 1 𝑥𝐴 = 𝑥0𝐴 + 𝑣0𝐴 ∙ 𝑡𝐸 + ∙ 𝑎𝐴 ∙ 𝑡𝐸 2 2

𝑥𝐴 = 0 + 35

1 𝑚 1,5𝑚 ∙ 16,67 𝑠 + ∙ − 2 ∙ (16,67 𝑠)2 𝑠 𝑠 2 𝑥𝐴 = 375 𝑚 = 𝑥𝐸

Ejercicio 20. Dos móviles parten el uno hacia el otro, desde los extremos de un segmento de 60 m, con MRUV de 2 2 aceleraciones a1= 0,1 m/s y a2 = 0,2 m/s . Calcular en qué instante se produce el encuentro y a qué distancia de los extremos. Solución. Los móviles 1 y 2 están separados 60 m y circulan en sentidos opuestos con MRUV. La velocidad inicial de ambos es cero (parten el uno hacia el otro): Auto 1 MRUV v01 = 0 m/s 2 a1 = 0,1 m/s

Auto 2 MRUV v02 = 0 m/s 2 a2= - 0,2 m/s (negativa porque se dirige a la izquierda)

2

1 x0A = 0

x0B = 60 m

Escribimos la ecuación de posición para ambos vehículos. Auto 1 MRUV: 1 𝑥1 = 𝑥01 + 𝑣01 ∙ 𝑡𝐸 + ∙ 𝑎1 ∙ 𝑡𝐸 2 2 𝑚 1 𝑥1 = 0 + 0 + ∙ 0,1 2 ∙ 𝑡𝐸 2 2 𝑠

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Auto 2 MRUV: 1 𝑥2 = 𝑥02 + 𝑣02 ∙ 𝑡𝐸 + ∙ 𝑎2 ∙ 𝑡𝐸 2 2

1 𝑚 𝑥2 = 60 𝑚 + 0 + ∙ −0,2 2 ∙ 𝑡𝐸 2 𝑠 2 Para que ambos autos se encuentren, deberán estar en el mismo lugar al mismo tiempo, por lo tanto x1= x2 = xE (posición de encuentro) y t1 = t2 = tE (tiempo de encuentro). Al igualar las ecuaciones de posición podremos despejar el tiempo de encuentro:

1 2

∙ 0,1

𝑥1 = 𝑥2

1 𝑚 𝑚 ∙ 𝑡 2 = 60 𝑚 + ∙ −0,2 2 ∙ 𝑡𝐸 2 𝑠 𝑠2 𝐸 2

0,05 0,05

𝑚 𝑚 ∙ 𝑡𝐸 2 = 60 𝑚 − 0,1 2 ∙ 𝑡𝐸 2 2 𝑠 𝑠

𝑚 𝑚 ∙ 𝑡 2 + 0,1 2 ∙ 𝑡𝐸 2 = 60 𝑚 𝑠2 𝐸 𝑠 0,15

𝑚 ∙ 𝑡 2 = 60 𝑚 𝑠2 𝐸

𝑡𝐸 =

60 𝑚 𝑚 0,15 2 𝑠

𝑡𝐸 = 20 𝑠

Con el tiempo de encuentro podemos calcular el desplazamiento del móvil 1, que será igual a la posición de encuentro: 𝑥1 = 𝑥1 =

𝑚 1 ∙ 0,1 2 ∙ 𝑡𝐸 2 2 𝑠

𝑚 1 ∙ 0,1 2 ∙ 20 𝑠 𝑠 2

2

𝑥1 = 20 𝑚 = 𝑥𝐸

Ejercicio 21. En el siguiente gráfico se muestra la función velocidad de dos autos que se mueven sobre trayectorias rectas. Se pide: v (m/s) a) Escribir la función posición, para cada vehículo. (Considerar x0A = x0B = 0 m)

A

20

b) ¿Es correcto indicar que a t = 10 s se produce el encuentro? B

c) Calcular la posición, tiempo y velocidad en el encuentro. d) Graficar la función aceleración para cada uno de los móviles. -5

10 t (s)

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a)

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Escribimos la función de posición para cada auto, del gráfico obtenemos las velocidades iníciales de cada uno y el ejercicio nos dice que consideremos las posiciones iníciales de ambos iguales a cero: Auto A MRU:

𝑥𝐴 = 𝑥0𝐴 + 𝑣0𝐴 ∙ 𝑡𝐴

𝑥𝐴 = 0 + 20 𝑚/𝑠 ∙ 𝑡𝐴

Auto B MRUV:

1 𝑥𝐵 = 𝑥0𝐵 + 𝑣0𝐵 ∙ 𝑡𝐵 + ∙ 𝑎𝐵 ∙ 𝑡𝐵 2 2 𝑚 1 𝑥𝐵 = 0 − 5 ∙ 𝑡𝐵 + ∙ 𝑎𝐵 ∙ 𝑡𝐵 2 2 𝑠 Podemos calcular la aceleración del auto B con los datos de la gráfica: si conocemos dos velocidades y el tiempo que demora el móvil (10 s) para ir desde una velocidad inicial (-5 m/s) hasta otra velocidad conocida (20 m/s), podemos despejar la aceleración de la ecuación de velocidad. 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝐵 ∙ 𝑡 𝑎𝐵 =

𝑚 𝑚 𝑣 − 𝑣0 20 𝑠 + 5 𝑠 = 2,5 𝑚/𝑠 2 = 10 𝑠 𝑡

Por lo tanto, la ecuación de posición para el auto B estará dada por: 𝑚 1 𝑥𝐵 = −5 ∙ 𝑡𝐵 + ∙ 2,5 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡𝐵 2 2 𝑠 b) A los 10 s sólo se igualan las velocidades de ambos vehículos, lo cual no nos asegura que ésta sea la posición de encuentro. La posición de encuentro es aquella para la cual xA = xB. c) Igualamos las posiciones de ambos móviles y despejamos el tiempo de encuentro: 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 𝑚 1 20 ∙ 𝑡𝐸 = −5 ∙ 𝑡𝐸 + ∙ 2,5 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡𝐸 2 2 𝑠 𝑚 𝑚 1 0 = −20 ∙ 𝑡𝐸 − 5 ∙ 𝑡𝐸 + ∙ 2,5 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡𝐸 2 𝑠 2 𝑠 𝑚 0 = −25 ∙ 𝑡𝐸 + 1,25 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡𝐸 2 𝑠 Sacamos tE como factor común y al pasarlo dividiendo al otro lado de la ecuación se anula: 𝑚 + 1,25 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡𝐸 𝑠 𝑚 0 = −25 + 1,25 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡𝐸 𝑡𝐸 𝑠 𝑚 0 = −25 + 1,25 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡𝐸 𝑠 𝑚 25 𝑠 = 𝑡𝐸 1,25 𝑚/𝑠 2 20 𝑠 = 𝑡𝐸

0 = 𝑡𝐸 ∙ −25

Para determinar la posición de encuentro, reemplazamos el tiempo de encuentro en cualquiera de las ecuaciones de posición, por ejemplo, la del Auto A: 𝑚 𝑚 𝑥𝐴 = 20 ∙ 𝑡𝐴 = 20 ∙ 20 𝑠 = 400 𝑚 𝑠 𝑠 6

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La velocidad de cada móvil en el punto de encuentro será: Auto A: velocidad constante (MRU) v A = 20 m/s Auto B: Calculamos la velocidad de B para t = 20 s (tiempo de encuentro) 𝑣𝐵 = 𝑣0𝐵 + 𝑎𝐵 ∙ 𝑡 = −5 𝑣𝐵 = 45

𝑚

𝑚 𝑚 + 2,5 2 ∙ 20 𝑠 𝑠 𝑠

𝑠

d) Graficamos la aceleración en función del tiempo para cada móvil:

2

a (m/s ) B Aceleración constante e igual a 2,5 m/s

2

2,5 A Aceleración Nula t (s)

2

Ejercicio 22. Un auto arranca con una aceleración constante de 1,8 m/s . En el mismo instante, un camión que lleva una velocidad constante de 9 m/s pasa al automóvil. a) ¿En cuánto tiempo y a qué distancia del punto de partida el auto alcanza al camión? b) ¿Qué velocidad tendrán los móviles en ese instante? c) Represente en un mismo gráfico las funciones v = v (t) para los dos móviles. Solución. Consideramos t = 0 en el instante en el que el camión pasa al auto, en ese momento ambos vehículos se encuentran en la posición inicial x = 0. El camión se adelanta a velocidad constante pero el auto arranca (su velocidad inicial es cero) y comienza a aumentar su velocidad hasta alcanzarlo. a)

Escribimos la ecuación de posición para ambos vehículos: Camión A MRU: 𝑥𝐴 = 𝑥0𝐴 + 𝑣0𝐴 ∙ 𝑡𝐴 𝑥𝐴 = 9 𝑚/𝑠 ∙ 𝑡𝐴

Auto B MRUV:

1 𝑥𝐵 = 𝑥0𝐵 + 𝑣0𝐵 ∙ 𝑡𝐵 + ∙ 𝑎𝐵 ∙ 𝑡𝐵 2 2 𝑚 1 𝑥𝐵 = ∙ 1,8 2 ∙ 𝑡𝐵 2 2 𝑠 Igualamos las posiciones de ambos móviles y despejamos el tiempo de encuentro: 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 9

𝑚 𝑚 1 ∙ 𝑡 = ∙ 1,8 2 ∙ 𝑡𝐸 2 𝑠 𝐸 2 𝑠

7

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9

𝑚 𝑠

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𝑚 ∙ 𝑡𝐸 2 ∙ 𝑡𝐸 = 0,9 𝑠 2

0 = 0,9

0 = 0,9

𝑚

𝑠2

𝑚 ∙ 𝑡𝐸 2 − 9 𝑠 ∙ 𝑡𝐸

𝑚 𝑚 ∙𝑡 −9 ∙ 𝑡𝐸 𝑠2 𝐸 𝑠

𝑚 𝑚 ∙ 𝑡𝐸 − 9 2 𝑠 𝑠 𝑚 9 𝑠 𝑡𝐸 = 𝑚 0,9 2 𝑠

0 = 0,9

𝑡𝐸 = 10 𝑠

Para determinar la posición de encuentro, reemplazamos el tiempo de encuentro en cualquiera de las ecuaciones de posición, por ejemplo, la del Camión A: 𝑥𝐴 = 9

𝑚 ∙ 10 𝑠 = 90 𝑚 𝑠

b) La velocidad de cada móvil en el punto de encuentro será: Camión A: velocidad constante (MRU) v A = 9 m/s Auto B: Calculamos la velocidad de B para t = 10 s (tiempo de encuentro) 𝑣𝐵 = 𝑣0𝐵 + 𝑎𝐵 ∙ 𝑡 = 0 + 1,8 𝑣𝐵 = 18 c)

𝑚

𝑚 ∙ 10 𝑠 𝑠2

𝑠

Graficamos la velocidad en función del tiempo para cada móvil: v (m/s) AUTO B Velocidad en aumento MRUV 18 CAMIÓN A Velocidad constante MRU 9

10

t (s)

8...