Unidad 3 Flexion - APUNTES DE TEMARIO PDF

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APUNTES DE TEMARIO ...

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UNIDAD 3: FLEXION

3.1 ESFUERZO NORMAL EN VIGAS. El esfuerzo cortante (o de cizallamiento), es producido por fuerzas que actúan paralelamente al plano que las resiste, mientras que los de tensión o de compresión son lo son por fuerzas normales al plano sobre el que actúan. Por esta razón los esfuerzos de tensión y de compresión se llaman también esfuerzos normales, mientras que el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzo tangencial. Para poder analizar y comprender los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre una viga, debemos conocer primero el concepto de momento flexionante envigas, ya que a partir de éste podremos deducir dichos esfuerzos. Momento flexionante Definición: Se le denomina momento flexionante o momento flector, porque tiende a curvar o flexionar la viga y, es la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan en la porción de viga a la izquierda o a la derecha de una sección, respecto al eje perpendicular al plano de las fuerzas y que pasa por el centro de gravedad centroide de la sección considerada. Así que la podemos definir como: M = (∑M)izq = (∑M)der

FLEXIÓN POSITIVA

Como en un cuerpo actúan fuerzas tanto negativas como positivas, el signo del momento flexionante sobre una viga se determina con un criterio que dice que si hay fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección, producirán momentos flexionantes positivos y, por el contrario, las fuerzas que actúan hacia abajo, dan lugar a momentos flexionantes negativos.

FLEXIÓN NEGATIVA

Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas. Para diseñar una viga es necesario conocer las fuerzas perpendiculares que va a soportar, su sección transversal y, en casos más especializados, las características del material que se utilizará en su construcción.

ESFUERZO NORMAL: El esfuerzo normal (esfuerzo axil o axial) es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la sección transversal de un prisma mecánico. Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión normal

3.2 ESFUERZO CORTANTE TRANSVERSAL. La tensión cortante o tensión de corte es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele representar con la letra griega tau . En piezas alargadas, como vigas y pilares, el plano de referencia suele ser un paralelo a la sección transversal. A diferencia del esfuerzo normal, es más difícil de apreciar en las vigas ya que su efecto es menos evidente. Los esfuerzos internos sobre una sección transversal plana de un elemento estructura se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estéticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana Σ de una viga son igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina).

Consideremos una viga recta con un plano de simetría y para la cual las fuerzas aplicadas son simétricas con respecto a este plano que tomaremos como plano de la figura:

Sea (S) una sección recta de esta viga. Recordemos que esta viga está aislada en el espacio y sometida a las fuerzas directamente aplicadas y a las reacciones de apoyo. Se llama momento flector M, para una sección ( S), a la suma de los momentos, con respecto a un punto cualquiera de esta sección, de las fuerzas situadas a la izquierda de ( S); estas fuerzas comprenden las aplicadas directamente y las reacciones de apoyo situadas a la izquierda de ( S). Así, para la viga apoyada en dos apoyos simples y representada en la figura de abajo, tendremos, teniendo en cuenta las convenciones de signos relativos a los momentos:

Si existiera un momento de empotramiento en A y una componente horizontal para la reacción de apoyo sería necesario naturalmente tenerlos en cuenta en el cálculo. Sin embargo, en lo que concierne a la componente horizontal HA, normalmente pasa por el punto con respecto al cual se toma el momento. El ejemplo considerado muestra que el momento flector M varia con la abscisa de la sección. La curva que representa el valor de M en función de x se denomina diagrama de momentos flectores. Se llama esfuerzo normal N, para una sección (S), a la suma de las proyecciones de las fuerzas situadas a la izquierda de (S) sobre la normal a esta sección. Como en el caso precedente, las fuerzas a considerar comprenden las fuerzas directamente aplicadas y las reacciones de apoyo situadas a la izquierda de (S).

Así para la viga representada en la figura y sometida a una carga p que tiene por componentes V y H y cuya componente horizontal HA de la sección de apoyo en A tiene como valor HA = H, tendremos: -Para una sección (S) comprendida entre A y C : N=HA=H -Para una sección (S) comprendida entre C y B : N=HA-H=0 Se llama esfuerzo cortante T, para una sección (S), a la suma de las proyecciones de las fuerzas situadas a la izquierda de (S) sobre el plano de la sección. Como siempre las fuerzas a considerar comprenden las fuerzas directamente aplicadas y las reacciones de apoyos. Así tenemos: T = VA - P1 - P2 El sistema de fuerzas externas que actúan a la izquierda de una sección ( S), podría reducirse con respecto a un punto O cualquiera del eje de simetría de esta sección:

- A una fuerza Re, igual a la resultante de las fuerzas externas situadas a la izquierda de ( S) y que puede descomponerse según He normal a la sección Ve en el plano de la sección. -Y un par de momento Me igual a la suma de los momentos, con respecto al punto O, de las fuerzas exteriores situadas a la izquierda de (S). En estas condiciones, vemos que: M = Me N = He

T = Ve

es decir que M, N y T son los elementos de reducción, con respecto al punto O, de las fuerzas aplicadas y de las reacciones de apoyo situadas a la izquierda de (S). Entonces en conclusión podemos decir que: Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales σ, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal. Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

3.3 DEFLEXION EN VIGAS Las cargas de flexión aplicadas a una viga hacen que se flexione en una dirección perpendicular a su eje. Una viga recta en su origen se deformara y su forma será ligeramente curva. En la mayor parte de los casos, el factor crítico es la deflexión máxima de la viga, o su deflexión en determinados lugares.

Considere el reductor de velocidad, con doble reducción. Los cuatro engranes (A,B,C y D) se montan en tres ejes, cada uno de los cuales esta soportado por dos cojinetes. La acción de los engranes al transmitir potencia crea un conjunto de fuerzas, que a su vez actúan sobre los ejes y causan flexión en ellos. Un componente da la fuerza total sobre los dientes del engrane actúa en una dirección que tiende a separar los dos engranes. Así, la rueda A es impulsada hacia arriba, mientras que la rueda B es impulsada hacia abajo. Para que los engranes funcionen bien, la deflexión neta de uno en relación con el otro no debe ser mayor que 0.0015 pulg. (0.013 mm), si el engrane es industrial de tamaño mediano.

Para evaluar el diseño, existen muchos métodos para calcular las deflexiones de los ejes. Es útil contar con un conjunto de fórmulas para calcular la deflexión de vigas, en cualquier punto o en puntos determinados, en muchos problemas prácticos.

Para muchos casos adicionales, la superposición es útil si la carga realce divide en partes que se puedan calcular con las formulas ya disponibles. La deflexión para cada carga se calcula por separado y a continuación se suman las deflexiones individuales en los puntos de interés.

Muchos programas comerciales para computadora permiten modelar las vigas que tengan puntas de carga muy complicadas y geometría variable. Entre los resultados, están las fuerzas de reacción, los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, y las deflexiones en cualquier punto. Es importante que comprenda las bases de la deflexión de las vigas.

Ejemplo:

Para los engranes A y B de la figura, calcule la deflexión relativa entre ellos, en el plano del papel, debido a las fuerzas que se muestran en la parte (c). Se acostumbra considerar que las cargas en los engranes, y las reacciones en los cojinetes, están concentradas. Los ejes de los engranes son de acero y sus diámetros son uniformes, con los valores que se listan en la figura. Solución: Objetivo: Datos:

Calcular

la

deflexión

relativa

entre

los

engranes

A

y

B

de

la

figura.

Resultados:

Los principios generales que relacionan la deflexión de una viga con la forma en que está cargada y la forma en que está apoyada se presentaran a continuación. El resultado será un conjunto de relaciones entre la carga, la fuerza cortante vertical, el momento de flexión, la pendiente de la viga flexionada y la curva de la deflexión real e la viga.

Un concepto fundamental para las vigas en flexión es:

Las últimas dos ecuaciones son consecuencia de la observación de que existe una relación de derivada (Pendiente) entre el cortante y el momento flexionante, y entre la carga y el corte.

En la práctica, las ecuaciones fundamentales que se acaban de citar se usan en forma inversa. Esto es, se conoce la distribución de carga en función de x, y las ecuaciones para los demás factores se deducen por integraciones sucesivas. Los resultados son:

En muchos casos, se pueden trazar los diagramas de carga, fuerza cortante y momento de flexión, en la forma convencional, y las ecuaciones de la fuerza cortante o del momento de flexión se pueden deducir en forma directa con los principios de la geometría analítica. Con M en función de x, se pueden determinar las relaciones de pendiente y deflexión:

Las constantes de integración deben evaluarse a partir de las condiciones de frontera.

3.3.1 CALCULO POR EL METODO DE LA DOBLE INTEGRACION. Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

3.3.2 CALCULO POR EL METODO DE LA SUPERPOSICION.

3.4 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS.

Tal como se ha visto en el caso de las vigas también surgen situaciones estáticamente indeterminadas (Mayor número de reacciones que ecuaciones, por lo que deberá obtenerse a partir de las deformaciones, ecuaciones adicionales que levanten la indeterminación). Pero, ¿cómo surgen las vigas estáticamente indeterminadas? Veamos: La siguiente viga es estáticamente determinada:

Al hacer el análisis deben calcularse los esfuerzos actuantes máximos y la deformación máxima. Estos valores deben ser menores que los esfuerzos y la deformación admisibles para que la viga sea segura y funcional. Sin embargo puede suceder que sean mayores (uno de ellos o todos).

En este caso el diseñador debe enfrentar varias alternativas: a) Cambiar el material (por uno más resistente o mas rígido según el caso). b) Aumentar la sección transversal de la viga incrementando su resistencia y su rigidez, sin cambiar el material.

Sin embargo en muchas ocasiones no es posible cambiar el material o las dimensiones por problemas de disponibilidad de otros materiales o por requerimientos arquitectónicos que no hacen posible cambiar las dimensiones. En estas condiciones la única alternativa para aumentar la seguridad de la viga y su rigidez será colocar un apoyo adicional intermedio C.

Esta es otra de la ventajas de las vigas estáticamente indeterminadas: Los apoyos redundantes garantizan la estabilidad en caso de fallas. En general, mientras más apoyos redundantes tenga una viga o estructura, más segura será. Lógicamente también tendrá un mayor grado de indeterminación y por consiguiente el análisis será más largo, puesto que involucrara más ecuaciones. Observemos como se obtiene la ecuación adicional que nos resuelve la indeterminación:

Para resolver el problema empleamos un artificio muy utilizado en ingeniería estructural: Quitamos el apoyo redundante y dejamos que la viga se deforme, luego lo volvemos a poner a actuar revirtiendo la deformación que obviamente será igual a la primera. Para el análisis empleamos el principio de superposición así:

Como en la situación original hay un apoyo en C, allí la deformación será cero. Por este motivo:

VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS. DEFINICIÓN: Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes superan al número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es: el número de incógnitas es mayor que: Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes superan al número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es: el número de incógnitas es mayor que:

La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple “A” y el otro empotrado “B” bajo una carga puntual P.

A continuación se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte “A” existe sólo reacción vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en “B” hay dos reacciones dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.

Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes VA y VB y el momento flexionante MB y sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio; ÓM y ÓFy, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay más incógnitas que ecuaciones).

Otro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2.

Este caso corresponde a una barra mucho más compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en “A”.

Para la solución de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio estático, un camino a seguir consiste en hacer el análisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas.

3.4.1 METODO DE SUPERPOSICION. El teorema de superposición establece que en un circuito lineal con varias fuentes, la corriente y el voltaje para cualquier elemento en el circuito es la suma de las corrientes y voltajes producidos por cada fuente que actúa de manera independiente. Para calcular la contribución de cada fuente de forma independiente, todas las demás fuentes deben eliminarse y reemplazarse sin afectar el resultado final. Al eliminar una fuente de voltaje, su voltaje debe establecerse en cero, lo que equivale a reemplazar la fuente de voltaje con un cortocircuito. Al eliminar una fuente de corriente, su corriente debe establecerse en cero, lo que equivale a reemplazar la fuente de corriente con un circuito abierto. Cuando suma las contribuciones de las fuentes, debe tener cuidado de tener en cuenta sus signos. Es mejor asignar una dirección de referencia a cada cantidad desconocida, si aún no se ha dado. El voltaje o corriente total se calcula como la suma algebraica de las contribuciones de las fuentes. Si una contribución de una fuente tiene la misma dirección que la dirección de referencia, tiene un signo positivo en la suma; si tiene la dirección opuesta, entonces un signo negativo. Tenga en cuenta que si las fuentes de voltaje o corriente tienen resistencia interna, debe permanecer en el circuito y aún debe considerarse. En TINA, puede asignar una resistencia interna al voltaje de CC y las fuentes de corriente, mientras usa el mismo símbolo esquemático. Por lo tanto, si desea ilustrar el teorema de superposición y al mismo tiempo utilizar fuentes con resistencia interna, solo debe establecer el voltaje (o corriente) de la fuente en cero, lo que deja intacta la resistencia interna de la fuente. Alternativamente, puede reemplazar la fuente con una resistencia igual a su resistencia interna.

Para usar el teorema de superposición con corrientes y voltajes de circuito, todos los componentes deben ser lineales; es decir, para todos los componentes resistivos, la corriente debe ser proporcional al voltaje aplicado (satisfaciendo la ley de Ohm). Tenga en cuenta que el teorema de superposición no es aplicable a la potencia, ya que la potencia no es una cantidad lineal. La potencia total entregada a un componente resistivo debe determinarse utilizando la corriente total o el voltaje total a través del componente y no puede determinarse mediante una simple suma de las potencias producidas por las fuentes de forma independiente....