Unidad 5 Vibraciones mecanicas PDF

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Unidad 5 de la materia vibraciones mecanicas (ensayo)....

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TEMA: UNIDAD 5 “SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD”.

MATERIA: VIBRACIONES MECANICAS

MAESTRO: JOSE LUIS REYES RODRIGUEZ

ALUMNO: JOSE PILAR GARCIA LLANOS

GRUPO:6F2B

HORA:12-13 HRS

FECHA DE ENTREGA: 14/12/2020

5.1 Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad. • Matrices de rigidez, inercia y amortiguamiento Se puede demostrar que las ecuaciones lineales del movimiento de un sistema discreto de N grados de libertad sometido a pequeños desplazamientos, con coordenadas generalizadas representadas por el vector q de dimensión N ×1, se pueden escribir como:

Donde M, C y K son matrices de tamaño N × N y se denominan matrices de inercia, amortiguamiento y rigidez, respectivamente. Las matriz M es simétrica y positivo definida. La matriz K también es simétrica pero puede ser positivo definida o positivo semidefinida. La matriz C no goza, en general, de ninguna de las propiedades anteriores. Ejemplo Obtener las ecuaciones del movimiento e identificar las matrices de masas, rigidez y amortiguamiento para el sistema de dos grados de libertad de la Figura 10.1.

Para hallar las ecuaciones de este sistema, basta con aplicar las ecuaciones de equilibrio a cada una de las dos masas. La Figura 10.2 muestra los diagramas de sólido libre, con todas las fuerzas actuantes. Sumando las fuerzas e igualando a cero se llega a:

Reordenando términos, estas dos ecuaciones se pueden poner de forma matricial Como:

Identificando con la ecuación (9.124), las matrices M, C y K resultan ser:

•

Vibraciones libres de sistemas no amortiguados

Particularizando la ecuación (9.124) para el caso de las vibraciones libres ( f = 0) en sistemas no amortiguados (C=0), se tiene:

Sujeto a las condiciones iniciales q (0) = q0 y q� (0) = q� 0 .De forma análoga a lo que se hizo en el caso de las vibraciones con un grado de libertad, asumimos una solución armónica de la forma:

Donde A es un vector de amplitudes. Sustituyendo la ecuación (9.126) en la (9.125), resulta:

Puesto que ni A ni este pueden ser nulos, ya que si no obtendríamos la solución trivial nula, se deduce que

•

Frecuencias naturales

Para calcular los valores de s y A, debemos resolver la ecuación (9.128), que representa un problema de valores y vectores propios generalizado. Como es sabido, esta ecuación tiene solución distinta de la trivial nula si y sólo si la matriz de coeficientes es singular o, lo que es lo mismo, si su determinante es nulo.

Se puede demostrar que si la matriz M es positivo definida y K es positivo definida o positivo semidefinida, todos los valores propios s2 son reales y negativos o nulos. Por ello, para manejar cantidades positivas es costumbre realizar el cambio de variables

5.2 ACOPLAMIENTO DE COORDENADAS. Coordenadas principales. Sin embargo, siempre es posible en un sistema no - amortiguado encontrar un sistema de coordenadas, qi, sin ningún tipo de acoplamiento o desacopladas, llamadas coordenadas principales. Propiedades de ortogonalidad de los vectores propios. Consideremos dos modos cualquiera i y j. De ecuación (2-3)

- Para i ≠ j, si i j ω ≠ω; se obtiene las siguientes relaciones de ortogonalidad:

Es decir, los vectores propios son ortogonales respecto a las matrices [ M]y [K]. Estas relaciones son importantes, como veremos a continuación, porque ellas permiten desacoplar las ecuaciones del movimiento. - Para i = j: se obtiene:

5.3 PROPIEDADES ORTOGONALES. Una propiedad ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal. Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campo. Propiedades de las matrices ortogonales. 1. Si A y B son ortogonales entonces A.B y B.A son ortogonales. 2. En general si A y B son ortogonales entonces A +B no es ortogonal y k A no es Ortogonal. Matrices idempotentes, nilpotentes y unipotentes. Definiciones: Sea A una matriz cuadrada de orden n: 1. Diremos que A es idempotentes si y solo si A.A=A2=A 2. Diremos que A es unipotente si y solo si A.A=A2=In 3. Diremos que A es nilpotente si y solo si A.A=A2=0 (Matriz nula orden n) Ortogonalidad de los modos de vibración Una propiedad de gran importancia en el estudio de las vibraciones es la ortogonalidad de los modos. Gracias a ella, podemos desacoplar las ecuaciones del movimiento convirtiéndolas en N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de variables conocido como transformación modal que veremos más adelante. Basándonos en la ecuación (9.133), particularizada para las frecuencias naturales

ω

i

,

ω

j

y sus

modos correspondientes Ai y Aj , podemos escribir 242

Cap. 10: Vibraciones en sistemas con N grados de libertad KAi =ωi2MAi

(9.136)

K Aj =ω2jMAj (9.137) Premultiplicando la ecuación (9.136) por el vector Aj transpuesto y la ecuación (9.137) por el vector Ai transpuesto, obtenemos

ATj K Ai =ωi2A MATj i

(9.13 8) ATi K Aj =ω2jA MATij (9.13 9) Restando ambas ecuaciones término a término y teniendo en cuenta que tanto M como K son simétricas, obtenemos (9.14 (ω −ωi22j )A MATij = 0 ω ω 0) Si i y j son valores propios distintos, concluimos que A MATi j = 0

para i ≠ j

(9.14 1)

para i = j A MATi j ≠ 0 Es decir, los vectores propios asociados con valores propios distintos son ortogonales respecto a la matriz de masas. Debido a que la matriz de masas es positivo definida queda garantizado que el producto ATi MAi no es nulo excepto en el caso en que Ai sea nulo. Por ello, podemos escribir A MATi j = 0

para i ≠ j (9.142)

A MATi j = mi para i = j donde mi es un término escalar, positivo y constante. Los modos de vibración también son ortogonales respecto a la matriz de rigidez. La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)(9.139) y de la ecuación (9.142), lo que conduce a A K ATi j = 0

para i ≠ j

A K ATij = miω =i2 ki

para i = j

(9.143) siendo ki otro término escalar, positivo o nulo y constante.

Independencia lineal de los modos de vibración La propiedad de ortogonalidad recién vista se puede utilizar para probar que los modos de vibración son linealmente independientes. Como es sabido, el conjunto de vectores A1,A2,…,AN es linealmente independiente si la relación c1 1A +c2 2A + +… cN NA = 0

(9.144)

se cumple sólo cuando las constantes c c1 2, ,...,cN son nulas. Premultiplicando la ecuación (9.144) por ATi M resulta c mi i =0 Como mi es distinto de cero, se concluye que ci =0

(9.14 5)

(9.14 6) Cap. 10: Vibraciones en sistemas con N grados de libertad 243

es decir, los vectores son linealmente independientes. Probando la ortogonalidad de los modos de vibración hemos asumido que los valores propios ω2 i

y ω2j eran distintos. En algunos casos particulares pueden aparecer valores propios repetidos. En

un problema de valores propios general, los vectores propios asociados con valores propios repetidos pueden ser independientes o no serlo. Supongamos un valor propio ω2r con multiplicidad s, de manera que ω ω2r , 2r+1,…,ω2r s+ −1 son iguales. Si todos los demás vectores propios son independientes entre sí, el rango de la matriz K −ω2rM es igual a N-s, y se puede demostrar que el sistema de ecuaciones (K −ω2rM A) r = 0 tiene s soluciones no triviales

(9.147) , + ,…,Ar s+ −1 que son linealmente independientes. En el caso de

A A r r 1

que el rango de la matriz fuese superior a N-s, esta propiedad no se verificaría. Afortunadamente, se puede demostrar que si las matrices M y K son reales y simétricas, como ocurre en el caso de los sistemas mecánicos, los vectores propios asociados a valores propios repetidos son linealmente independientes. Ejemplo 10.2.3.2-1 Calculemos las frecuencias y modos de vibración del ejemplo 10.1-1 para los valores m1 = m2 =1 Kg , c1 = c2 = c3 = 0 y k1 = k2 = k3 =1 N/m. Particularizando, las ecuaciones del movimiento para el caso de las vibraciones libres, resulta:

1010   x1 +−21 −21     xx12 =  00 

 x2



Las frecuencias naturales se calculan de la ecuación característica dada por la ecuación (9.132), que

para este caso es 

−21 −21−ωi2 10 10=ω − ω + =4 4 2 3 0



 La solución a esta ecuación bicuadrática es ω =2 4 ± 2 =1 2

 3

de manera que ω12 =1 y ω =22

3 . Para calcular el primer modo de vibración, parti-

cularizamos la ecuación (9.133). Para el primer modo, la ecuación se convierte en −21 −21−110 10A1 = −11 −11 A1 =  00   Dando arbitrariamente a la primera componente de A1 el valor de 1, resulta

A

1

 1 =   1

Análogamente, para el segundo modo podemos escribir −21 −21−310 10A2 = −−11 −−11A2 =  00 

5.4 MATRIZ MODAL. Para eficiencia operacional se define la matriz modal [X], como la matriz cuyas columnas son los vectores propios de los diferentes modos, o sea como: [ ]X = [X1

X 2 −−− X N ]

Se puede demostrar que [ ]X T [M][X ] y [X ]T [K][X ] son matrices diagonales. Como ejemplo, consideremos un sistema con dos grados de libertad:

[ ] [X T M][ ]X = ⎡⎢⎣⎢{ }{ }XX1 T ⎥⎥⎤⎦[M ][{ }{ }X1 X 2 ]= ⎢⎡⎢{X12}TT [[MM]]{{ } { } XX11} {XX12}TT [[MM]]{ }{ }XX 22 ⎦⎥⎤⎥ 2T { }X ⎣ X = ⎡⎢µ11 ο ⎤⎥ ⎣ο µ22⎦

[ ] [ ][ ]X T M

Ecuaciones del movimiento en coordenadas principales. Introduciendo la siguiente transformación lineal de coordenadas:

{X( )t }= [ ]X {q(t)}

(211)

en las ecuaciones del movimiento y pre-multiplicando por [X]T , se obtiene:

[ ] [X T M][ ]X { }q&& +[X ]T [K][X ]{q}=[X]T {f }

(2-12)

[←µ→]{ }q&& +[←γ→]{ } { }q = P

Las coordenadas qi (t), se llaman coordenadas principales y generalmente no tienen significado físico. Es una herramienta de cálculo útil para desacoplar las ecuaciones del movimiento. El sistema de ecuación (2-12) son N ecuaciones desacopladas de la forma: µii q&&i +γii qi = Pi (t)

(213)

Pi (t) = [ ]X { }f Con i= 1, 2, 3, ……N

(2-

T

14)

Cuando los modos son normalizados respecto a la matriz de masa, a veces se llaman modos normales : {X Ni } y las matrices de (2-12) se transforman en : [X N ] [T M][X N ]= [←1→]………………………………. (2-15) [X N ] [ ][T K X N ]= [←ωi2→]

Ejemplo de vibraciones libres. Determinar utilizando el método modal x1(t),x2(t)del sistema de la figura 2.17 si se le dan las siguientes condiciones iníciales: x1( )0 = x10 ; x2( )0 = x&1( )0 = x&2( )0 = 0

FIG. 2.17. Ejemplo Las ecuaciones del movimiento son: ⎡m

⎤⎧&x&1⎫ ⎡2k −k⎤⎧x1⎫

⎢

m⎥⎦⎨⎩&x&2⎬⎭+⎢⎣−k

Las frecuencias naturales y sus modos de vibrar son:

{X1}=⎧⎨1,6181 ⎫⎬⎭; {X 2}=⎩⎧⎨− 01,618⎬⎭⎫;ω12 = 2,618 k m ;ω22 = 0,382 k m ⎩

1. El primer paso para utilizar el método modal es desacoplar las ecuaciones del movimiento, para lo cual se determina sus masas y rigideces modales:

µ11 ={X1}T [M]{X1}={1 1,618}⎡⎢⎣mm⎤⎥⎦⎨⎩⎧1,6181 ⎫⎬⎭= 3,618m

⎡m⎤⎧1⎫ µ22 ={1 − 0,618}⎢⎣

m⎥⎦⎨⎩− 0,618⎭⎬=1,382m

γ11 ={1

1,618}⎢ k k ⎥⎦⎨⎩1,618⎬⎭=1,382 k ⎣−

γ22 ={1

− 0,618}⎡⎢2k − k⎤⎥⎧⎨ ⎫⎬= 3,618 k

1

⎡2k − k⎤⎧ 1 ⎫

⎣− k k ⎦⎩− 0,618⎭ Reemplazando estos valores en las ecuaciones (2-13) se obtienen las ecuaciones del movimiento desacopladas: 3,618 m q&&1 +1,382 k q1 = 0 1,382 m q&&2 + 3,618 k q2 = 0 Comprobación de relaciones de ortogonalidad (verificar si fueron bien calculados los {X }):

i

µ12 ={11,618}⎡⎢mm⎤⎥⎦⎧⎨⎩− 01,618⎬⎭⎫= m − m = 0 ; idemγ12 = 0 ⎣ Verificación de las frecuencias naturales (las frecuencias naturales son independientes del sistema de coordenadas elegido).Las frecuencias naturales calculadas del sistema de ecuaciones desacopladas son: ω12 = γ11 = 1,382 k = 0,382 k µ11 3,618 m m

ω22 = γ22 =

3,618 k = 2,618 1,382 m

k µ22 m

1. La solución de cada ecuación desacoplada es la solución de un sistema de un grado de libertad en vibraciones libres:

qi ( )t = qi ( )0 cosωi t +

q&i

(0) ω

i senωit

(*) 1.

Cálculo de las condiciones iníciales en coordenadas qi :(qi (0) , q&i ( )0 ), usando ecuación (2-11): {x( )t }=[X ]{q(t)} ⎧x1( )t ⎫ ⎡ 1 1 ⎤⎧q1(t)⎫ ⎨⎩x2( )⎬= ⎢1,618 − 0,618⎥⎦⎨⎩q2( )t ⎬⎭ t ⎭ ⎣

NOTA: Observe que las coordenadas q1(t) y q2(t) no tienen un significado físico directo, solo sirven para desacoplar las ecuaciones del movimiento. Reemplazando en ecuación (*) se obtiene la solución en coordenadas qi (t): q1(t)= 0,276 x10 cosω1t q2( )t = 0,724 x10 cosω2t 4.Para obtener la solución en coordenadas xi (t), se utiliza las ecuaciones (2-11), obteniéndose:

Verificación para t = 0 : x1(0)= 0,276 x10 + 0,724x10 = x10 x2( )0 = 0,447 x10 − 0,447x10 = 0

Ejemplo. a) Determine las respuestas estacionarias x1 (t), x2 (t) del sistema de figura 2.18 usando el método modal b) Determine la respuesta total x1(t) y x2(t) si las condiciones iníciales son: x1( )0 = 0 ; x2( )0 = x&1( )0 = x&2(0)= 0

F0 senΩt FIG. 2.18. Ejemplo a) De ecuación (2-14) se determina las fuerzas modales: {Pi ( )t }= [ ]X T { }f {Pi (t)}=⎡⎢11 −10,618,618⎤⎥⎦⎧⎨⎩F0sen0 Ωt⎫⎬⎭=⎨⎧⎩FF00sensenΩΩtt⎫⎬⎭ ⎣

Por lo tanto las ecuaciones desacopladas del movimiento de acuerdo a ecuación (2-13) son:

Cuyas soluciones en coordenadas qi(t) para el movimiento estacionario son:

1−F(Ω0 / /γωiii ) senΩt = µii F20 2)senΩt qi ( )t = 2 (ωi −Ω

F0 senΩt q1( )t =

F0 senΩt q2( )t =

Para obtener la solución en coordenadas xi (t), se utiliza las ecuaciones (2-11), obteniéndose: Fm0 senΩt⎡⎣⎢3,618 m(1ω12 −Ω2)+ 1,382 m (1ω22 −Ω2)⎥⎦⎤ x1( )t = q1( )t + q2( )t = F (k x1( )t =

0 − mΩ2)

senΩt = X1 sen

Ωt m

x2( )t =1,618 q1 ( )t − 0,618 q2(t) x2( )t =

− F0k

senΩt = X2senΩt m

Estas ecuaciones son las mismas obtenidas utilizando el método directo.

b) La solución total de las ecuaciones (*) es:

donde las constantes Ai y Bi son determinadas de las condiciones de borde Análisis de la participación de los modos de vibrar en la respuesta estacionaria del ejemplo

A continuación se analiza la participación de cada modo de vibrar en x 1(t) para diferentes valores de la frecuencia de excitación,Ω.

x1( )t = q1( )t + q2( )t = F0 sen Ωt

+

F0 sen Ωt

144424443 14 244 4 344 q1 ( )t = participación1er modo q2( )t = participación 2° modo

FIG. 2.19. Participación de los modos de vibrar en la respuesta X1 del ejemplo. Notas: 

Para Ω cercanas a ωi la respuesta estacionaria total es aproximadamente la del modo i.



Para un sistema de N grados, en la respuesta a una excitación a Ω , los modos predominantes son aquéllos (dos o tres) con ωi cercanos a Ω . Es decir, un sistema de N grados de libertad puede ser analizado en ese caso como un sistema de dos o tres grados de libertad.

En resumen: ¾

¾ ¾

¾

La gran ventaja del método modal es desacoplar las ecuaciones del movimiento, lo que permite analizar un sistema de N grados de libertad como la suma de N sistemas de un grado de libertad Lo anterior sin embargo, es a costa de un mayor tiempo de desarrollo El método modal permite determinar la respuesta estacionaria y transiente de sistemas de ecuaciones diferenciales (por lo tanto, es aplicado al análisis de sistemas eléctricos, térmicos, fluidos, etc.) de N grados de libertad bajo la acción de una excitación cualesquiera. El método directo, aunque más corto, solo es aplicable para determinar

solo la respuesta estacionaria bajo excitación armónica.

5.5 VIBRACION LIBRE. Particularizando la ecuación (9.124) para el caso de las vibraciones libres ( f =0 ) en sistemas no amortiguados (C=0), se tiene Mq + Kq = 0

(9.125) sujeto a las condiciones iniciales q(0) =q0 y q(0) =q0 .De

forma análoga a lo que se hizo en el caso de las vibraciones con un grado de libertad, asumimos una solución armónica de la forma ( ) = Aest

(9.126)

q t

donde A es un vector de amplitudes. Sustituyendo la ecuación (9.126) en la (9.125), resulta: (s2M + K A) est = 0

(9.127)

Puesto que ni A ni est pueden ser nulos, ya que si no obtendríamos la solución trivial nula, se deduce que (s2M + K A) = 0

(9.128)

Frecuencias naturales Para calcular los valores de s y A, debemos resolver la ecuación (9.128), que representa un problema de valores y vectores propios generalizado. Como es sabido, esta ecuación tiene solución distinta de la trivial nula si y sólo si la matriz de coeficientes es singular o, lo que es lo mismo, si su determinante es nulo. s2M + K = 0

(9.129)

Se puede demostrar que si la matriz M es positivo definida y K es positivo definida o positivo semidefinida, todos los valores propios s2 son reales y negativos o nulos. Por ello, para manejar cantidades positivas es costumbre realizar el cambio de variables (9.13 0)

s2 =−ω2 que equivale a s =±ωi © Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra). Cap. 10: Vibraciones en sistemas con N grados de libertad Con este cambio, la ecuación (9.129) se convierte en

(9.13 1)

241

K −ω2M = 0 con valores propios

(9.132)

ω 2 ω 2 2 1

, ,…,ω2N positivos o nulos. A las raíces cuadradas de estos valores se les

denomina frecuencias naturales del sistema.

Modos de vibración Asociado con cada valor propio ωi2 hay un vector propio de dimensión N, que se puede obtener de la ecuación (K −ωi2M A) i = 0 (9.133) Este sistema de ecuaciones homogéneo tiene una matriz de coeficientes que es singular, por lo que tiene solución distinta de la trivial nula. Esta solución no trivial, con módulo indeterminado, se obtiene dando valor arbitrario a una de las componentes del modo de vibración y calculando el resto. Estos vectores propios reciben el nombre de modos de vibración. La solución general a las vibraciones libres se puede escribir como una combinación lineal de las soluciones de la forma dada por la ecuación (9.126) encontradas. Es decir, q( )t = A1 (β11ei tω1 +β12e−ωi t1 )+ … AN (βN1eiωNt +βN2e−ωi Nt ) (9.134) donde las constantes β se puede obtener a partir de las condiciones iniciales. Se puede demostrar fácilmente que esta ecuación puede también escribirse mediante funciones armónicas simples de la forma q(t) = B1A1 cos(ω −ψ +1t donde, de nuevo, las constantes Bi y

ψ i

1

) … BN AN cos(ω −ψNt

N

)

(9.135)

se dete...