vibraciones mecanicas, Singuiresu Rao, 5ta edicion PDF

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Q U I N T A E D I C I Ó N VIBRACIONES MECÁNICAS S I N G I R E S U S. RAO ALWAYS LEARNING www.FreeLibros.me PEARSON M a s a s e q u iv a le n te s , r e s o r te s y a m o r tig u a d o r e s M asas equivalentes M .'X M asa (M ) fija en e l extrem o d e un resorte M IM IM = M + j d e m asa m Viga...

Description

Q U I N T A

E D I C I Ó N

VIBRACIONES MECÁNICAS S I N G I R E S U

ALWAYS LEARNING

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S.

RAO

PEARSON

M a s a s e q u iv a le n te s , r e s o r te s y a m o r tig u a d o r e s M asas equivalentes M .'X M IM IM

<

=

M asa (M ) fija en e l extrem o d e un resorte d e m asa m

-

Viga e n voladizo d e m asa m c o n una carga

D •

t

M e n su extrem o libre

= M + j

m ,v = M + 0.23 m

> i

Viga sim plem ente apoyada d e m asa m con una c a rg a M a la mitad

m ,q = M + 0 . 5 m

M asas translacionalcs y rotacionales

R' Jrq = Jq + m R 7

m, m2 "!l □ ______□ _______ □ ■*- / | -*1

M asas sobre u n a ba rra co nectada a la bisagra

m«*i = mi +

V arilla som etida a una carga axial z *0. * ( 0 )

coordenadas cartesianas, desplazam ientos valor d e x cu an d o / ■ 0

pulg pulg

•to. ¿ ( 0 )

valor d e x cu an d o / ■ 0

pulg/s

XJ

desplazam iento d e la m asa j-é s im a

pulg

m/s m

XJ xí U

valor d e x cu an d o i = valor d e x cu an d o i = ij

pulg pulg/s

m/s

porte hom ogénea d e x (i)

pulg

xj x

porte p articular d e x ( i)

pulg

v ector de desplazam ientos

pulg

m

valor d e

pulg

m

pulg/s pulg/s3

m/s

IV IV

II %

J

una función d e x

cu an d o / =

valor d e * cu an d o t = /, valor d e x cu an d o i = it

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m /s 2

Lista d e s ím b o lo s

«Símbolo

Significado

S iste m a inglés

S iste m a In tern acio n al

m odo i-csim o X

am plitud d e *(/) am plitud d e x / í)

Hg F*>'g

m ni

\c c to r m odal /-¿sim o

pu'g

m

com ponente /-¿sim o de m odo /'-¿sim o m atriz m odal

pulg PU'g

m in

desplazam iento d e base

F u 'g

m

am plitud d e > *il7 + *rn

E je m p lo 1.7

k e q u iv a le n te d e u n

_

(25.5255 X 106)(8 .9 0 I2 X 106)

= 6 5 9 9 1 X K ^ N -m /ra d

(25.5255 X I06 + a9 0 l2 X 105)

p o lip a s to

U n polipasto, q u e funciona con un c ab le d e acero, está m ontado e n e l extrem o d e u n a viga en voladizo como se m uestra e n la fig u ra l.3 i< a). Determ ine la constante d e resorte equivalente d e l sistem a cuando la longitud suspendida d e l cable e s /, S uponga q u e e l diám etro d e la sección transversal n eta d e l c ab le es d y q u e e l m ódulo de Y oung d e la viga y el cable es E . S olución: La constante d e resorte d e la viga en voladizo está d a d a por 3E l * * =

t

3F .í l

E a l3

,\

=

■

*

( e i >

La rigidez del c ab le som etido a una carga axial es

Com o tanto e l c ab le c o m o la viga e n voladizo experim entan la m ism a carga VV, com o se m uestra e n la figura 1.3 l(b ). se m odelan c o m o resortes e n serie, c o m o s e ve e n la figura 1.31(c). La constante d e resorte equivafcnte está dada por I

I

*eq

**

|

1

4Ó3 | E al*

4/ v d 2E

o bien

i — a

W Figura 1.31 Polipasto.

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1 .7

E le m e n to s d e resorte

33

w

Viga

Cable

IV

d m d e A e s e l área d e la p lac a m óvil. E xpresando F com o F = cv

(E .3)

b c o n stan te c d e am ortiguam iento se encuentra com o _fiA

U tilizando los datos, la ecuación (E.2) d a p o r resultado

(0 .3 4 4 5 )(0 .l) c = 4 0 — ---------

E je m p lo 1. 15

or

h = 086125 mm

(E.3)

C o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to d e u n a c h u m a c e ra Se utiliza una ch um acera com o soporte lateral d e u n a flecha rotatoria c o m o se m uestra e n la figura l .43. S i el radio d e la flecha e s R. su velocidad a n g u la r e s o*, la ho lg u ra radial entre la flecha y e l co jinete es d, la visco­ sidad d e l fluido (lubricante) e s n , y la longitud d e l cojinete es /, o btenga una expresión p ara la constante de am ortiguam iento rotacional d e la chum acera. S uponga q u e la fuga d e fluido es insignificante. S o lu c ió n : La constante d e am ortiguam iento l a fuerza requerida para cortar la película de fluido e s igual a l esfuerzo p o r el área. H p a r de torsión en la flecha ( f ) e s igual a la fuerza por e l brazo d e palanca, d e m odo que

T = ( r A )R

(E .3)

r b n d c A = 2 ttR I c s e l área d e la flecha expuesta a l lubricante. P o r lo tanto la ecuación (F„3) s e rccscribc como

2 w fiR 3lta (2 ir R I)R =

H t acuerdo con la definición d e la constante de am ortiguam iento rotacional del co jinete (c,):

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(E .4)

1.9 E le m e n to s d e a m o r tig u a m ie n to

47

o btenem os la expresión d eseada p ara la constante d e am ortiguam iento rotacional com o 2 ir n R ¡l c‘ =

d

« >

No¡a. l a ecu ació n (E .4) se conoce c o m o ley de P e tro ff y originalm ente s e publicó e n 1883.Esta ecuación se utiliza am pliam ente e n e l d ise ñ o de chum aceras 11.43).

E je m p lo 1. 16

A m o rt ig u a d o r h id rá u lico d e p is tó n -c ilin d ro D esarrolle una ex p resió n p ara la constante d e am ortiguam iento d e l am ortiguador hidráulico d e la figura 1.44(0). S o lu c ió n : La constante d e am ortiguam iento d e l cilindro se d eterm ina aplicando la ecu ació n d e l esfuerzo cortante d e un fluido viscoso y la ecuación d e velocidad d e flujo d e l fluido. C om o se m uestra e n la figura 1.44s N i= I N

2n n t i T

(1 .9 8 )

2nirl¡ (1 .9 9 )

E je m p lo 1. 19

E x p a n s ió n d e la se rle d e F o u rie r C tte n n in e la e x p a n s ió n d e la s e r ie d e F o u r ie r d e l m o v im ie n to d e la v á lv u la e n e l s is te m a d e le v a y s e g u id o r , ir o s tr a c k e n la f ig u ra l . 6 l .

'P a r a l a r e g l a d e S im p s o n , N t i e n e q u e s e r u n n ú m e r o p a r p e r o n o p a r a l a r e g la t r a p e z o i d a l . L a s e c u a c io n e s ( 1 .9 7 ) a ( 1 .9 9 ) s ip o n e n q u e la c o n d ic ió n d e p e r io d ic id a d , j „ = x H s e m a n tie n e c ie rta .

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1.11 S olución:

A n á lis is a r m ó n ico

69

S i > < /) i n d i c a e l m o v i m i e n t o v e r ti c a l d e l a v a r i l l a d e e m p u j e , e l m o v i m i e n t o d e la v á l v u l a . x ( / ) , s e

p u e d e d e te r m in a r c o n la r e la c ió n :

>(’ ) ta n 0 =

* ( ')

—

=

•\ °

h

/, * < 0 -

j j

(0

(E .D

d onde y (t )

y e l p e r io d o e s tá d a d o p o r r

=

—

=

Y~",

0 * 1

A -j

O

*

r

( E .2 )

s

t

(F ..3 )

. D e fin ie n d o

í( f ) s e p u ed e ex p resar co m o

x (i)

L a e c u a c ió n

(E .3 ) s e

m u e s tra e n

=

s

i

la fig u ra l.5 4 ( a ) . P a ra c a lc u la r lo s c o e fic ie n te s a „ y

b H, u t i l i z a m o s d e l a s

e c u a c io n e s

a

A

•

t

/

tau

aln(w *t(i))

/

p i ;

/

pi

-

A

•

ain (2 *W t ( i ) )

/

(2*pi>;

/

pi

-

A •

ain(2*w *t(i))

/

(2*pi)

* - p ij tau fo r

-

i

2 -

¡ l i

t(i) x(l)

101 -

tau

•

-

A •

t(i)

(1 - 1 ) /1001

/

tau,

and aubplot(231) ;

p lo t( t.x ) ; y l a b a l ( * x ( t ) •) i x l a b a l ( 't ') ; t l t l a ( ax ( t ) ■

for

i

a

A * t / t a u 1) ¡

10 1

l i

x l (1)

.

A /

2,

and aubplot(232) ;

p lo t(t,x l); x la b a l( 't ') r t l t l a fo r

1

( ‘ Un a

tó rm in o *)i

li

x2(i)

101

.

A/2

-

A •

and aubplot(233) ;

p l o t (t , x 2 ) , xlabal C f ) ;

t l t l a fo r

I ’ Do í

t ó r a l n o a ')*

i - li 101 x 3 (1 ) - A/2

-

A

•

a l n ( v * t ( l) )

and aubplot(234)i

p lo t(t.x l) , y l a b a l J * x ( t ) ■); x l a b a l (■t * ) j

t l t l a fo r

('T ra a

1 - l i t ( l ) a

x«(l) -

A

té r a ln o a ') ;

101 tau

a

•

A/2

•

( 1 - 1 1 /1 0 0 ;

-

A •

aln(w *t«l)»

a in (3 « W t(i)J

/

13*pi)i

and a u b p lo t (23 S ) ;

p lo t(t,x 4 ) , xlabal C f ) ; t i t l a

E je m p lo 1.12

('C u a tr o

t ó r a ln o a ') ;

R e p re s e n ta c ió n g rá fica d e p u ls a c io n e s S e som ete u n a m asa a d o s m ovim ientos a rm ónicos d a d o s p o rX |(/) ■ X e o s un y x 2(t) *- X e o s (o» + 8)1 con X = I c m , w = 2 0 rad/s. y 5 = I rad/s. T race e l m ovim iento resultante d e la m asa con M A TL A B c identifique la frecuencia de pulsación. S o lu c ió n : El m ovim iento resultante d e la m asa. M i) está d a d o por

j ( f ) = x,(f) + x 2(l) = X eos ou + X cos(ü> + 8 )t = 2 X eos — c o s| (■»+• — )/

!)

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(E l)

74

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n Se ve q u e e l m ovim iento presenta e l fenóm eno d e pulsación c o n u n a frecuencia wb = (ai + 8) — (at) = 5 = 1 rad/s. La ecuación ( E I ) se traza c o n M A TLAB com o se m uestra a continuación. % • ■ 1 2 2 .0 % T razar a l A - li « . JO; d a lta -

fo r

t(l) x (i)

p u l s a d ana»

1/

- li

1

fan&aano d o

• -

10 0 1

1S • (1 -1 1 /1 0 0 0 ; a • A • c o a ( d a l t a * e (1) / 2)

•

coa

( (w *

d a lta /2 )

• t( l) ) i

and plot

(t . x) ;

xlab al ylab al C ltla

( 't ') i ( 'x ( t ) ') l ( ‘F ondaoco

d a p u l a a c i o n a a ’ )»

Fenóm eno d e pulsaciones

—

f

E je m p lo 1 .2 3

A n á lis is d e F o u rie r n u m é ric o re a liz a d o u tiliz a n d o M A T L A B Realice un análisis arm ónico d e las fluctuaciones de presión d a d as e n la tabla l . I d e la p á g ira 7 1 y determ ine b s prim eros cinco arm ónicos d e la expansión de la serie d e Fourier. Solución: Para hallar los prim eros cinco arm ónicos d e las fluctuaciones de presión (es decir. Oo- o t......ay b ,....... t 5X se desarrolla un program a M A TL A B d e uso general para e l análisis arm ónico d e una función j ( / ) utilizando tas e cu a c io n e s(l.9 7 ) a (1.99). H program a, denom inado P rogram l.m , requiere los siguientes datos de entrada: n = can tid ad d e puntos equidistantes e n los cuales se conocen los valores d e x (i) m - cantidad r + o ) c o n x ,(/) = 15 eos un y x2(/) = 2 0 eos (an + I ). El ángulo d e fase o e s de 1.57 rad. 9.

13

Llene e l espacio e n blanco con la palabra co necta: 1. Los sistem as experim entan peligrosam ente grandes oscilaciones e n _________ . 2. l o vibración no am ortiguada se caracterizada p o r no tener pérdida d e ____________ . 3. Un sistem a vibratorio se com pone d e un resorte, am ortiguador y . 4.

Si un m ovim iento se repite después d e intervalos d e tiem po iguales, se llam a m ovim iento

5. Q ia n d o la aceleración es proporcional al desplazam iento y dirigida b a cía la posición m edia, el m ovim iento s e llama a rm ó n ic o _________ . 6 . El tiem po requerido para co m pletar un ciclo d e m ovim iento se llam a_________ d e vibración. 7. La cantidad d e ciclos por u n id ad d e tiem po s e llam a d e vibración. 8. Se d ice que d o s m ovim ientos a rm ónicos que tienen la m ism a frecuencia s o n ________ . 9. La diferencia angular entre la ocurrencia de puntos sem ejantes d e d o s m ovim ientos a rm ónicos se lla m a ________. 10. Se puede considerar q u e los sistem as continuos o distribuidos tie n e n ________ grados d e libertad. 11. Los sistem as c o n u n a can tid ad finita de grados d e libertad se conocen c o m o s is te m a s _________ . 12. La cantidad de grados d e libertad d e un sistem a indica e l m ínim o d e ___________ independientes recesarías para describir las posiciones d e todas las partes d e l sistem a en cu alq u ier instante. 13. Si un sistem a v ib ra debido sólo a u n a perturbación inicial, s e llam a v ib ra c ió n ________. 14. Si un sistem a vibra debido a una excitación ex tem a se llam a v ib rac ió n ________. 15. l a re so n an cia indica la coincidencia d e la frecuencia d e la excitación ex tem a con una frecuencia _________ d e l sistem a. 16. Una fu n c ió n /(í) se denom ina función im par s i ___________________. 17. l a s e x p a n s io n a d e ________ intervalo se pueden u sa r p ara representar funciones d efinidas sólo en d intervalo 0 a t . 18. El a n á lisis_________ se ocupa d e la representación d e serie d e F o u rie r d e funciones periódicas. 19. l a velocidad d e rotación d e 1 000 rpm (revoluciones por m in u to )c o rrc sp o n d c a ________ radianes/s. 20. O ra n d o la velocidad d e una turbina es d e 6 0 0 0 rpm . s e re q u ie re n ________se g u n d o s p ara q u e la turbina co m plete u n a revolución. 1.4

Seleccione la respuesta m ás apropiada d e entre la s op cio n es m últiples dadas a continuación: 1. El prim er sism ógrafo d e l m undo s e inventó en (a ) Japón (b ) C hina (c ) Egipto 2. Los prim eros experim entos c o n p é n d u lo s sim ples fueron realizados por (a )G alile o (b ) P itág o ras (c ) A ristóteles 3. l a o b ra P hilosophiae N atu ralis P rincipia M athem arica fue publicada por (a )G alile o (b )P itá g o ra s (c )N ew to n 4 . Las form as de m o d j d e placas, colocando arena sobre placas vibratorias, fueron observados po r prim era v e z por (a ) G ilad n i (b ) D 'A lem bcrt (c )G alile o 5. l a teoría d e vigas gruesas fue presentada por prim era v e z por (a ) Mindlin (b ) Einstein (c ) Tim oshenko 6 . l a cantidad d e grados d e libertad de un pén d u lo sim ple es: (a ) 0 (b ) I (c )2 7 . La vibración p u ed e clasificarse de (a ) u ta aranera ( b ) d o s m aneras (c ) varias m aneras 8. n fenóm eno d e G ibbs indica un com portam iento anóm alo en la representación de la serie d e fo u rier efe una (a ) función arm ónica ( b ) función periódica ( c ) función aleatoria

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80

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n 9 . L a representación gráfica d e la s am plitudes y án g u lo s de fase d e varios com ponentes d e frecuencia de u n a función periódica se conoce como (a ) diagram a espectral (b) diagram a d e frecuencia (c ) diagram a arm ónico 10. O rando un sistem a vibra en un m edio fluido, e l am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C o u lo m b (c) sólido 11. O rando partes d e un sistem a vibratorio se deslizan sobre una superficie seca, el am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C oulom b (c) sólido 12. O ta n d o la cu rv a d e esfuerzo-deform ación d e l m aterial d e un sistem a vibratorio presenta un bucle de histércsis. el am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C oulom b (c) sólido 1 3. La constante equivalente d e d o s resortes en paralelo c o n rigideces A, y Aj es (a ) A, + k2

l 1 *1

(c)r +r

I +

*1

*2

*2

14. La constante d e resorte equivalente de d o s resortes e n serie c o n rigideces Ai y A2 es ( a ) A, + k2

(b>

l

(C> fA, + fk 2

1 1 — + — A,

Aj

15. La constante d e resorte d e u n a viga en voladizo c o n una m asa m en e l extrem o es

(,) T

w r

16. S i/ ( - / ) = /( r X se d ice q u e la fu n ció n es (b ) im par ( a l par L 5.

(O

3E l

3E l

(c) continua

C orrelacione lo siguiente: 1. Pitágoras (582-507 a .C )

a . publicó un libro so b re la teoría del sonido

2 . E uclides »•> = constante en un proceso adiabático, d o n d e y e s la relación d e calores específicos. Para aire, y = 1.4. 1.30

F ncuentre la constante d e resorte equivalente d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 1.85 en la d irecd ó n d e la carga/*.

1.31

Derive la expresión para la constante de resorte equivalente que relaciona la fuerza ap licada F c o n el desplazam iento resultante x d e l sistem a q u e se m uestra e n la fig u ra 1.86. S uponga q u e el desplazam ien­ to d e l eslabón es pequeño.

13 2

La constante d e resorte d e un resorte helicoidal som etido a u n a carga axial está d ad a por Cid*

k

8N D y

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P r o b le m a s

91

F igura 1.85

- / TO 35V- | k , = 2k

A

A, = 3A

F

x

F igura 1.86 B arra rígida c o n ec ta d a p o r resortes.

d o n d e G e s e l m ódulo d e co rtan te, d e s e l diám etro del alam bre. D e s e l diám etro d e la esp ira y .V e s la cantidad d e vueltas. E n cu en tre la constante d e resorte y el peso d e u n resorte helicoidal d e acero para tos siguientes datos: D - 0 .2 m , d = 0.005 m . N = 10. 133

D os resortes helicoidales, uno d e acero y e l o tro d e alum inio, tienen v alo res idénticos d e d y D. (a) Si la cantidad de v u e lta s en e l resorte de acero e s d e 10. d eterm ine la cantidad d e v ueltas requerida en d resorte d e alum inio c u y o peso será igual a l d e l resorte d e a c e ro , (b). E ncuentre las c onstantes d e los d o s resortes.

134

La figura 1.87 m uestra tres resortes, uno con rigidez A, = k y cada uno d e los otros itos c o n rigidez A¡ = k. El resorte c o n rigidez A( tie...