UP5-3 Problemas resueltos sobre circuitos RL y RC generales PDF

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Ejercicios propuestos por el docente de la materia para el tema RC y RL....

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UP5-3 PROBLEMAS RESUELTOS – CIRCUITOS RL Y RC CON FUENTES P 8.3-2 Dorf

El circuito eléctrico mostrado está en estado estable antes de que el interruptor se abra en t = 0. Determine i(t) para t  0. Y el inductor se comporta como un corto circuito Ecuación diferencial que se presenta: d i(t) + 0.5 i(t) = 0.5 ; para i(0) = 2 A dt Respuesta: i(t) = 1 + e – 0.5 t A , para t  0.

i(t)

Desarrollo analítico: Cálculo de las condiciones iniciales, Para t (0-)

iL(0 -)

= 2A

Cálculo de la corriente para t  0.

Para t (0-) El interruptor está cerrado, el circuito está en estado estable y por lo tanto, el inductor se mporta como un cortocircuito, luego, la rriente sale por el positivo de la fuente y circula solamente por la resistencia de 6 Ω, localizada en la parte inferior del circuito. iL(0-) = iL(0+) = iL(0) = 2 A CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN

iL(t)

iL(t)

Cálculo del equivalente de thevenin: VOLTAJE DE THEVENIN

Vthev =

12x6 4v 666

El voltaje de thevenin es igual al voltaje sobre la resistencia vertical de 6 Ω, por lo tanto, el voltaje sobre la resistencia de 6 Ω se obtiene por división de voltajes

30/01/2017Página 1 de 11 Profesor:Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS

RESITENCIA DE THEVENIN

RThev =

La resistencia equivalente entre los puntos indicados, corresponde a dos resistencias de 6 Ω en serie(horizontales) que resulta en 12 Ω, y ésta a su vez en paralelo con la otra resistencia de 6 Ω(vertical)

12x6 4Ω 12  6

Constante de tiempo del circuito:  

L R thev

 48  2seg. ;

1 = 0.5 

Ecuación diferencial que se presenta: d i (t) dt

+

d i (t) 4Ω 4V i(t) = ; + 0.5 i(t) = 0.5, para i(0) = 2 A 8h 8h dt

Solución: iL(t) = iN + iF ,

iN = k e- 0.5 t

Para obtener iF: iF = ko , i ´F = 0 , reemplazando en la ecuación diferencial tendremos: 0 + 0.5 ko = 0.5, luego ko = 1 , por lo tanto, iF = 1, y la solución general quedará:

iL(t) = 1 + k e- 0.5 t A. Reemplazando la condición inicial: iL(0) = 2 A , la constante k es igual a 1, y la solución específica quedará:

iL(t) = 1 + e- 0.5 t A , para t  0

Otra forma de encontrar la respuesta forzada, para cuando la fuente de excitación es voltaje continuo: Para t    0 o t(∞)

iF

Para mucho tiempo después de accionar el interruptor, éste se encuentra abierto, el circuito se encuentra en estado estable, o sea que, el inductor se comporta como un corto circuito y la corriente que circula a través de las resistencias horizontales y el inductor es igual a: 12 iF = =1A 6 6

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P 8.3-1 Dorf El circuito eléctrico mostrado está en estado estable antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Determine vC(t) para t  0.

250mf

vC(t)

Ecuación diferencial que se presenta: d v c (t) 1 + 0.75 vc (t) = 8 ; para vc(0) = 4 v dt Respuesta: vC(t) = 6 - 2 e – 1.33 t V , para t  0. Desarrollo analítico: Condiciones iniciales, Para t (0-)

vC(0-) = 4 v

Para t (0-) El interruptor está abiert, el circuito se encuentra en estado estable y por lo tanto el capacitor se comporta como un circuito abierto, luego, la corriente sale por el positivo de la fuente y circula por todas las resistencias de 6 Ω. IR(0-) = 6 126 6 = 46 A , vC(0 ) = 6 x 46 = 4 v Luego: vC(0-) = vC(0+) = vC(0) = 4 v Cálculo del voltaje t  0.

vC(t)

vC(t)

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Cálculo del equivalente de thevenin:

Vthev =

RThev =

12x6 6v 66

6x6 3Ω 66

El voltaje de thevenin es igual al voltaje sobre la resistencia vertical de 6 Ω, por lo tanto, el voltaje sobre la resistencia de 6 Ω se obtiene por división de voltajes, considerando las resistencias vertical y horizontal inferior

La resistencia equivalente entre los puntos indicados, corresponde a dos resistencias de 6 Ω en paralelo, la vertical y la horizontal inferior, la horizontal superior esta cortocircuitada

Constante de tiempo del circuito: τ = Rthev C = 0.75 ;

1



= 1.333

Ecuación diferencial que se presenta: d v c (t) dt

+

d v c(t) 1 6V vc (t) = ; + 0.75 0.75 dt

Solución: vc (t) = vcN + vcF ,

1 0.75

vc (t) = 8 , para vc(0) = 4 v

vcN = k e- 1.33 t

Para obtener vcF: vcF = ko , vcF ´ = 0 , reemplazando en la ecuación diferencial, tendremos: 0+1.333 ko = 8 Luego ko = 6 , por lo tanto, vcF = 6, y la solución general quedará: vc (t) = 6 + k e – 1.33 t v , Reemplazando la condición inicial: vC(0) = 4 v , la constante k es igual a -2, y la solución específica quedará

vc (t) = 6 - 2 e- 0.5 t

A

, para t  0

Otra forma de encontrar la respuesta forzada, para cuando la fuente de excitación es voltaje continuo: Para t    0 o t(∞)

vcF

Para mucho tiempo después de accionar el interruptor, éste se encuentra cerrado, el circuito se encuentra en estado estable, o sea que, el capacitor se comporta como un circuito abierto y la corriente circula a través de la resistencia vertical y la horizontal inferior de 6Ω, el voltaje a través del capacitor es igual a: 12 vcF = x6=6v 6 6

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P 8.3-4 Dorf El circuito eléctrico mostrado está en estado estable antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Determine i(t) para t  0.

i(t) Ecuación diferencial que se presenta: d i (t) + 0.5 i(t) = - 1 ; para i(0) = 43 A dt Respuesta: 10 – 0.5 t e A , para t  0. i(t) = - 2 + 3

Desarrollo analítico: Condiciones iniciales, Para t (0-)

i(0-)

Para t (0-) , el interruptor está abierto, el circuito está en estado estable y por lo tanto, el inductor se comporta como un cortocircuito, luego, la corriente sale por el positivo de la fuente y circula solamente por las resistencias de 6 Ω y 3 Ω localizada en la parte inferior del circuito. 4 i(0-) = 12 = A = i(0+) = i(0) 63 3

CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN

Cálculo de la corriente para t  0.

i(t)

i(t)

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Cálculo del equivalente de thevenin: VOLTAJE DE THEVENIN 6*Ia

0v

Por LVK a la malla de la izquierda tendremos: 12 + 6*Ia -2*Ia = 0 o sea que, Ia = -3 A Por LVK al lazo externo del circuito tendremos: 12 + 6*Ia + 0 – Vthev = 0, luego, despejando Vthev y reemplazando el valor de Ia, tendremos: Vthev = -6 v

Vthev

RESISTENCIA DE THEVENIN 6*Ia

3v

Constante de tiempo del circuito:  

Por LVK a la malla de la izquierda tendremos: 6*Ia – 2*Ia = 0 , cuya única solución es: Ia = 0 A Por LVK a la malla de la derecha tendremos: 2*Ia + 3 – V = 0, luego, despejando V y reemplazando el valor de Ia, tendremos: V = 3 v, por lo tanto, Rthev = 3 Ω

L R thev

 36  2seg. ;

1



= 0.5

Ecuación diferencial que se presenta: d i (t) dt

+

d i (t) 3Ω  6V i(t) = ; + 0.5 i(t) = -1, para i(0) = 6h 6h dt

Solución: i(t) = iN + iF ,

4 3

A

iN = k e- 0.5 t

Para obtener iF: iF = ko , i ´F = 0 , reemplazando en la ecuación diferencial tendremos: 0 + 0.5 ko = -1 luego ko = -2 , por lo tanto, iF = -2, y la solución general quedará:

i(t) = -2 + k e- 0.5 t A.

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Reemplazando la condición inicial: iL(0) = específica quedará

iL(t) = -2 +

10 3

4 10 A , la constante k es igual a , y la solución 3 3

e- 0.5 t A , para t  0

Otra forma de encontrar la respuesta forzada, para cuando la fuente de excitación es voltaje continuo: Para t    0 o t(∞) 6*Ia

3*iF

iF

Para mucho tiempo después de accionar el interruptor, éste se encuentra cerrado, el circuito se encuentra en estado estable, o sea que, el inductor se comporta como un corto circuito y la corriente que circula a través del inductor se obtiene resolviendo el siguiente par de ecuaciones: Por LVK a la malla de la izquierda tendremos: 12 + 6*Ia -2*Ia = 0 ; Ia = - 3 A Por LVK a la malla de la derecha tendremos: 2*Ia – 3*iF = 0, luego, iF = - 2

P 8.4-1 Dorf El circuito eléctrico mostrado está en estado estable antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el interruptor permanece cerrado durante 1.5 seg. y después se abre. Determine vC(t) para t  0.

vC(t)

Ecuación diferencial que se presenta: para 0  t  1.5 seg. d v c(t) + 5 vc (t) = 25 ; para vc(0) = 10 v dt

Ecuación diferencial que se presenta: para t > 1.5 seg. d v c (t) + 2.5 vc (t) = 25 ; para vc(1.5seg) = 5 v dt

vC(t) = 5 + 5 e – 5 t V ,

vC(t) = 10 - 5 e – 2.5(t – 1.5) V

luego: vc(1.5seg) = 5.00276 v  5 v

= 10 – 212.6 e – 2.5 t

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Desarrollo analítico: Cálculo de las condiciones iniciales, Para t (0-)

vC(0-)

Para t (0-) El interruptor está abierto, el circuito se encuentra en estado estable y por lo tanto el = 10 v capacitor se comporta como un circuito abierto, luego, por el circuito no circula alguna corriente, presentándose un voltaje de 10 v en los terminales donde está conectado el capacitor. vC(0-) = vC(0+) = vC(0) = 10 v

Cálculo del voltaje para 0  t  1.5 seg. CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN

vC(t)

vC(t)

Cálculo del equivalente de thevenin: VOLTAJE DE THEVENIN

El voltaje de thevenin es igual al voltaje sobre la resistencia vertical de 10x8 Vthev =  5 v 8 Ω, por lo tanto, el voltaje sobre la 8 8 resistencia de 8 Ω se obtiene por división de voltajes.

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8x8  4Ω RThev = 8 8

Constante de tiempo del circuito: τ = Rthev C = 0.2 ;

La resistencia equivalente entre los puntos indicados, corresponde a dos resistencias de 8 Ω en paralelo.

1 =5 

Ecuación diferencial que se presenta: d v c (t) dt

+

5V 1 vc (t) = , 4 * 0.05 4 * 0,05

Solución: vc (t) = vcN + vcF ,

d v c (t) dt

+ 5 vc (t) = 25 , para vc(0) = 4 v

vcN = k e- 5 t

Para obtener vcF: vcF = ko , v´cF = 0 , reemplazando en la ecuación diferencial, tendremos: 0 +5 ko = 25, luego ko = 5 , por lo tanto, vcF = 5, y la solución general quedará: vc (t) = 5 + k e – 5 t v , Reemplazando la condición inicial: vC(0) = 10 v , la constante k es igual a 5, y la solución específica quedará vc (t) = 5 + 5 e- 0.5 t

A

, para 0  t  1.5 seg.

Para t = 1.5 seg. vc (1.5seg.) = 5 + 5 e- 0.5 (1.5) A = 5.00276 v  5 v

Para t = 1.5 seg. El interruptor se abre nuevamente, por lo tanto, el capacitor en ese instante está cargado con 5 v, constituyéndose así, la condición inicial de la nueva etapa: vc (1.5seg.) = 5 v Cálculo del voltaje para

t > 1.5 seg.

vC(t)

CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN

vC(t)

Para t > 1.5 seg. El interruptor está abierto

Cálculo del equivalente de thevenin:

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Vthev = 10 v

En el circuito no existe alguna corriente, por lo tanto, el voltaje de thevenin es igual al voltaje de la fuente

La resistencia equivalente entre los puntos indicados, corresponde a la resistencia de 8 Ω .

RThev = 8 Ω

Constante de tiempo del circuito: τ = Rthev C = 0.4 ;

1



= 2.5

Ecuación diferencial que se presenta: d v c (t) dt

+

10 V 1 vc (t) = 8 * 0.05 8 * 0,05

Solución: vc (t) = vcN + vcF ,

;

d v c (t) dt

+ 2.5 vc (t) = 25 , para vc (1.5seg.) = 5 v

vcN = k e- 2.5 t

Para obtener vcF: vcF = ko , vcF ´ = 0 , reemplazando en la ecuación diferencial, tendremos: 0 +2.5 ko = 25, luego ko = 10 , por lo tanto, vcF = 10, y la solución general quedará: vc (t) = 10 + k e – 2.5 t v ,

Reemplazando la condición inicial: vc (1.5seg.) = 5 v, 5 = 10 + k e – 2.5 (1.5) , la constante será: k=

5 = - 5 e2.5(1.5) y la solución específica quedará : e  2.5(1.5)

vc (t) = 10 - 5 e2.5(1.5) e – 2.5 t v = 10 - 5 e – 2.5 t + 2.5(1.5) = 10 - 5 e – 2.5( t -1.5) = 10 - 212.6 e – 2.5 t

P 8.4-2 Dorf El circuito eléctrico mostrado está en estado estable antes de que el interruptor se cierre en t = 0. El interruptor permanece cerrado durante 1.5 seg. y después se abre. Determine i(t) para t  0.

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i(t)

Ecuación diferencial que se presenta: para 0  t  1.5 seg. d i (t) dt

+ 0.5 i(t) = 1 ; para i(0) = 3 A

i(t) = 2 + e – 0.5 t A , luego: i(1. 5seg) = 2.472 A

Ecuación diferencial que se presenta: para t  1.5seg. d i (t) dt

+

2 3

i(t) = 2 ; para i(1.5 seg) = 2.47 A

i(t) = 3 – 0.53 e – 0.667(t – 1.5) A = 3 – 1.44 e – 0.667 t

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