VBTL 5 Analyse 1 LWB p01-16 PDF

Preview

Summary

Inleiding reeele functies...

Description

Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

ANALYSE 1 (leerweg 6/8) REËLE FUNCTIES

Philip Bogaert Filip Geeurickx Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx advies prof. dr. Hendrik Van Maldeghem cartoons : Dave Vanroye

5

De site www.knooppunt.net geeft je toegang tot het digitale lesmateriaal bij dit boek. Activeer jouw licentie aan de hand van de onderstaande code. Tijdens de activatie accepteer je de gebruiksvoorwaarden. Zo krijg je voor de duur van de licentie toegang tot het digitale lesmateriaal.

code

DK-PRCD-Q9CY-K3Z6-FE

1

Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

veeltermfunctie

1

Een veeltermfunctie van de n -de graadis een functie waarvan het functievo de n -de graad in x .

Definities vind je op een rode achtergrond.

f (x ) = a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

2

=

i =n 

ai xi

met a i ∈ R en

i= 0

2 logaritme van een quotiënt In woorden De logaritme van een quotiënt is het versc In symbolen

∀a ∈ R 0+ \ {1} : ∀x 1 , x 2 ∈ R+0 : a log

x1

=

a

lo

x2

Eigenschappen vind je op een groene achtergrond.

3 Een methode of een formule vind je op een blauwe achtergrond.

4 Hier vind je geschiedenis van de wiskunde en info over de herkomst van begrippen.

3 Formules van Simpson sin p + sinq = 2sin sin p − sinq = 2cos

5 Aan het einde van elke paragraaf vind je een samenvatting.

p −q p +q cos 2 2 p +q 2

sin

p −q 2

4 John Napi Napier (bet die gebore Hij was een

5

11 ) Samenvatting

de protesta van de Bijb John Napier

Henry Briggs

Op het vlak van wiskunde is hij vooral bekend

–

Je kent de definitie van de logaritm De logaritme met grondtal a ∈ R+0 we a moeten verheffen om dit get ∀ a ∈ R+0 \ {1} ; ∀ x ∈ R+0 : a logx = y

–

Je kent de betekenis van briggse en a = 10 → briggse of tiendelige log

canonis descriptio’ (1614). Hij droeg ook bij to ter mechanisering van het rekenen (de staafje (de analogieën van Neper). Hij was een vriend hoogleraar was in Londen, later in Oxford. Sa op waarbij log 1 = 0 en log 10 = 1. Na de doo

pictogrammen TE ONTHOUDEN BETEKENIS GESCHIEDENIS REKENMACHINE ICT

VO O R W O O RD 6

Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

Bij sommige oefeningen vind je een of twee sterretjes. Dit duidt de moeilijkheidsgraad aan.

7 Oplossingen van de oefeningen vind je terug via vbtl.be.

8 Hier wordt uitgelegd hoe de TI-84 je kan helpen. Gebruik je een Casio toestel, dan vind je de Casio schermen via vtbl.be.

9

6 Als de hoeken van een

7

120°. Bewijs.

10

*

Als de hoeken van een

11

Oplossingen

=

gekeerd. Bewijs dit. **

Als de hoeken van een omgekeerd. Bewijs dit

deze functie te bepal

9

1.2 Veeltermfuncties 1

(blz. 34)

b (3); c (4) ; e (0) ; g (1) ; h (5)

i (x ) (in 2

9

c

104

In het digitale boek en in de handleiding vind je extra schermen die dikwijls manipuleerbaar zijn. Je herkent deze schermen aan het -logo.

5 1 − , 2 2 b geen a

−1,0, 1

d −3, −2, 3 e

1 1 − , ,1 2 2

0 0

−5

5

9

−104

Welk deel van de grafiek

ISBN: 978 90 4860 378 7 Bestelnr.: 94 505 0090

Foto’s: Shutterstock, fotostock die Keure en auteurs Copyright by die Keure Brugge

KB: D/2014/0147/102 NUR: 126

Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België H.R. Brugge 12.225

Lay-out en opmaak: Karakters bvba Druk: die Keure

Eerste druk: 2014

Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. No part of this book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher.

Wiskunde in de derde graad wordt een boeiende verkenningstocht langs matrices, meetkunde, goniometrie en (zoals je zal merken in dit boek) heel veel functies. De analyse van de reële functies vormt een stevige basis voor de verdere studie van de theoretische en toegepaste wiskunde. In dit boek worden heel wat aspecten van functies belicht zonder gebruik te maken van afgeleiden en integralen. Van bij het begin speelt het grafische element een grote rol. Dit reuzenrad is het op een na grootste ter wereld en staat in Singapore. De eerste tickets werden in april 2008 verkocht

voor 8,888 Singa porese dollars. Op het hoogste punt (165 m) kan je bij helder weer 45 km verder kijken en heb je een uitzicht op Indonesië en Maleisië. Als je je in een van de 28 capsules bevindt en je drukt de hoogte van de capsule uit in functie van de tijd, dan bekom je een goniometrische functie. Gaan we op onderzoek naar de inverse functies van de goniometrische en de exponentiële, dan komen we uit bij de cyclometrische en logaritmische functies. De auteurs wensen je veel plezier met dit boek analyse.

Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

I NHO U D Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Algebraïsche functies Inleiding > 8 Veeltermfuncties > 11 Rationale functies > 43 Irrationale functies > 63 Bewerkingen met functies > 77 Speciale functies > 86

Machten

2 2.1 Machten met gehele exponent > 98 2.2 Eigenschappen van machten met gehele exponenten > 99 2.3 Vierkantswortels in r > 99 2.4 n-demachtswortels in r > 100 2.5 Machten met rationale exponenten > 1 01 2.6 Eigenschappen van machten met rationale exponenten > 102

3

Exponentiële en logaritmische functies

3.1 Exponentiële groei > 114 3.2 Logaritmische functies > 137

Goniometrische functies

4 4.1 4.2 4.3 4.4

De radiaal > 166 Periodieke functies > 169 Elementaire goniometrische functies > 172 De algemene sinusfunctie > 179

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Som- en verschilformules > 198 Verdubbelings- en halveringsformules > 203 Formules van Simpson > 207 Goniometrische vergelijkingen > 212 Goniometrische ongelijkheden > 226 Cyclometrische functies > 236

Goniometrie

Formules

> 252

Trefwoordenregister

> 254

Algebra is een verzamelwoord voor alles wat in de wiskunde betrekking heeft met letterrekenen. We stellen getallen voor door letters en laten daar alle bewerkingen op los. Het woord zelf kent zijn oorsprong 1200 jaar geleden. Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

De wiskundige Al-Chwarizmi voerde de Arabische cijfers in, corrigeerde het werk

van Ptolemeus, liet een wereldkaart tekenen en schreef het boek Hisab al-jabr wa al-muqabala waarin je de term ‘algebra’ misschien herkent. In dit hoofdstuk onderscheiden we de drie algebraïsche functies: veeltermfuncties, rationale en irrationale functies.

Algebraïsche functies Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

1 1.1 1 2 3

1.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.3 1 2 3 4 5 6 7

Inleiding Definities > 8 Algebraïsche functies > 9 Niet-algebraïsche functies of transcendente functies >

1.4 1 2 10

Veeltermfuncties Voorbeelden > 11 Herhaling van de belangrijkste kenmerken van constante, eerste- en tweedegraadsfuncties > 11 Hogeregraadsfuncties > 14 Toepassingen > 18 Maximum en minimum (extrema) > 25 Een functievoorschrift opstellen > 26 Vraagstukken > 27 Differentiequotiënt > 30 Samenvatting > 33 Oefeningen > 34

3 4 5 6

1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Irrationale functies Domein van een irrationale functie > 63 Nulwaarden van een irrationale functie – irrationale vergelijkingen > 63 Irrationale functies bespreken > 65 Toepassing > 70 Samenvatting > 71 Oefeningen > 72

Bewerkingen met functies Som van twee functies > 77 Product van een functie met een reëel getal > 77 Product van twee functies > 78 Quotiënt van twee functies > 78 Functies samenstellen > 79 Inverse functies > 80 Grafieken van inverse functies > 81 Samenvatting > 82 Oefeningen > 83

Rationale functies Rationale functies > 43 Homografische functies > 44 Rationale functies benaderen door veeltermfuncties > 47 Asymptoten van grafieken van rationale functies > 48 Toepassingen > 51 Samenvatting > 54 Oefeningen > 55

1.6 1 2 3 4 5 6 7

Speciale functies De absolutewaardefunctie > 86 De G-functie of functie van Legendre (entierfunctie) > 87 Een zaagtandfunctie : de mantissefunctie > 88 De signfunctie (of signumfunctie) > 89 Functies met meervoudig voorschrift > 90 Samenvatting > 90 Oefeningen > 91

Inleiding

1.1

1 ) Definities functie Een functie is een relatie tussen twee veranderlijken x en y , waarbij voor elke x -waarde hoogstens één y -waarde bestaat. x is de onafhankelijk veranderlijke y is de afhankelijk veranderlijke Wanneer de twee veranderlijken reële getallen zijn, spreekt men van reële functies. Voor reële functies gebruiken we de letters f , g , h … of f 1, f 2, f 3 … Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

De formule die de functie bepaalt, is het functievoorschrift. Zo spreken we dus over de functie f met voorschrift y = f ( x ). De y -waarden worden ook de functiewaarden of beelden genoemd.

Voorbeeld : een reëel getal en zijn kwadraat x

–3

−5 2

 − 2

–1

0

x2

9

25 4

2

1

0

 2 2 1 2

1

7 3

3

1

49 9

9

Het verband tussen een reëel getal en zijn kwadraat is een functie, want elk reëel getal heeft juist één kwadraat. We stellen deze functie voor door de letter f .

y 10

f (x ) = x 2

Het functievoorschrift noteren we als :

•

•

f (x ) =x 2 of

8

y =x2 6

Enkele functiewaarden (of beelden) : 4

•

•

f( −3 ) = 9 f (0) = 0  f ( 2) = 2

2

•

• x

0

• −6

−4

0

−2

2

4

6

Omdat elk element van R een beeld heeft, noemen we R het domein van de functie f . Notatie : dom f = R De verzameling van de functiewaarden noemen we het beeld van de functie f .

Notatie : bld f = R+

−2

Grafisch onderzoek : elke verticale snijdt de grafiek hoogstens één keer.

domein en beeld van een functie Het domein van een functie f is de verzameling van de x -waarden waarvoor de functiewaarde bestaat. Notatie : dom f Het beeld (bereik) van een functie f is de verzameling van de y -waarden waarvoor er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x ). Notatie : bld f

8

H OOF D S T UK 1

•

A L GEBRA Ï S CHE F UNCT I ES

2 ) Algebraïsche functies algebraïsche functie Een algebraïsche functie is een reële functie waarbij in het functievoorschrift enkel de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en de n -demachtsworteltrekking voorkomen.

Deze functies worden in drie klassen onderverdeeld : veeltermfunctie Een veeltermfunctie van de n -de graad is een functie waarvan het functievoorschrift een veelterm is van de n -de graad in x .

f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

i =n 

aixi

met a i ∈ R en a n = 0

i =0

Voorbeelden : Een veeltermfunctie van de derde graad met voorschrift : f ( x ) = x–3 4x + 8 Een veeltermfunctie van de vijfde graad met voorschrift : f ( x ) = x–5 x 3 In de voorbije jaren heb je al enkele veeltermfuncties bestudeerd : –

de constante functies met voorschrift

–

de functies van de eerste graad met voorschrift

–

de functies van de tweede graad (kwadratische functies) met voorschrift

f (x ) = q f (x ) = m x + q f (x ) = a x 2 + b x + c

rationale functie

g (x ) waarbij g en h veeltermfuncties zijn Een rationale functie f is een functie met voorschrift f (x ) = h (x ) waarbij h ( x ) niet de nulveelterm is.

Voorbeelden :

x 3− 8 De rationale functie f met voorschrift f (x ) = 2 x + 4x + 3 2x − 1 De rationale functie f met voorschrift f (x ) = 2 x +x +6

irrationale functie Een irrationale functie is een algebraïsche functie die verschillend is van een rationale functie. Dit betekent dat in het functievoorschrift (na vereenvoudiging) de variabele x voorkomt onder een of meerdere worteltekens.

Voorbeelden :  De functies f en g met voorschriften f (x ) = x 2 − 4 en

g (x ) =

 3 x +1 x −1

9

3 ) Niet-algebraïsche functies of transcendente functies Het woord ‘transcendent’ betekende oorspronkelijk ‘wat het vermogen van de algebra te boven gaat’. Het is afkomstig van de Duitse wiskundige Leibniz, die het in de 17e eeuw invoerde.

Voorbeelden : FUNCTIE

FUNCTIEVOORSCHRIFT

Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

exponentiële functies

f (x ) = a x

met a ∈ R+ 0 \ {1}

logaritmische functies

f (x ) = a log x

met a ∈ R0+ \ {1}

goniometrische functies

f (x ) = sin x

cyclometrische functies

f (x ) = Bgsinx

f (x ) =⌊ x ⌋

G-functie

⌊x⌋ is e en geheel getal zodat ⌊x ⌋  x < ⌊ x⌋ + 1 

f (x ) = sign(x )

signfunctie

x >0:   x a 0 : dalparabool : f − is het minimum – De as : x = − 2a 2a   b is het maximum a < 0 : bergparabool : f − 2a –

Nulwaarden : oplossingen van a x 2 + b x + c = 0

Om de VKV a x 2 + b x + c = 0 op te lossen berekenen we de discriminant D0

12

⇔

D = b 2 − 4a c V= ∅

 b 2a V = {x 1 , x 2 }

V= −

H OOF D S T UK 1

–

•

A L GEBRA Ï S CHE F UNCT I ES

Tekenverloop a 0

y

x 0

x 0

D0

x f (x )

x1

–∞ teken van a

0

x2 tegengesteld teken van a

0

+∞ teken van a

Opmerking : Om vlot een vierkantsvergelijking op te lossen met je GRM vind je hier een handig programmaatje :

13

3 ) Hogeregraadsfuncties 1 nulwaarden en tekentabel –

Om de nulwaarden van een veeltermfunctie met graad hoger dan 2 algebraïsch te bepalen, ontbinden we de veelterm uit het functievoorschrift, indien mogelijk, in factoren van de

a is een nulwaarde

eerste en/of tweede graad. Elke x-waarde waarbij een van de factoren nul wordt,

van de veeltermfunctie f  

is dan een nulwaarde van de veeltermfunctie. –

Om de tekentabel te maken, onderzoeken we eerst het teken van de factoren en

f (a ) = 0

daarna het teken van het product. –

Om een veelterm te ontbinden in factoren kunnen we de methodes gebruiken die we geleerd hebben in de tweede graad.

Voorbeeld 1 : Bepaal de nulwaarden en de tekentabel van de veeltermfunctie f met als voorschrift f (x ) = 3x 3 – 3x 2 – 6x Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

We ontbinden f ( x ) in factoren door de gemeenschappelijke factor af te zonderen : f ( x ) = 3x (

x2–

a ·b = 0  

x – 2)

a =0

of

b =0

f (x ) = 0   3x (x 2 − x − 2) = 0   3x = 0 of x 2 − x − 2 = 0   ∗ x = 0 of x = −1 of

* VKV : x 2 − x − 2 = 0

D =1+8 =9 >0  1− 9 1−3 = = −1 x1 = 2 2 1 + 9 1 +3 = x2 = =2 2 2

x =2

De functie f heeft 3 nulwaarden :–1, 0 en 2.

Tekentabel : x

f (x ) =

-∞

–1

0

2

+∞

3x

–

–

–

0

+

+

+

x2

– x –2

+

0

–

–

–

0

+

3x (x 2

– x – 2)

–

0

+

0

–

0

+

Voorbeeld 2 : Bepaal de nulwaarden en stel de tekentabel op van f met f (x= ) 15x 3 – 44x 2 – 5x + 6. We ontbinden f ( x )in factoren door een deler van de vorm x– a te zoeken. We schrijven daarna f ( x ) als een product van deler en quotiënt. deelbaar door x – a Opdat een veelterm deelbaar zou zijn door x– a is het nodig dat de constante

De delers van 6 zijn

term van deze veelterm deelbaar is door a .

1, – 1, 2, – 2, 3, – 3. f ( 1) = – 28

x − a | an x n + an −1 x n−1 + . . . + a1 x + a 0 ⇒ a | a 0

f (– 1) = – 48 f ( 2) = – 60

De veelterm A ( x ) is deelbaar door x–a als en slechts als de getalwaarde voor x = a gelijk is aan 0.

f (– 2) = – 280 f ( 3) = 0 f (– 3) = – 780

x − a | A( x)

14

⇔

A( a) = 0

a, a 1 , a 2 . . . a n ∈ Z

H OOF D S T UK 1

•

A L GEBRA Ï S CHE F UNCT I ES

Omdat f ( 3) = 0, is x– 3 een deler van f ( x ). Het quotiënt van de deling van f ( x ) door x– 3 bepalen we met het rekenschema van Horner : 15 3

-44 45

.3

15 Dus :

-5 3

.3

1

6 -6

.3

-2

0

q (x ) = 15x 2 + x − 2 ⇒ f (x ) = (x − 3) (15x 2 + x − 2) f (x ) = 0   (x − 3) (15x 2 + x − 2) = 0   x − 3 = 0 of 15x 2 + x − 2 = 0   ∗

Uitsluitend te gebruiken door Colin Vreys (2002-11-16) • Prov. Inst. Secundair Onderwijs PROVIL

of 5

D = 1 + 120 = 121 > 0  −1 − 121 −12 −2 = x1 = = 30 30 5  −1 + 121 10 1 x2 = = = 30 30 3

1

−2 x = 3 of x =

* VKV : 15x 2 + x − 2 = 0

x=

3

−2 1 Besluit : de functie f heeft 3 nulwaarden : , en 3. 5 3

Tekentabel : x

−2

1

5

3

–∞

3

+∞

x –...