W1 Funkcja falowa i równanie Schrödingera PDF

Preview

Summary

Funkcja falowa i równanie Schrödingera, Interpretacja laplasjanu, Uwzględnienie sił zewnętrznych działających na cząstkę, Normalizacja funkcji, Gęstość prądu prawdopodobieństwa, Separacja równania falowego. Funkcje własne energii,...

Description

1. Funkcja falowa i równanie Schrödingera 1.1. Równanie Schrödingera

Rozważmy ruch cząstki o masie m wdłuż osi Ox, pod wpływem siły F(x, t). Do zadań mechaniki klasycznej należy wyznaczenie położenia cząstki w dowolnej chwili czasu: x(t). Następnie możemy określić inne parametry dynamiczne, przykładowo prędkość v = dx/dt pęd p = mv energię kinetyczną T = (1/2) mv 2 Zależność x(t) wyznacza się z II zasady dynamiki Newtona: F = ma. W świecie mikroskopowym, tzw. mikrocząstek, sensownym jest założenie, że układ jest zachowawczy , wtedy siła może być przedstawiona przez pochodną funkcji energii potencjalnej F = – V/x (w 3D F = – V). II zasada dynamiki

V ( x, t ) d 2x (t )  2 dt x z odpowiednimi warunkami początkowymi (dla t = 0) jednoznacznie określa x(t). m

MK01-1

Podejście mechaniki kwantowej do tego samego problemu jest odmienne. Poszukujemy związanej z cząstką funkcji falowej (x, t). Uzyskujemy ją z rozwiązania równanie Schrödingera

i

2  2   V 2m x 2 t

gdzie i  1 , a  jest stałą Plancka dzieloną przez 2: h   1,05473  1034 Js . 2 W 3D równanie Schrödingera ma postać

i

2 2     V 2m t

gdzie 2 jest laplasjanem (operatorem Laplace’a). Równanie Schrödingera (RS) ma analogiczne znaczenie jak II zasada dynamiki Newtona – dla danych warunków początkowych określa wartość funkcji falowej (w mechanice klasycznej położenie cząstki) dla wszystkich przyszłych chwil czasu. MK01-2

1.2. Interpretacja laplasjanu

Przypomnijmy definicję pierwszej pochodnej oraz drugiej pochodnej f ( x  x )  f ( x ) f ( x )  f ( x  x) df df  lim  lim albo x x dx x 0 dx x0 f (x x ) f (x )  f (x ) fx(x x )  f ( x   x )  f ( x )    f ( x )  f ( x  x )  d2 f x   lim lim 2 x 0 x 0 x dx ( x) 2 Zauważmy, że różnica między wartością funkcji w punkcie x a granicą średniej w sąsiednich punktach wyraża się wzorem         lim  f ( x)  f ( x x )2 f ( x x )   lim  2 f (x ) f (x 2 x ) f (x x )    x 0

x 0

1 1 d2 f   lim  f ( x  x )  f ( x )   f ( x )  f ( x  x )   (dx ) 2 2 x 0   2 2 dx Jeśli druga pochodna jest ujemna to wartość f w punkcie x jest większa niż średnia f w punktach x + dx oraz x – dx i wykres ma lokalne maksimum (zakrzywia się w dół). Gdy druga pochodna jest zerem – f nie ma krzywizny. MK01-3

Podobną miarę krzywizny f można wprowadzić w trzech wymiarach. Graniczną wartością różnicy pomiędzy f w punkcie x a średnią wartością w punktach sąsiednich jest  16 (d xd yd z) 2  2 f , gdzie operator Laplace’a

2 f 2 f 2 f  f  2  2  2 x y z 2

jest naturalnym uogólnieniem jednowymiarowego operatora drugiej pochodnej. Reasumując, wartość laplasjanu pola skalarnego w danym punkcie jest miarą różnicy średniej wartości pola w infinitezymalnym otoczeniu tego punktu i wartości pola w tym punkcie. Ten rezultat daje intuicyjną interpretację równań zawierających operator Laplace’a.

MK01-4

1.3. Przegląd podstawowych równań fizyki matematycznej zawierających laplasjan Równanie Laplace’a i równanie Poissona

Równanie Laplace’a opisuje potencjały skalarne pól grawitacyjnych i elektrostatycznych w nieobecności mas lub ładunków: 2 f  0 Średnia wartość potencjału w otoczeniu punktu P musi być równa wartości potencjału w punkcie P. Takie funkcje nazywamy funkcjami harmonicznymi. Równanie Laplace’a mówi nam, że funkcja nie może z jakiegoś punktu maleć lub rosnąć we wszystkich kierunkach. Jeśli wzdłuż jakiejś krzywej ma lokalne minimum, to wzdłuż innej musi mieć lokalne maksimum, czyli ten punkt jest punktem siodłowym. Jeśli funkcja skalarna (r ) określa gęstość masy lub ładunku w przestrzeni to odpowiedni potencjał spełnia równanie Poissona

 2 f  (r) Równanie to mówi, że różnica wartości średniej i wartości potencjału jest proporcjonalna do gęstości w danym punkcie przestrzeni. MK01-5

Równanie przewodnictwa cieplnego (dyfuzji)

Istnieją procesy fizyczne w których zmiana różnicy między wartością f i wartością średnią w otoczeniu punktu P jest proporcjonalna do prędkości zmian funkcji f potrzebnej do wyrównania tej różnicy: f 2 f  K t gdzie K jest stałą różną od zera. To równanie opisuje przewodnictwo cieplne (f jest wtedy temperaturą) i dyfuzję (f jest gęstością dyfundującego materiału). Równanie falowe

Gdy odchylenie wartości lokalnej od wartości średniej jest proporcjonalne do drugiej pochodnej po czasie to mamy równanie falowe 1 2f 2 f  2 2 c t gdzie c jest prędkością propagacji fali.

MK01-6

1.4. Dedukcja równania falowego Schrödingera

Ze starszej teorii kwantów wynikają związki między długością fali i pędem oraz częstością i energią zapisane za pomocą  : Falowy aspekt cząstek (de Broglie)

p  k , k 

2 ,. 

Korpuskularny aspekt promieniowania – fotony (Plack)

E   ,   2 . Postulowana postać funkcji falowej ( x, t ) reprezentująca biegnącą w dodatnim kierunku osi x cząstkę o całkowicie nieokreślonym położeniu, dokładnie znanym pędzie p i energii kinetycznej E cos( kx  t ), sin(kx  t ), ei( kx  t) , e i( kx  t)

MK01-7

Zapotrzebowanie na równanie falowe

Poszukiwanie w klasie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Próbujemy jednowymiarowe równanie falowe (np. dla fal poprzecznych w strunie lub płaskich fal akustycznych w gazie)

2  2    t 2 x 2 Wielkość  oznacza kwadrat prędkości. Podstawmy  ( x , t )  ei( kx t ) , wtedy  ( x, t )  2 ( x, t )  i e i(kx  t ) ,   2e i(kx  t ) t t 2  ( x, t )  2 ( x, t )  ik ei( kx t ) ,  k 2 ei(kx t ) 2 x x 2 E 2 p2 2 . Jeśli uwzględnimy, że    . wtedy  p m E 2 k 2 p2 4 m2 Niestety musimy z tego równania zrezygnować –  zależałoby od parametrów ruchu (E lub p). oraz  

MK01-8

Inna postulowana postać – równanie dyfuzji

  2   t x 2  Podobnie ( x, t )  ei( kx t) spełnia to równanie przy wyborze stałej  w postaci



i i E i   2  k2 p 2m

Daje to jednowymiarową postaci równania falowego Schrödingera (podanego w 1926 r.) dla cząstki swobodnej o masie m

i

  2  2  t 2 m x 2

MK01-9

1.5. Uogólnienie na przypadek trójwymiarowy

2  k r  gdzie k – wektor falowy. Trzecia z funkcji falowych przechodzi w e i( t ) , gdzie r – wektor położenia cząstki. Uogólnione równanie falowe Schrödingera:

p  k ,

k k 

2 2    i t 2m Z porównania wyrażeń w ramce z klasyczną relacją p2 E 2m wynika, że dla cząstki swobodnej energię i pęd reprezentują operatory różniczkowe działające na funkcję falową :

E  i

 , t

p  i MK01-10

1.6. Uwzględnienie sił zewnętrznych działających na cząstkę

Założymy, że siła wypadkowa F związana jest z energią potencjalną wzorem F (r , t )  V (r , t ) Wykorzystamy analogiczny związek klasyczny p2  V ( r, t ) E 2m gdzie E – energia całkowita, będąca sumą energii kinetycznej (pierwszy człon) i potencjalnej (drugi człon). Stąd wnioskujemy, że

i

2 2      V (r , t ) 2m t

(1.1)

Jest to równanie falowe Schrödingera opisujące ruch cząstki o masie m w polu sił potencjalnych.

MK01-11

1.7. Interpretacja statystyczna

Jak interpretować funkcję falową (r, t)? Cząstka, ze swej natury, jest zlokalizowana w punkcie, natomiast funkcja falowa (jak nazwa wskazuje) reprezentuje pewien rozkład w przestrzeni dla danej chwili czasu t. Max Born zaproponował interpretację statystyczną, czyli przyjęcie funkcji falowej za miarę prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w wybranym punkcie przestrzeni. Przyjmujemy, że gęstość prawdopodobieństwa położenia jest równa

 (r , t )   (r , t ) (r , t )   (r , t )

2

(1.2)

Gwiazdka * oznacza wielkość zespoloną sprzężoną.  W przypadku 1D prawdopodobieństwo znalezienia cząstki pomiędzy x a (x + dx) w czasie t wyraża się przez 2

 ( x , t ) dx Zwróćmy uwagę, że funkcja falowa jest wielkością zespoloną a gęstość prawdopodobieństwa jest rzeczywista i nieujemna.

MK01-12

1.8. Normalizacja funkcji

Całka z gęstości prawdopodobieństwa po całym obszarze przestrzeni w którym może się ona znajdować jest równa 1, czyli

 (r , t )

d r   (r , t )d3 r  1

2 3

(1.3)

Bez tego założenia interpretacja statystyczna nie miałaby sensu. Ponadto, jeśli (r, t) jest rozwiązaniem równania Schrödingera (1.1) to także A(r, t), gdzie A jest stałą zespoloną, jest rozwiązaniem tego równania. Procedura wyznaczania A za pomocą (1.3) nazywana jest normalizacją funkcji falowej. Istnieją rozwiązania RS, które nie poddają się normalizacji, np. rozwiązanie trywialne  = 0. Łatwo zauważyć, że fizycznie realizowalne stany muszą należeć do klasy funkcji całkowalnych z kwadratem. Można też zadać pytanie, czy funkcja falowa znormalizowana dla t = 0 nadal pozostanie znormalizowana dla dowolnego czasu t?

MK01-13

Niezależność od czasu całki normalizacyjnej (1.3) można wykazać licząc jej pochodną czasową po dowolnym ustalonym obszarze .  d (r, t )d 3r   (r, t )d 3r (1.4)   dt  t  Całka jest wyłącznie funkcją t, stąd użyto znaku pochodnej zupełnej (d/dt) po lewej stronie wzoru. Funkcja podcałkowa (r, t) zależy od dwóch zmiennych, stąd znak pochodnej cząstkowej po prawej stronie wzoru. Z pochodnej iloczynu

     2  (r , t )            t t t t t Z RS (1.1) i jego sprzężenia zespolonego otrzymujemy   i  2 i 2  i i     V      V ,   2m t t 2 m i dalej  i i 2  =   2   ( 2   )   =      (  )    t 2m 2m MK01-14

(1.5)

Definiując wektor

i      ( )   2m Całka (1.4) może być teraz wyrażona jako  d  (r ,t )d3r    (r ,t )d3r     J d3r   J n dA  t dt    A J (r , t)  

(1.6)

(1.7)

gdzie J n oznacza składową normalną zewnętrzną wektora J do elementu powierzchni dA. Całka powierzchniowa znika gdy obszar  jest całą przestrzenią ponieważ funkcja falowa  a więc i wektora J dąży gdy do zera gdy r dąży do nieskończoności – w przeciwnym przypadku funkcja falowa nie byłaby normalizowalna. Całka normalizacyjna jest więc stała w czasie. Podobnie całka znika dla periodycznych warunków brzegowych.

MK01-15

1.9. Gęstość prądu prawdopodobieństwa

Postać równania wynikająca z (1.7)

( r, t)    J( r, t)  0 t

(1.8)

jest identyczna jak równania ciągłości cieczy o gęstości  i gęstości prądu J w obszarze, gdzie nie ma źródeł tej cieczy ani możliwości jej ubytku. Stąd J(r, t) interpretuje się jako gęstość prądu prawdopodobieństwa.

   J( r, t )  Re      im  

MK01-16

(1.9)

1.10. Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana wektora r

r   r (r , t )d3 r    (r , t )r (r , t )d 3 r

(1.10)

co jest równoważne układowi trzech równań

x     xd 3 r,

y     yd 3 r,

z     zd 3 r

(1.11)

Podobnie otrzymuje się wartości oczekiwane dowolnych wielkości fizycznych będących funkcjami tylko położenia r, np.

V   V ( r, t ) ( r, t )d 3r    ( r, t )V ( r, t ) ( r, t )d 3r

(1.12)

Wielkości takie jak pęd i energia muszą zostać wyrażone przez r i t przed wykonaniem uśrednienia.

MK01-17

Korzystając z klasycznego warunku

E 

p2  V 2m

wprowadzając operatory różniczkowe można ten związek zapisać w postaci

i

2 2      V t 2m

(1.13)

Szukane wartości oczekiwane definiuje się jako

 3 (1.14) d r , p    ( i )d3r t Drugie z tych równań jest równoważne  3  3   3 d r, py   i   d r, pz   i   d r p x   i  x y z E    i

MK01-18

1.11. Separacja równania falowego. Funkcje własne energii

Równanie falowe Schrödingera dane w postaci (1.1)  (r ,t ) 2 2     ( r, t )  V ( r, t ) ( r, t) (1.15) i t 2m upraszcza się, gdy energia potencjalna V(r) nie zależy od czasu. Poszukujemy rozwiązania w postaci iloczynu (tzw. metoda rozdzielenia zmiennych)  (r , t )  (r ) f (t ) Wstawiając do (1.15) otrzymujemy  i  d f ( t) 1  2 2 (1.16)   ( r)  V ( r) ( r)   ( r)  2m f (t ) dt  Lewa strona równania zależy wyłącznie od czasu t, a prawa wyłącznie od położenia r. Oznacza to, że obie strony są równe pewnej stałej, którą oznaczymy przez E (tzw. stałej separacji).

MK01-19

Otrzymujemy dla części zależnej tylko od czasu df (t ) iE i  d f (t)  f (t )  E albo dt  f (t ) dt i odpowiednie równanie dla części zależnej tylko od położenia

2 2    (r )  V (r ) (r )  E  (r ) 2m

(1.17)

(1.18)

Związek (1.18) nazywany jest równaniem Schrödingera bez czasu (RS niezależnym od czasu). Rozwiązaniem ogólnym równania (1.17) jest f ( t)  Ce iEt /  Stałą C można włączyć do funkcji (r ) (interesuje nas iloczyn f) w ten sposób, aby była unormowana, wówczas rozwiązanie szczególne równania falowego jest równe

 E  (r , t )  (r ) exp  i t     MK01-20

(1.19)

Interesujący jest sens fizyczny stałej separacji E. Działając operatorem energii na obie strony (1.19) otrzymujemy (r , t)  E (r, t ) (1.20) i t Jest to tzw. równanie własne operatora,  są funkcjami własnymi a E wartością własną.

MK01-21...