W9 Metody sieciowe analizy obwodow oczkowa węzłowa PDF

Preview

Summary

Metody sieciowe (algorytmiczne) analizy obwodów liniowych: wiadomości wstępne (elementy teorii grafów); metoda klasyczna; metoda prądów oczkowych; metoda napięć węzłowych...

Description

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

6. METODY SIECIOWE (ALGORYTMICZNE) ANALIZY OBWODÓW: METODA OCZKOWA, METODA WĘZŁOWA 6.1. WPROWADZENIE Grafem sieci (strukturą topologiczną obwodu) nazywamy zbiór punktów reprezentujący węzły obwodu i zbiór linii ciągłych obrazujących gałęzie obwodu. Drzewem grafu nazywamy podgraf danego grafu złożony z minimalnej liczby dowolnie wybranych gałęzi grafu łączących wszystkie węzły. Gałęzie grafu tworzące drzewo grafu nazywamy konarami (gałęziami drzewa) pozostałe gałęzie grafu nazywamy gałęziami dopełniającymi (łączącymi, zamykającymi, cięciwami, strunami). Każdy graf składający się z w węzłów i g gałęzi zawiera: gd konarów gdzie: gd = w – 1 gZ gałęzi dopełniających gdzie: gZ = g – gd = g – w + 1

b

a

b

g a łę z ie d o p e łn ia ją c e

c

a

c d rzew o g r a fu

d

S ie ć e le k tr y c z n a

d

G r a f s ie c i

1

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

Mówimy, że gałąź jest incydentna z węzłem, jeżeli węzeł jest jednym z punktów końcowych gałęzi. Dla dowolnej sieci można podać graf, w którym zachowana zostaje wyłącznie struktura geometryczna sieci (każdej gałęzi grafu przypisuje się numer lub symbol identyfikujący ją z gałęzią sieci). Tak otrzymany graf jest grafem niezorientowanym. Jeśli każdej gałęzi przypiszemy dodatkowo orientację – orientacja gałęzi jest wybierana dowolnie i odpowiada dodatniej polaryzacji napięcia gałęziowego lub kierunkowi przepływu prądu – to otrzymujemy graf zorientowany (skierowany).

b

b

a

2

1

2

1

c

a

c

5

5

4

3

3

4

d 6

d 6

G r a f n ie z o r ie n to w a n y

G r a f z o r ie n to w a n y

Z każdą gałęzią związana jest para (u, i) napięcia i prądu, zatem dla g gałęzi liczba zmiennych sieci = 2g Ponieważ dla każdej pary (u, i) istnieją proste związki pozwalające na określenie jednej wielkości przy znajomości drugiej, to

liczba poszukiwanych zmiennych sieci = g

2

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

Dysponując układem g równań, wiążących prądy gałęziowe lub wiążących napięcia gałęziowe możemy dokonać analizy sieci. Pytanie: Czy wszystkie równania są niezależne?  Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci g prądów gałęziowych 1. liczba niezależnych prądów gałęziowych określona jest liczbą gałęzi dopełniających gZ, 2. liczba gałęzi dopełniających określa liczbę oczek niezależnych n gZ g  w  1 n

(6.1)

 Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci g napięć gałęziowych 1. liczba niezależnych napięć gałęziowych określona jest liczbą konarów (gałęzi drzewa) gd, 2. liczba gałęzi drzewa określa liczbę węzłów niezależnych m g d  w  1 m

(6.2)

3

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

6.2. METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH (OCZKOWA) Metoda ta należy do grupy metod algorytmicznych, tzn. poddaje się pewnemu „przepisowi” postępowania. W metodzie poszukujemy gałęziowych.

oczkowej prądów

Dane : U01 =U05 = 5V, U06 = 6V R1=R2=R5=R6=2; R3=R4=4. R U

1

01

R

R

R

3

05

4

U

2

5

U Algorytm postępowania przy analizie obwodu metodą oczkową jest następujący:

R

R

06

6

Należy:

1.

zamienić wszystkie źródła prądu występujące w obwodzie na równoważne źródła napięcia;

nie dotyczy

2.

określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie;

z zależności (6.1): n = g-w+1 = 6-4+1=3 {g-gałęzie, w-węzły};

3.

4.

dokonać wyboru i oznaczenia oczek niezależnych; ustalić zwroty oczkowych;

I

I II

I

prądów

Przyjmujemy w wybranych oczkach istnienie umownych prądów oczkowych o dowolnych zwrotach.

I III

4

OBWODY I SYGNAŁY 1

5.

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

dla każdego niezależnego oczka ułożyć równanie bilansu napięć (NPK) uwzględniając tylko prądy oczkowe;

R U

1

R R

01

5

I II

II R U

6.

U 05 R

4

06

2

R

6

3

I III

Dla I oczka:

 R1  R5  R4  I I  R5 I II  R4 I III

Dla II oczka:

 R5 I I   R2  R3  R5  I II  R3 I III  U05

Dla III oczka:

 R4 I I  R3 I II  R3  R6  R4  I III U06

U01  U05

dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;

Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, możemy napisać:  R5  R4   R1  R5  R4    R5  R3 R 2  R 3  R5    R4   R3 R3  R6  R4 

 I I  U 01  U 05    I    U 05   II    IIII   U06 

Ogólnie, postać macierzy jest następująca:

R IX = U0

(6.3)

5

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

Rozwiązanie układu równań: Mnożymy lewostronnie równanie (6.3) przez macierz odwrotną R-1 R-1 U0 = R-1R IX

(6.4)

ponieważ R-1R =1, otrzymujemy ostatecznie IX = R-1 U0

(6.5)

znajdując tym samym prądy oczkowe

W przykładzie: Macierz rezystancji oczkowych R =

-1

stąd R =

natomiast U0 =

 8  2    4

2 8  4

 0,229  0,129   0,143

 4  4  10  0,129

0,229 0,143

0,143 0,143  0,214

 10    5    6 

Zatem macierz prądów oczkowych:

IX =

 2,5  1     2 

czyli prądy oczkowe:

II = 2,5A, III = 1A, IIII = 2A

6

OBWODY I SYGNAŁY 1

7.

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

ustalić zwroty prądów gałęziowych i obliczyć ich wartości.

Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, na którym DOPIERO TERAZ nanosimy (w sposób dowolny) zwroty prądów gałęziowych. Sposób 1

2

I1

Prądy w gałęziach zewnętrznych oczek określone są przez prądy oczkowe (obwodowe) tych oczek z odpowiednim znakiem. W naszym przykładzie

I2

5

1

II

I5

I II 3

I4

I3 4

6

I1 = II = 2,5 I2 = III = 1 I6 = IIII = 2

I6

I

III

Prądy w gałęziach wspólnych dla dwóch lub więcej oczek są sumą algebraiczną prądów tych oczek, czyli:

I3 = III - IIII = -1 I4 = II - IIII = 0,5 I5 = II - III = 1,5 Sposób 2 Prądy gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą incydencji prądowej. Macierz prądów gałęziowych Ig wyznaczamy w oparciu o macierz prądów oczkowych IX korzystając z macierzy łączącej prądowej  : Ig =  IX (6.6)

7

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

Elementy macierzy łączącej prądowej  przyjmują wartość +1, -1 lub 0 gk

= 1 jeśli gałąź „g” jest incydentna z oczkiem „k” (tzn. należy do oczka „k”) oraz zgodnie z nim skierowana -1 j.w., lecz skierowana przeciwnie 0 jeśli gałąź „g” nie jest incydentna z oczkiem „k” W naszym przykładzie  numer oczka

2

I2

numer gałęzi

I1 5

1

II

I5

I II 3

I4

1 2 3 4 5 6

I 1 0  0  1 1  0

II 0 1 1 0 1 0

III 0  0    1   1 0   1 

I3 4

6

I6

I

III

Zatem:

Ig =  IX =

1 0  0  1 1  0

0 1 1 0  1 0

0 0   1   1 0  1

 2,5  1  2 , 5     1    1  =  0,5    2    1,5     2

8

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

6.3. METODA NAPIĘĆ WĘZŁOWYCH (WĘZŁOWA) Metoda ta należy także do grupy metod algorytmicznych. W metodzie węzłowej poszukujemy napięć gałęziowych.

I

G I

z1

G

I

z2

G

2

1

G

z3

3

G

4

I

z4

5

Algorytm postępowania przy analizie obwodu metodą węzłową jest następujący: Należy:

1.

zamienić wszystkie źródła napięcia występujące w obwodzie na równoważne źródła prądu;

nie dotyczy

2.

określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie;

z zależności (6.2): m = w- 1 = 4 - 1=3 {w-węzły};

9

OBWODY I SYGNAŁY 1

3.

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych;

m niezależnymi węzłami są węzły a, b, c – natomiast w-ty węzeł oznaczony jako d jest węzłem odniesienia;

I

I

z2

z3

b a

c G

I

G

z1

G

2

1

G

3

G

I

4

z4

5

d 4.

ustalić zwroty napięć węzłowych;

Przyjmujemy istnienie napięć międzywęzłowych (pomiędzy węzłami niezależnymi a, b ,c a uziemionym węzłem odniesienia d) o zwrotach do węzłów niezależnych.

a

c

b U

U

b

U

a

c

d

10

OBWODY I SYGNAŁY 1

5.

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

dla każdego niezależnego węzła ułożyć równanie bilansu prądów (PPK) uwzględniając tylko napięcia węzłowe;

I

G

c G

2

3

z1

U a

G

1

U b

Dla węzła a: Dla węzła b:

G

G

4

I

z4

U c

5

G1  G2  U a  G2 U b  0 U c I z1 

I z2

 G2 U a   G2  G3  G5  U b  G3 U c I z 2  I z 3 0 U a  G3 U b   G3  G4  U c I z 4  I z3

Dla węzła c:

6.

z3

b

a I

I

z2

dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;

Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, piszemy: 0   G2  G1  G2   G G2  G3  G5  G3  2    0  G3 G 3  G 4

 U a   I z1  I z 2   U   I  I   b   z 2 z3   U c   I z4  I z3 

Ogólnie, postać macierzy jest następująca:

po przekształceniach

G UX = IZ

(6.7)

UX = G -1 IZ

(6.8)

11

OBWODY I SYGNAŁY 1

7.

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

ustalić zwroty napięć gałęziowych i obliczyć ich wartości.

I U

a U a I

z1

G

1

G

2

U

1

I z3 U 3

z2

b

2

G G

U 5

5

U b

c

3

G

I

4

U

4

z4

U c

Sposób 1 Jeżeli gałąź łączy węzeł odniesienia z węzłem niezależnym, wówczas napięcie gałęziowe równe jest liczbowo napięciu węzłowemu (z odpowiednim znakiem). Czyli: U1 = Ua U4 = Uc U5 = Ub Natomiast napięcie na gałęzi łączącej węzły niezależne jest równe algebraicznej sumie napięć węzłowych tych węzłów. Otrzymamy więc: U2 = Ua - Ub U3 = Ub - Uc

12

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

Sposób 2 Napięcia gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą incydencji napięciowej. Macierz napięć gałęziowych Ug wyznaczamy w oparciu o macierz napięć węzłowych UX korzystając z macierzy łączącej napięciowej  : (6.9) Ug =  UX Elementy macierzy łączącej napięciowej  przyjmują wartość +1, -1 lub 0 gk

= 1 jeśli gałąź „g” jest incydentna z węzłem „k” (tzn. węzeł „k” jest końcówką gałęzi „g”) oraz grot napięcia w gałęzi „g” jest zwrócony do węzła „k”. -1 j.w., lecz napięcie ma zwrot przeciwny 0 jeśli gałąź „g” nie jest incydentna z węzłem „k”

U

a

U

1

UWAGA:

2

b

U

U

5

c

3

U

numer gałęzi

węzeł a 1 2 3 4 5

1  1  0  0 0

b 0 1 1 0 1

c 0   0   1  1  0 

4

Znajomość napięć gałęziowych pozwala na wyznaczenie prądów gałęziowych

13

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

ANALIZA OBWODÓW PRĄDU HARMONICZNEGO METODA OCZKOWA Przebieg postępowania przy rozwiązywaniu obwodu prądu harmonicznego metodą oczkową jest analogiczny jak dla obwodów prądu stałego. PRZYKŁAD Obliczyć wartości prądów w gałęziach obwodu – dane: E = j100V R1= 150, R2= 100 E X1= L1= 400, X2= L2= 250, X3= 1/ C3 = 250,

I1

R1

L1

I2

R2

I3 I’1

C3

I’2

L2

Układamy równanie bilansu napięć dla każdego oczka niezależnego   R1  j X 1  X 3   I 1 '   jX 3  I 2 '  E       jX  I '   R  j  X  X   I '  0 2  3 1 2 2 3   

150  j150  I 1 ' 

j 250 I 2 '  j100 j 250 I 1 '  100 I 2 ' 0

Dokonujemy rozwiązania układu równań metodą wyznaczników 150  j150 WG  j 250

W1 

j 250 100

j100

j 250

0

100

150  j 150 W2  j250

W I 1 ' 1 WG



 77500  j 15000

 j10000

j 100 25000 0

j 10000 j100  77500  j 15000 775  j 150

14

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa



j 100  775  j150 j 77500  15000  623125 7752  1502

0,0241  j 0,124 0,126 e

W I 2 ' 2 WG

o j79



25000 250  77500  j 15000 775  j 150



250 775  j150  193750  j 37500  623125 7752  1502 o

0,311  j 0,0602 0,317 e  j 11

Mając ustalone zwroty obliczamy ich wartości

I1

symbolicznych

R1

L1

I2

prądów

gałęziowych

-

R2

I3

E

I’1

C3

I’2

L2

I 1 I 1 ' ; I 2  I 2 ' ; I 3  I 1 '  I 2 '  j 0,124  I 3   0,0241  0,341 e



 0,1842  j   arctg  0,2869 

0,311 j 0,0602  0,2869 j 0,1842 o

 0,341 e j 147,3

15

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

METODA NAPIĘĆ WĘZŁOWYCH (WĘZŁOWA) Przebieg postępowania przy rozwiązywaniu obwodu prądu harmonicznego metodą węzłową jest analogiczny jak dla prądu stałego. Należy 1)

zamienić wszystkie źródła napięcia występujące w obwodzie na równoważne źródła prądu;

2)

określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie: m = w- 1 {w-węzły};

3)

dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych;

4)

ustalić zwroty napięć węzłowych;

5)

dla każdego węzła niezależnego ułożyć równanie bilansu prądów; m

 Y k l U l'  I z k

l 1

gdzie: Y k l l k Y k k

Y l k

-

admitancja własna węzła k, równa sumie admitancji gałęzi dołączonych do węzła k;

admitancja wzajemna węzłów k i l , równa sumie admitancji wszystkich gałęzi łączących k-ty węzeł z l-tym, wzięta ze znakiem minus; U l ' - napięcie zespolone węzła l, określone względem węzła odniesienia; I zk wypadkowy prąd źródłowy węzła k w postaci symbolicznej, równy sumie algebraicznej wszystkich symbolicznych prądów źródłowych w gałęziach należących do k-tego węzła; prąd źródłowy gałęziowy przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego prądu źródłowego jest do węzła k, a ze znakiem minus w przypadku przeciwnym. Y kl

l k

kl

-

6)

dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;

7)

ustalić zwroty symbolicznych prądów gałęziowych a następnie obliczyć ich wartości.

16

OBWODY I SYGNAŁY 1

Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

PRZYKŁAD Obliczyć wartości prądów w gałęziach obwodu – dane: E1 = j100V, E2 = 60e j 60 V, f=50 Hz, R= 200, L= 0,796 H, C = 9,55 F

I1 L E1 Y1   jBL  j

I2 I3

I1 R

UV

Y1

C E2

1  j 0,004  0,004 e  L

j90

I Z1

I2 I3 Y3 I Z2

Y2

S 

Y 2 1 / R  0,005  S  Y 3  jBC  j C  j 0,003 0,003 e j 90  S 

E I z 1  1 E1 Y 1  j100  j 0,004 0,4 0,4 e j 0  A Z1 j 60

Iz 2 

E2 60 e  R 200

0,3 e j 60 0,15  j0,26  A

I1 Y1

UV I Z1  Y1  Y 2

I2 I3 Y3 I Z2

Y2

 Y 3  U V  I z1  Iz 2

17

OBWODY I SYGNAŁY 1

UV 



Wykład 6 : Metody sieciowe analizy obwodów: oczkowa, węzłowa

I z1  I z 2 Y1  Y 2  Y 3 0,4   0,15  j0,26  0,55  j0,26 0,608 e j 25,3    j 0,004 0,005  j0,003 0,005 j0,001 0,00509 e  j11,3

119,4 e j 36,6 95,8  j71,7 V

E 1  U L  U V 0  U L E 1  U V   I 1 Z 1  E1  U V U L I 1 Z 1 

I1 L E

U

L

U

V

Czyli: 1



I1

E1  UV Y 1  E1  U V  0,115  j0,383  A Z1

I 3 Y 3U V  0,003e j 90 119,4 e j 36,6  0,214  j 0,288 A 

I 2 I ...